Funcion exponencial

Una función exponencial es una función matemática , donde se llama la base del grado , y es el exponente . $f(x)=a^{x}$ $a$ $X$

En el caso real, la base del grado es un número real no negativo (para números negativos, no se define la elevación a una potencia real no entera), y el argumento de la función es un exponente real. $a$
En la teoría de funciones complejas , se considera un caso más general, cuando un número complejo arbitrario puede ser un argumento y un exponente .
En su forma más general , fue introducido por Leibniz en 1695. $tu^{v}$

Se destaca especialmente el caso en que el número e actúa como base del grado . Tal función se llama exponente (real o complejo). Al mismo tiempo, debido al hecho de que cualquier base positiva puede representarse como una potencia del número e, a menudo se usa el concepto de "exponente" en lugar del concepto de "función exponencial". $a$

Función real

Definición de una función exponencial

Sea un número real no negativo, sea un número racional : . Luego se determina en base a las propiedades de un grado con exponente racional, de acuerdo con las siguientes reglas. $a$ $X$ $x={\frac{m}{n}}$ $un ^ {x}$

Si , entonces . $x>0$ $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m))}$
Si y , entonces . $x=0$ $a\neq 0$ ${\ estilo de visualización a ^ {x} = 1}$
- El significado no está definido (ver Cero elevado a cero ). $0^{0}$
Si y , entonces . $x<0$ $a>0$ $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}} }$
- El valor de no está definido. $un ^ {x}$ $x<0,a=0$

Para un indicador real arbitrario , el valor se puede definir como el límite de la secuencia $X$ $un ^ {x}$

a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n))

donde es una secuencia de números racionales que convergen a . Eso es ${\ estilo de visualización \ {r_ {n} \}}$ $X$

\lim _{n\to \infty}r_{n}=x

Propiedades

Propiedades de exponenciación:

$un^{0}=1$
$a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
${\ estilo de visualización (a^{x})^{y}=a^{xy))$
$(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
$un ^ {x}$ / = ${\ estilo de visualización b ^ {x}}$ ${\ estilo de visualización (a/b)^{x))$

Intervalos monótonos:

Para , la función exponencial crece en todas partes, y: $a>1$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (para todos ) $norte$
$\lim _{x\to -\infty}a^{x}=0$

Para , la función decrece, respectivamente, y: $0<a<1$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (para todos ) $norte$
$\lim _{x\to \infty}a^{x}=0$

Es decir, la función exponencial crece en el infinito más rápido que cualquier polinomio . La gran tasa de crecimiento se puede ilustrar, por ejemplo, con el problema del plegado de papel .

Función inversa:

Por analogía con la introducción de la función raíz para la función potencia , introducimos la función logarítmica , la inversa de la exponencial:

f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x

( logaritmo básico )

X

a

Número e:

Observamos la propiedad única de la función exponencial, encontramos (tal número cuya derivada de la función exponencial es igual a la función misma): $a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}$ $a$

{\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0 }^{x}=a_{0}^{x}\,dx

La capacidad de definir es fácil de ver después de la abreviatura de : $un_{0}$ ${\displaystyle a_{0}^{x))$

{\displaystyle a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx))

Eligiendo , finalmente obtenemos el número de Euler : $dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n))$

a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

Tenga en cuenta que la función se puede representar de una manera diferente como una serie: (es fácil establecer la validez por diferenciación término por término): $e^{x}$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \sobre n!}=1+x+{x^{2} \sobre 2!}+{x^{ 3} \sobre 3!}+{x^{4} \sobre 4!}+\cdots

De donde tenemos una aproximación más precisa:

e=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{n!)}}

La unicidad de un número es fácil de mostrar variando . De hecho, si pasa por algún lugar más alto que , entonces en el mismo intervalo hay un área donde . $mi$ $e^{x}$ ${\ Displaystyle e_{1}^{x}}$ $e^{x}$ ${\ estilo de visualización (e_{1}^{x})'<e^{x}}$

Diferenciación:

Usando la función de logaritmo natural , se puede expresar una función exponencial con una base positiva arbitraria en términos del exponente. Por la propiedad del grado: , de donde por la propiedad del exponente y por la regla de diferenciación de una función compleja: ${\ estilo de visualización \ ln \, x: e ^ {\ ln x} = x}$ ${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)\,x))$

{\ estilo de visualización (a^{x})'=\ln(a)a^{x))

Integral indefinida:

\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C

Potenciación y el antilogaritmo

Potenciación (del alemán potenzieren [K 1] ) - encontrar un número por el valor conocido de su logaritmo [1] , es decir, resolver la ecuación . De la definición del logaritmo se deduce que , así, elevar a una potencia puede llamarse en otras palabras “potenciación por base ”, o sea, el cálculo de una función exponencial de . ${\ estilo de visualización \ log _ {a} x = b}$ $x=a^{b}$ $a$ $b$ $b$ $a$ $b$

El antilogaritmo [2] del número x es el resultado de la potenciación, es decir, el número cuyo logaritmo (para una base dada ) es igual al número [2] [3] : $a$ $X$

\operatorname {hormiga} \log _{a}{x}=a^{x}.

El término "antilogaritmo" fue introducido por Wallis en 1693 [4] . Como concepto independiente, el antilogaritmo se utiliza en tablas logarítmicas [5] , reglas de cálculo , microcalculadoras . Por ejemplo, para extraer la raíz cúbica de un número usando tablas logarítmicas, debe encontrar el logaritmo del número dividido por 3 y luego (usando la tabla de antilogaritmos) encontrar el antilogaritmo del resultado. $a$ $a,$

De manera similar a los logaritmos, el antilogaritmo en base o 10 se llama natural [6] o decimal, respectivamente. $mi$

El antilogaritmo también se llama logaritmo invertido [3] .

En las calculadoras de ingeniería , la potenciación se representa normalmente como dos funciones: y . $e^{x}$ ${\ estilo de visualización 10 ^ {x}}$

Función compleja

Para extender el exponente al plano complejo, lo definimos usando la misma serie, reemplazando el argumento real por uno complejo:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty}{z^{n} \sobre n!}=1+z+{z^{2} \sobre 2!}+{z^{ 3} \sobre 3!}+{z^{4} \sobre 4!}+\cdots

Esta función tiene las mismas propiedades algebraicas y analíticas básicas que la función real. Separando la parte real de la parte imaginaria en la serie de , obtenemos la famosa fórmula de Euler : $e^{{ix}}$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

Esto implica que el exponente complejo es periódico a lo largo del eje imaginario:

e^{z+2\pi i}=e^{z}

Una función exponencial con una base compleja arbitraria y un exponente se calcula fácilmente usando el exponente complejo y el logaritmo complejo .

Ejemplo: ; puesto que (valor principal del logaritmo), finalmente obtenemos: . $i^{i}=e^{i\cdot\ln(i)}$ $\ln(i)=i{\frac {\pi}{2))$ $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$

Véase también

Notas

↑ Potenciación/Diccionario enciclopédico matemático, M .: Enciclopedia soviética, 1988, página 479.
↑ 1 2 Antilogaritmo/ Diccionario enciclopédico matemático , M .: Enciclopedia soviética, 1988, página 73.
↑ 1 2 Antilogaritmo / Vinogradov, Enciclopedia Matemática, Volumen 1.
↑ Matemáticas del siglo XVII // Historia de las matemáticas, en tres volúmenes / Editado por A.P. Yushkevich . - M. : Nauka, 1970. - T. II. - S. 56.
↑ Tablas logarítmicas / Diccionario enciclopédico matemático, M .: Enciclopedia soviética, 1988, p. 330.
↑ Instrumentos financieros - Equipo de autores - Google Books . Consultado el 8 de julio de 2021. Archivado desde el original el 9 de julio de 2021. (indefinido)

Comentarios

↑ El término fue encontrado por primera vez por el matemático suizo Johann Rahn (1659).

Literatura

Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, volúmenes I, II. - M .: Fizmatlit , 2001. - ISBN 5-9221-0156-0 ,. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Antilogaritmo // Gran Enciclopedia Soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea) Treccani