Exponenciación

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La exponenciación es una operación aritmética , originalmente definida como el resultado de multiplicar un número por sí mismo. Un exponente con una base y un exponente natural se denota como $a$ $b$

a^{b}=\soporte {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b},

donde - el número de factores (números multiplicados) [1] [K 1] . $b$

Por ejemplo, $3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

En los lenguajes de programación donde la ortografía no es posible, se utiliza la notación alternativa . $un ^ {b}$

La potenciación también se puede definir para potencias negativas , racionales , reales y complejas [1] .

Sacar una raíz es una de las operaciones inversas a la exponenciación, encuentra una base desconocida a partir de valores conocidos del grado y del exponente . La segunda operación inversa es el logaritmo , encuentra un exponente desconocido a partir de valores conocidos del grado y la base . El problema de hallar un número por su logaritmo conocido (potenciación, antilogaritmo ) se resuelve mediante la operación de exponenciación. ${\displaystyle c=a^{b))$ $b$ $a={\sqrt[{b}]{c))$ ${\displaystyle c=a^{b))$ $a$ $b=\log _{a}c$

Hay un algoritmo de exponenciación rápida que realiza la exponenciación en menos multiplicaciones que en la definición.

Uso en el habla oral

La notación generalmente se lee como " a elevado a la potencia th" o " a elevado a la potencia de n ". Por ejemplo, léase como "diez elevado a la cuarta potencia", léase como "diez elevado a la potencia de tres segundos (o: uno y medio)". ${\ Displaystyle un ^ {n}}$ $norte$ $10^{4}$ ${\ estilo de visualización 10^{3/2}}$

Hay nombres especiales para el segundo y tercer grado: cuadrado y cubo , respectivamente. Entonces, por ejemplo, se lee como "diez al cuadrado", se lee como "diez al cubo". Esta terminología se originó en las matemáticas griegas antiguas . Los antiguos griegos formularon construcciones algebraicas en el lenguaje del álgebra geométrica . En particular, en lugar de utilizar la palabra “multiplicación”, hablaban del área de un rectángulo o del volumen de un paralelepípedo : en cambio , los antiguos griegos decían “cuadrado sobre segmento a ”, “cubo sobre a ”. Por esta razón, los antiguos griegos evitaron el cuarto grado en adelante [2] . $10^{2}$ $10^{3}$ $un ^ 2$ ${\ estilo de visualización a^{3}}$

El número que resulta de elevar un número natural a la -ésima potencia se llama -ésima potencia exacta. En particular, el número que resulta de elevar al cuadrado un número natural (cubo) se llama cuadrado exacto (cubo). Un cuadrado perfecto también se llama cuadrado perfecto . $norte$ $norte$

Propiedades

Propiedades básicas

Todas las siguientes propiedades básicas de exponenciación son válidas para números naturales, enteros, racionales y reales [3] . Para números complejos, debido a la polisemia de la operación compleja, se realizan solo en el caso de un exponente natural .

${\ estilo de visualización a^{1}=a}$
$\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}$
$\left({a \sobre b}\right)^{n}={{a^{n}} \sobre {b^{n}}}$
${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m))$
$\left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{nm}$
$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}$ .

El registro no tiene la propiedad de asociatividad (compatibilidad), es decir, en el caso general, Por ejemplo , pero . En matemáticas, se acostumbra considerar el registro equivalente , y en su lugar se puede escribir simplemente , usando la propiedad anterior. Sin embargo, algunos lenguajes de programación no se adhieren a esta convención. $un^{n^{m}}$ $(a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}$ ${\ estilo de visualización (2 ^ {2}) ^ {3} = 4 ^ {3} = 64}$ $2^{\izquierda({2^{3}}\derecha)}=2^{8}=256$ $un^{n^{m}}$ $a^{\izquierda({n^{m}}\derecha)}$ $(un^{n})^{m}$ $a^{nm}$

La exponenciación no tiene la propiedad de conmutatividad (desplazamiento) : en términos generales , por ejemplo , pero $a^{b}\neq b^{a}$ $2^{5}=32$ ${\ estilo de visualización 5 ^ {2} = 25.}$

Tabla de potencias naturales de pequeños números

norte	nº 2	nº 3	n4 _	norte 5	n6 _	n 7	norte 8	n9 _	n 10
2	cuatro	ocho	dieciséis	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2.187	6.561	19.683	59.049
cuatro	dieciséis	64	256	1024	4.096	16.384	65.536	262.144	1,048,576
5	25	125	625	3125	15.625	78.125	390.625	1,953,125	9,765,625
6	36	216	1296	7.776	46.656	279.936	1,679,616	10,077,696	60.466.176
7	49	343	2401	16.807	117.649	823.543	5,764,801	40,353,607	282.475.249
ocho	64	512	4096	32.768	262.144	2,097,152	16,777,216	134.217.728	1.073.741.824
9	81	729	6561	59.049	531.441	4,782,969	43.046.721	387.420.489	3.486.784.401
diez	100	1000	10,000	100,000	1,000,000	10,000,000	100,000,000	1,000,000,000	10,000,000,000

Extensiones

Potencia entera

La operación se generaliza a números enteros arbitrarios , incluidos los negativos y el cero [4] ::

a^{z}={\begin{casos}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\frac {1}{a^{ |z|}}},&z<0,a\neq \;0\\0,&z>0,a=0\end{casos}}

El resultado es indefinido para y . $un=0$ $z\leqslant 0$

Grado racional

Elevar a una potencia racional donde es un número entero y es un número natural positivo se define como sigue [4] : ${\ estilo de visualización m/n,}$ $metro$ $norte$

a^{m \over n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m};\quad \forall a>0,a\in \mathbb {R} ,m\ en \mathbb {Z} ,n\en \mathbb {N} .

Un grado con una base igual a cero se determina solo para un exponente racional positivo.

0^{m \over n}=0;\quad m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .

Para exponentes negativos con exponente fraccionario no se considera. $a$

Corolario: Así, el concepto de potencia racional combina elevar a una potencia entera y extraer una raíz en una sola operación. ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};\quad a>0,a\in \mathbb {R} .$

Título real

El conjunto de números reales es un campo ordenado continuo , denotado por . El conjunto de los números reales no es contable, su potencia se llama potencia del continuo . Las operaciones aritméticas sobre números reales representados por fracciones decimales infinitas se definen como una continuación continua [5] de las correspondientes operaciones sobre números racionales. $\matemáticas {R}$

Si se dan dos números reales que se pueden representar como infinitos decimales (donde es positivo): $\alfa$

\alpha =a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},~~\alpha >0,

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

definidas respectivamente por las sucesiones fundamentales de números racionales (que satisfacen la condición de Cauchy ), denotadas como: y , entonces su grado se llama el número definido por el grado de las sucesiones y : $\alfa =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ ${\ estilo de visualización \ gamma = [c_ {n}]}$ $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha ^{\beta }{=}[a_{n}]^{[b_{n}]}=[a_{n}{\widehat {}}b_{n}]

número real , satisface la siguiente condición: ${\ estilo de visualización \ gamma = \ alfa ^ {\ beta}}$

(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \alpha ^ {\beta}\leqslant {(a'')}^{b''})\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \gamma \leqslant {(a'')}^{b ''}),~~~\forall ~a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ,~\forall \alpha >0,~\alpha ,\beta ,\gamma \ en \mathbb {R} .

Así, la potencia de un número real es tal número real que está contenido entre todas las potencias de las especies de un lado y todas las potencias de las especies del otro lado. ${\ estilo de visualización \ alfa ^ {\ beta}}$ $\gama$ ${\ estilo de visualización {(a')}^{b'}}$ ${\ estilo de visualización {(a'')}^{b''}}$

Un grado con base igual a cero se determina solo para un exponente real positivo.

0^{\beta }=0;\quad \beta \in \mathbb {R} ,\beta >0.

Para exponente negativo con exponente real no se considera. $\alfa$

En la práctica, para elevar un número a una potencia , es necesario reemplazarlos con la precisión requerida por números racionales aproximados y . El grado de los números racionales especificados se toma como un valor aproximado del grado . Al mismo tiempo, no importa de qué lado (por deficiencia o por exceso) se aproximan los números racionales tomados y . $\alfa$ $\beta$ $a$ $b$ ${\ estilo de visualización \ alfa ^ {\ beta}}$ ${\ estilo de visualización a^{b))$ $\alfa$ $\beta$

Un ejemplo de exponenciación , hasta el 3er lugar decimal: ${\ estilo de visualización \ gamma = \ pi ^ {e}}$

Redondeamos estos números al cuarto decimal (para mejorar la precisión de los cálculos);
Obtenemos: ; ${\ estilo de visualización \ pi \ aproximadamente 3,1416, \ e \ aproximadamente 2,7183}$
elevar a una potencia: ; $\gamma =\pi ^{e}\aprox. 3,1416^{2,7183}\aprox. 22,4592$
Redondeando al tercer decimal: . ${\ estilo de visualización \ gamma \ aproximadamente 22,459}$

Fórmulas útiles:

{\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x))

x^{y}=e^{y\lnx}

x^{y}=10^{y\longitud x}

Las últimas dos fórmulas se usan para elevar números positivos a una potencia arbitraria en calculadoras electrónicas (incluidos los programas de computadora) que no tienen una función integrada , y para la exponenciación aproximada a una potencia no entera o para la exponenciación de números enteros cuando los números son demasiado grande para escribir el resultado en su totalidad. $x^{y}$

Grado complejo

Elevar un número complejo a una potencia natural se realiza mediante la multiplicación ordinaria en forma trigonométrica . El resultado es claro:

z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ) ;\quad \forall n\in \mathbb {N} ,z\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R}

, ( fórmula Moivre ) [6] .

Para encontrar el grado de un número complejo arbitrario en forma algebraica , puede usar la fórmula binomial de Newton (que también es válida para números complejos): $a+bi$

(a+bi)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bi+C_{2}^{n}a^{n-2 }b^{2}i^{2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}i^{n-1}+b^{n}i^{n },\quad \forall n\in \mathbb {N}

Reemplazando los grados del lado derecho de la fórmula por sus valores de acuerdo con las igualdades: , obtenemos: ${\ estilo de visualización yo ^ {k}}$ $i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,k\en \mathbb {N }$

(a+bi)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k}a^{n- 2k}b^{2k}+i\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k+1}a^{ n-2k-1}b^{2k+1}.

[7]

La base para una definición más general de un grado complejo es el exponente , donde es el número de Euler , es un número complejo arbitrario [8] . $e^{z}$ $mi$ $z=x+iy$

Definimos el exponente complejo usando la misma serie que el real:

e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^ {4}}{4!}}+\cpuntos .

Esta serie converge absolutamente para cualquier serie compleja , por lo que sus miembros se pueden reorganizar de cualquier forma. En particular, separamos de ella la parte correspondiente a : ${\ estilo de visualización z,}$ ${\ Displaystyle e ^ {iy}}$

e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!)}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!)}}+ {\ frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4 }} {4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!} }+ {\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).

Entre paréntesis, obtuvimos series conocidas a partir de análisis reales para coseno y seno , y obtuvimos la fórmula de Euler :

e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)

El caso general , donde son números complejos, se define a través de la representación en forma exponencial : según la fórmula de definición [8] : $un ^ {b}$ $a, b$ $a$ ${\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)))$

a^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k )})^{b}=e^{b(\nombre del operador {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.

Aquí está el logaritmo complejo y es su valor principal. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ln}}$ $\ln$

Además, el logaritmo complejo es una función de varios valores , por lo que, en términos generales, el grado complejo no está definido de forma única [8] . No tener en cuenta esta circunstancia puede dar lugar a errores. Ejemplo: elevemos una identidad conocida a una potencia .A la izquierda, resulta a la derecha, obviamente, 1. Como resultado: que, como es fácil de comprobar, está mal. Motivo del error: elevar a una potencia da tanto a la izquierda como a la derecha un conjunto infinito de valores (por diferentes ), por lo que la regla no se aplica aquí. Cuidadosa aplicación de las fórmulas para determinar el grado complejo da a la izquierda y a la derecha, de aquí se puede ver que la raíz del error es la confusión de los valores de esta expresión por y para ${\ estilo de visualización e ^ {2 \ pi i} = 1}$ $i.$ ${\ estilo de visualización e ^ {-2 \ pi},}$ ${\ estilo de visualización e ^ {-2 \ pi} = 1,}$ $i$ $k$ ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))$ $e^{-2\pik};$ $k=0$ ${\ estilo de visualización k = 1.}$

Grado como una función

Variedades

Dado que la expresión usa dos símbolos ( y ), puede considerarse como una de las tres funciones. $x^{y}$ $X$ $y$

Una función de una variable (en este caso , un parámetro constante). Tal función se llama función de potencia . La función inversa es extraer la raíz . $X$ $y$
Una función de una variable (en este caso , un parámetro constante). Tal función se llama exponencial (un caso especial es el exponente ). La función inversa es el logaritmo . $y$ $X$
Función de dos variables Nótese que en el punto esta función tiene una discontinuidad irreducible . De hecho, a lo largo de la dirección positiva del eje donde es igual a uno, y a lo largo de la dirección positiva del eje donde es igual a cero. ${\ estilo de visualización f (x, y) = x ^ {y}.}$ $(0, 0)$ $X,$ ${\ estilo de visualización y = 0,}$ $Y,$ ${\ estilo de visualización x = 0,}$

Cero a la potencia de cero

Muchos libros de texto consideran que la expresión (cero a la potencia de cero) no está definida y no tiene sentido, ya que, como se señaló anteriormente, la función en (0, 0) es discontinua. Algunos autores proponen aceptar la convención de que esta expresión es igual a 1. En particular, luego la expansión en una serie del exponente: $0^{0}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{y))$

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty}{x^{n} \over n!)

se puede escribir más corto:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty}{x^{n} \over n!}.

Debe advertirse que la convención es puramente simbólica y no puede usarse en transformaciones algebraicas o analíticas debido a la discontinuidad de la función en este punto. $0^0=1$

Historia

Designación

En Europa, al principio, el grado de magnitud se escribía en abreviaturas verbales (q o Q denotaba un cuadrado, c o C - un cubo, bq o qq - un bicuadrado, es decir, el cuarto grado, etc.) o como un producto: por ejemplo, se representó como Otred escribió de la siguiente manera: (si solo hay una incógnita, a menudo no se le asignó un ícono de letra) [9] . La escuela alemana de kossists ofreció una insignia gótica especial para cada grado de lo desconocido. $x^{4}$ ${\ estilo de visualización xxxx.}$ ${\ estilo de visualización x^{5}-15x^{4))$ ${\ estilo de visualización 1qc-15qq}$

En el siglo XVII, poco a poco empezó a imponerse la idea de indicar explícitamente el exponente. Girard (1629), para elevar un número a una potencia, puso un indicador entre paréntesis antes de este número, y si no había ningún número a la derecha del indicador, esto significaba que la presencia de una incógnita en el grado especificado estaba implícita [ 10] ; por ejemplo, quiso decir . Pierre Erigon y el matemático escocés James Hume propusieron opciones de ubicación para el exponente , escribieron en la forma y [11] respectivamente . ${\ estilo de visualización (2) 2 + 1 (2)}$ ${\ estilo de visualización 2^{2}+x^{2}}$ $x^{4}$ ${\ estilo de visualización x4}$ $x^{IV}$

El registro moderno del exponente -a la derecha y arriba de la base- fue introducido por Descartes en su " Geometría " (1637), sin embargo, sólo para potencias naturales mayores que 2 (el cuadrado durante mucho tiempo se denotaba a la antigua usanza, por el producto). Más tarde , Wallis y Newton (1676) extendieron la forma cartesiana de escribir el grado a exponentes negativos y fraccionarios, cuya interpretación en ese momento ya se conocía a partir de los trabajos de Orem , Shuquet , Stevin , Girard y el propio Wallis. A principios del siglo XVIII, las alternativas para escribir grados "según Descartes", como dijo Newton en " Universal Arithmetic ", estaban "pasadas de moda " . La función exponencial , es decir, elevar a un grado variable, apareció primero en cartas, y luego en los escritos de Leibniz (1679). Elevar a un poder imaginario fue justificado por Euler (1743) [11] [12] .

Notación de exponenciación en lenguajes de programación

Con la llegada de las computadoras y los programas de computadora, surgió el problema de que en el texto de los programas de computadora es imposible escribir el título en forma de "dos pisos". En este sentido, se inventaron íconos especiales para indicar la operación de exponenciación. El primer icono de este tipo eran dos asteriscos : " **", utilizados en el idioma Fortran . En el idioma algol , que apareció un poco más tarde, se utilizó el icono de flecha : " ↑" ( flechas de Knuth ). En el lenguaje BASIC , se propone el símbolo " ^" (" circunflejo ", también conocido como " marca de intercalación "), que ha ganado la mayor popularidad; se suele utilizar a la hora de escribir fórmulas y expresiones matemáticas, no solo en lenguajes de programación y sistemas informáticos, sino también en texto sin formato . Ejemplos:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

A veces, en sistemas informáticos y lenguajes de programación, el icono de exponenciación tiene asociatividad izquierda , en contraste con la convención convencional en matemáticas de asociatividad derecha de exponenciación. Es decir, algunos lenguajes de programación (por ejemplo, el programa Excel ) pueden percibir la notación a^b^ccomo (a^b)^c, mientras que otros sistemas y lenguajes (por ejemplo, Haskell , Perl , Wolfram|Alpha y muchos otros) procesarán esta notación desde el principio. a la izquierda: a^(b^c), como es costumbre en matemáticas: . ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)))$

Algunos símbolos para la exponenciación en lenguajes de programación y sistemas informáticos son:

x ↑ y: Algol , algunos dialectos BÁSICOS;
x ^ y: BASIC , J , MATLAB , R , Microsoft Excel , TeX , bc [K2] , Haskell [K3] , Lua , MathML y la mayoría de los sistemas de álgebra computacional ;
x ^^ y: Haskell [K 4] , D ;
x ** y: Ada , Bash , Cobol , Fortran , FoxPro , Gnuplot , OCaml , Perl , PL/I , PHP [K 5] , Python , REXX , Ruby , SAS , Seed7 , Tcl , ABAP , Haskell [K 6] , Turing , VHDL , ECMAScript [K 7] [K 8] , AutoHotkey [K 8] , JavaScript ;
x⋆y: APL .

Muchos lenguajes de programación (como Java , C y Pascal ) no tienen la operación de exponenciación y usan funciones estándar para este propósito .

Variaciones y generalizaciones

La exponenciación con un exponente natural se puede definir no solo para números, sino también para objetos no numéricos para los que se define la multiplicación, por ejemplo, para matrices , operadores lineales , conjuntos (en relación con el producto cartesiano , consulte el grado cartesiano ).

Por lo general, esta operación se considera en algún monoide multiplicativo ( semigrupo con identidad) y se define inductivamente [13] para cualquier : $METRO$ $x\en M$

${\ estilo de visualización x ^ {0} = e}$ (donde es la identidad del monoide). $mi$
${\ estilo de visualización x^{n+1}=x^{n}x}$ , dónde $n\geqslant 0$
Si entonces se define solo para elementos invertibles ${\ estilo de visualización n<0,}$ $x^n$ $X.$

De particular valor es la aplicación de exponenciación a grupos y campos , donde surge un análogo directo de potencias negativas.

El hiperoperador de exponenciación es la tetración .

Notas

↑ 1 2 Grado // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5. - S. 221.
↑ Van der Waerden. Ciencia del despertar. Matemáticas del antiguo Egipto, Babilonia y Grecia / Per. con una meta I. N. Veselovsky. - M. , 1959. - S. 165-167. — 456 págs.
↑ Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 140-141.
↑ 1 2 Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 182-184.
↑ Como ya se ha introducido la relación de orden lineal sobre el conjunto de los números reales, podemos definir la topología de la recta real: como conjuntos abiertos, tomamos todas las uniones posibles de intervalos de la forma $\{x:\alfa <x<\beta \}$
↑ Piskunov N. S. § 3. Elevar un número complejo a una potencia y extraer una raíz de un número complejo . scask.ru . Recuperado: 27 de marzo de 2022. (Ruso)
↑ Bliznyakov N. M. NÚMEROS COMPLEJOS . Manual educativo y metodológico para universidades 23. Fecha de acceso: 27 de marzo de 2022. Archivado desde el original el 1 de abril de 2022. (Ruso)
↑ 1 2 3 Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas superiores. - 12ª ed. - M. : Nauka, 1977. - S. 597 (nota al pie 3). — 872 pág.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §290-297.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §164.
↑ 1 2 Aleksandrova NV, 2008 , p. 130-131.
↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §298-301, 307-309.
↑ David M. Bloom. Álgebra Lineal y Geometría . - 1979. - Pág . 45 . - ISBN 978-0-521-29324-2 .

Comentarios

↑ En el habla coloquial, a veces se dice, por ejemplo, que - “ a multiplicada por sí misma tres veces”, es decir que se toman tres factores . Esto no es del todo exacto y puede dar lugar a ambigüedad, ya que el número de multiplicaciones será uno menos: (tres multiplicadores, pero dos multiplicaciones). A menudo, cuando dicen " a multiplicado por sí mismo tres veces", se refieren al número de multiplicaciones, no a factores, es decir, Ver August Davidov. Álgebra básica . - Imprenta E. Lissler e Y. Roman, 1883-01-01. - T. 6. - 534 pág. Archivado el 31 de mayo de 2016 en Wayback Machine . Para evitar ambigüedades, podemos decir, por ejemplo: el tercer grado es cuando "el número se multiplica por tres". ${\ estilo de visualización a^{3}}$ $a$ $a^{3}=a\cdot a\cdot a$ ${\ estilo de visualización a^{4}.}$
↑ Para un grado entero.
↑ Para una potencia entera no negativa.
↑ Admite exponentes negativos, a diferencia ^de , que solo se implementa como una multiplicación en serie.
↑ A partir de la versión 5.6 (consulte PHP Manual › Apéndices › Migración de PHP 5.5.x a PHP 5.6.x › Nuevas funciones Archivado el 18 de abril de 2018 en Wayback Machine ).
↑ Para un grado representado por un número de coma flotante, se implementa usando un logaritmo.
↑ Descrito en el estándar EcmaScript 7 (ECMA-262, 7.ª edición), adoptado en junio de 2016.
↑ 1 2 JavaScript viene con un . Math.pow(x, y)

Literatura

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Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
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Enlaces

Exponenciación: reglas, ejemplos . Recuperado: 2 de febrero de 2020. (indefinido)