Geometría de incidencia

La geometría de incidencia  es una sección de la geometría clásica que estudia las estructuras de incidencia , por ejemplo, si un punto pertenece a una línea .

En geometría , los objetos como el plano euclidiano son objetos complejos que utilizan los conceptos de longitudes, ángulos, continuidad, relación intermedia e incidencia .

La estructura de incidencia  es lo que queda cuando se descartan todos los conceptos, excepto saber cuáles de los objetos en estudio (por ejemplo, puntos) se encuentran en otros objetos (por ejemplo, círculos o líneas). Incluso bajo tales restricciones, se pueden probar algunos teoremas y se pueden obtener datos interesantes sobre tal estructura. Tales resultados fundamentales siguen siendo ciertos cuando se agregan otros conceptos para obtener una geometría más rica. En ocasiones los autores desdibujan la distinción entre el proceso de estudio y el objeto de estudio, por lo que no es de extrañar que algunos autores utilicen el nombre de geometría de incidencia para las estructuras incidentes [1] .

Las estructuras incidentes surgen de forma natural y han sido estudiadas en varias ramas de las matemáticas. En consecuencia, existe una terminología diferente para describir tales objetos. En teoría de grafos se denominan hipergrafos y en teoría de circuitos combinatorios se denominan diagramas de bloques . Además de la diferencia en la terminología, en cada campo el enfoque del estudio del objeto es diferente, y las preguntas sobre los objetos se plantean según la disciplina. Si se usa el lenguaje de la geometría, como se hace en la geometría de los incidentes, se habla de figuras. Sin embargo, es posible traducir los resultados de la terminología de una disciplina al lenguaje de otra, pero esto a menudo conduce a declaraciones torpes y confusas que no parecen naturales para la disciplina. En los ejemplos dados en el artículo, usamos solo ejemplos que tienen un contenido geométrico.

Un caso especial de gran interés trata sobre un conjunto finito de puntos en el plano euclidiano , y en este caso estamos hablando del número y tipos de rectas que definen estos puntos. Algunos de los resultados de este caso pueden extenderse a casos más generales, ya que aquí solo se consideran las propiedades de incidencia.

Estructuras de incidencia

La estructura de incidencia ( P , L , I) consta de un conjunto P , cuyos elementos se denominan puntos , un conjunto L , cuyos elementos se denominan líneas , y una relación de incidencia I entre ellos, es decir, un subconjunto P × L , cuyos los elementos se llaman banderas [2] . Si ( A , l ) es una bandera, decimos que A es incidente con l , o que l es incidente con A (la relación es simétrica), y escribimos A I l . Es intuitivamente claro que un punto y una línea están en esta relación si y solo si el punto se encuentra en la línea. Dado un punto B y una línea m que no forman una bandera, entonces el punto no se encuentra en la línea y el par ( B , m ) se llama antibandera .

Distancia en el patrón de incidencia

No existe un concepto natural de distancia ( métrica ) en la estructura de incidencia. Sin embargo, existe una métrica combinatoria en los gráficos de incidencia correspondientes (gráficos de Levy) , a saber, la longitud del camino más corto entre dos vértices en este gráfico bipartito . La distancia entre dos objetos de la estructura de incidencia (dos puntos, dos líneas o un punto y una línea) se puede definir como la distancia entre dos vértices correspondientes en el gráfico de incidencia de la estructura de incidencia.

Otra forma de definir la distancia nuevamente usa los conceptos de la teoría de grafos, esta vez usando el gráfico de colinealidad de la estructura de incidencia. Los vértices del gráfico de colinealidad son los puntos de la estructura de incidencia, y dos vértices están conectados por una arista si hay una línea incidente en ambos puntos. La distancia entre dos puntos de la estructura de incidencia se puede definir como la distancia entre ellos en el gráfico de colinealidad.

Si la distancia se menciona en el contexto de una estructura de incidencia, es necesario indicar cómo se determina la distancia.

Espacios parcialmente lineales

Las estructuras de incidencia más estudiadas son estructuras que satisfacen algunas propiedades adicionales (axiomas), tales como planos proyectivos , planos afines , polígonos generalizados , geometrías parciales y casi polígonos . Se pueden obtener estructuras de incidencia muy generales imponiendo condiciones "suaves", tales como:

El espacio parcialmente lineal es una estructura de incidencia para la cual se cumplen los siguientes axiomas [3] :

En un espacio parcialmente lineal, también es cierto que cualquier par de líneas distintas se cruzan en un punto como máximo. Esta afirmación no está incluida en los axiomas, ya que se prueba fácilmente a partir del primer axioma.

Otras restricciones vienen dadas por las condiciones de regularidad:

RLk : Cada línea es incidente en el mismo número de puntos. Si este número es finito, a menudo se denota como k .

RPr : Cada punto es incidente al mismo número de líneas. Si este número es finito, a menudo se denota como r .

Del segundo axioma de un espacio parcialmente lineal se sigue que k > 1 . Ninguna de las condiciones de regularidad se sigue de la otra, por lo que debemos suponer r > 1 .

Un espacio finito parcialmente lineal que satisface ambas condiciones de regularidad con k , r > 1 se denomina configuración táctica [4] . Algunos autores llaman a tales configuraciones simplemente configuraciones [5] o configuraciones proyectivas [6] . Si la configuración táctica tiene n puntos y m líneas, luego de contar dos veces las banderas, se obtiene la relación nr = mk . Normalmente se utiliza la notación ( n r , m k ) - configuración . En el caso especial cuando n = m (y por lo tanto r = k ), en lugar de la notación ( n k , n k ) , a menudo se escribe simplemente ( n k ) .

Un espacio lineal es un espacio parcialmente lineal tal que [3] :

Algunos autores agregan el axioma de "no degeneración" (o "no trivialidad") a la definición de un espacio lineal (parcial), como:

El axioma de no degeneración nos permite excluir algunos ejemplos muy pequeños (principalmente aquellos en los que los conjuntos P o L tienen menos de dos elementos) que serían excepciones a las declaraciones generales sobre estructuras de incidencia. Un enfoque alternativo es considerar las estructuras de incidencia que no satisfacen el axioma de no degeneración como triviales , pero las que lo hacen, como no triviales .

Cualquier espacio lineal no trivial contiene al menos tres puntos y tres líneas, por lo que el espacio lineal no trivial más simple es un triángulo.

Un espacio lineal que tiene al menos tres puntos en cada línea es la configuración de Sylvester-Gallay .

Ejemplos geométricos fundamentales

Algunos de los conceptos básicos y la terminología surgen de ejemplos geométricos, especialmente de planos proyectivos y planos afines .

Planos proyectivos

El plano proyectivo es un espacio lineal en el que:

Hay una biyección entre P y L en planos proyectivos . Si P es un conjunto finito, se dice que el plano proyectivo es un plano proyectivo finito . El orden del plano proyectivo finito es n = k – 1 , es decir, uno menos que el número de puntos de la recta. Todos los planos proyectivos conocidos tienen órdenes que son potencias de un número primo . El plano proyectivo de orden n es la configuración (( n 2 + n + 1) n + 1 ) .

El plano proyectivo más pequeño tiene orden dos y se conoce como plano de Fano .

Avión Fano

Esta famosa geometría de incidencia fue desarrollada por el matemático italiano Gino Fano . En su trabajo [8] sobre la demostración de la independencia del conjunto de axiomas para el espacio n proyectivo , que desarrolló [9] , creó un espacio tridimensional finito de 15 puntos, 35 rectas y 15 planos, en que cada línea contiene sólo tres puntos [10] . Los planos de este espacio están formados por siete puntos y siete líneas, que se conocen como planos de Fano .

El plano de Fano no se puede representar en el plano euclidiano usando solo puntos y segmentos de línea (es decir, no realizable). Esto se sigue del teorema de Sylvester .

Un cuadrilátero completo consta de cuatro puntos, de los cuales tres no son colineales. En el plano de Fano, tres puntos que no pertenecen a un cuadrilátero completo son puntos diagonales del cuadrilátero y son colineales. Esto contradice el axioma de Fano , a menudo utilizado en la axiomatización del plano euclidiano, que establece que los tres puntos diagonales de un cuadrilátero completo nunca son colineales.

Planos afines

Un plano afín es un espacio lineal que satisface:

  • Para cualquier punto A y una línea l no incidente con un punto ( antiflag ), hay exactamente una línea m incidente con A (es decir , A I m ) que no se cruza con l ( axioma de Playfair )
  • Se cumple la condición de no degeneración: existe un triángulo, es decir tres puntos no colineales.

Se dice que las líneas l y m en el enunciado del axioma de Playfair son paralelas . Cualquier plano afín se puede extender a un plano proyectivo de una manera única. El orden de un plano afín finito es k , el número de puntos en la línea. Un plano afín de orden n es la configuración (( n 2 ) n + 1 , ( n 2 + n ) n ) .

Configuración de Hesse

El plano afín de orden tres es la configuración (9 4 , 12 3 ) . Si una configuración está incrustada en algún espacio cerrado, se denomina configuración de Hesse . La configuración no es realizable en el plano euclidiano, pero es realizable en el plano proyectivo complejo como nueve puntos de inflexión de una curva elíptica con 12 líneas incidentes en los tripletes de estos puntos de inflexión.

Las 12 líneas se pueden dividir en cuatro clases, dentro de las cuales las líneas están separadas por pares. Estas clases se denominan clases de paralelismo de líneas. Si agregamos cuatro puntos nuevos más, un punto a cada clase paralela, y asumimos que todas las líneas de la clase paralela se intersecan en este nuevo punto (así que ahora todas las líneas se intersecan), y agregamos una línea más que contiene los cuatro puntos nuevos, obtenemos obtener un plano proyectivo de orden tres, la configuración (13 4 ) . En sentido contrario, partiendo de un plano proyectivo de orden tres (tal plano es único) y eliminando cualquier (una) línea y todos los puntos que se encuentran sobre ella, obtenemos un plano afín de orden tres (también es único).

Eliminando un punto y cuatro líneas que lo atraviesan (pero no otros puntos en esta línea), obtenemos la configuración (8 3 ) Möbius-Cantor .

Geometrías parciales

Dado un número entero α ≥ 1 , la configuración táctica que satisface el axioma es:

  • Para cualquier antibandera ( B , m ) existen α banderas ( A , l ) tales que B I l y A I m ,

se llama geometría parcial . Si hay s + 1 puntos en una recta y t + 1 rectas pasan por el punto, el símbolo de esta geometría parcial es pg( s , t , α ) .

Si α = 1 , estas geometrías parciales son cuadriláteros generalizados .

Si α = s + 1 , las configuraciones se denominan sistemas de Steiner .

Polígonos generalizados

Para n > 2 [11] , un n - gon generalizado es un espacio parcialmente lineal cuya gráfica de incidencia Γ tiene la propiedad:

  • La circunferencia de un gráfico Γ (la longitud del ciclo más corto ) es el doble del diámetro del gráfico Γ (la distancia más grande entre dos vértices, n en nuestro caso).

Un 2-ágono generalizado es una estructura de incidencia que no es un espacio parcialmente lineal, que consta de al menos dos puntos y dos líneas, en el que cada punto es incidente con cada línea. El gráfico de incidencia de un 2-ágono generalizado es un gráfico bipartito completo.

Un n -gon generalizado no contiene ningún m -gons simple para 2 ≤ m < n , y para cada par de objetos (dos puntos, dos líneas o un punto con una línea) hay un n -gon ordinario que contiene ambos objetos .

Los 3-ágonos generalizados son planos proyectivos. Los 4-ágonos generalizados se llaman cuadriláteros generalizados . Según el teorema de Feit-Higman , solo hay un número finito de n -ágonos generalizados con al menos tres puntos en cada línea y tres líneas a través de cada línea, y el número n es 2, 3, 4, 6 u 8.

Casi polígonos

Para enteros no negativos d , casi 2 d - gon es una estructura de incidencia tal que:

  • La distancia máxima (medida por el gráfico de colinealidad) entre dos puntos es d
  • Para cualquier punto X y línea l , hay un único punto en l que es el más cercano a X.

Un casi 0-gon es un punto, y casi 2-gon es una línea. El gráfico colineal de un casi 2-ágono es un gráfico completo . Un casi 4-gon es un cuadrilátero generalizado (posiblemente degenerado). Cualquier polígono generalizado finito, con la excepción de los planos proyectivos, es un polígono compacto. Cualquier gráfico bipartito conectado es un polígono cercano, y cualquier polígono cercano con exactamente dos puntos en cada línea es un gráfico bipartito conectado. Además, todos los espacios polares duales son ​​casi polígonos.

Muchos casi polígonos están relacionados con grupos finitos simples como los grupos de Mathieu y el grupo de Janko J2 . Además, los 2d- gons generalizados asociados con grupos de tipo Lie son casos especiales de casi 2d- gons .

Aviones de Möbius

El plano abstracto de Möbius (o plano inverso) es una estructura de incidencia en la que, para evitar posibles confusiones con la terminología del caso clásico, las líneas se denominan ciclos o bloques .

En concreto: el plano de Möbius es una estructura de incidencia de puntos y ciclos, tal que:

  • Cualquier terna de puntos distintos es incidente exactamente en un ciclo.
  • Para cualquier bandera ( P , z ) y cualquier punto t Q no incidente a z , existe un único ciclo z ∗ con P I z ∗ , Q I z ∗ y z ∩ z ∗ = { P }. (Se dice que los ciclos tocan P. )
  • Cualquier ciclo tiene al menos tres puntos y hay al menos un ciclo.

Una estructura de incidencia obtenida a partir de cualquier punto P del plano de Möbius eligiendo como puntos todos los puntos distintos de P , y como elecciones directas solo aquellos ciclos que contienen P ( sin P ) , es un plano afín. Esta estructura se llama resto P en la teoría de circuitos.

El plano finito de Möbius de orden m es una configuración táctica con k = m + 1 puntos en cada ciclo, que es un diagrama de flujo de 3 diseños , 3-( m 2 + 1, m + 1, 1) .

Teoremas de incidencia en el plano euclidiano

Teorema de Sylvester

La pregunta planteada por D.D. Sylvester en 1893 y finalmente probada por Tibor Gallai se refiere a la incidencia de un número finito de puntos en el plano euclidiano.

Teorema (Sylvester - Gallai) : Los puntos de un conjunto finito de puntos en el plano euclidiano son colineales o hay una línea incidente en exactamente dos puntos.

Una línea que contiene exactamente dos puntos se llama línea ordinaria en este contexto . Sylvester pudo haber llegado a esta pregunta cuando estaba considerando la capacidad de integración de la configuración de Hesse.

Teorema de De Bruijn-Erdős

Un resultado relacionado es el teorema de de Bruijn-Erdős . Nicholas de Bruijn y Pal Erdős demostraron el resultado en condiciones más generales en el plano proyectivo, pero el resultado sigue siendo válido en el plano euclidiano. El teorema dice: [12]

En el plano proyectivo , cualquier conjunto de n puntos no colineales define al menos n líneas distintas.

Como señalaron los autores, dado que su prueba era combinatoria, el resultado se cumple en condiciones más fuertes, de hecho en cualquier geometría de incidencia. También mencionaron que la versión del plano euclidiano podría demostrarse a partir del teorema de Sylvester-Gallay por inducción .

El teorema de Szemeredi-Trotter

El límite del número de banderas, definido por un conjunto finito de puntos y líneas, viene dado por el teorema:

Teorema (Semeredy-Trotter) : Dados n puntos y m líneas en un plano, el número de banderas (pares de incidencia punto-línea) es:

Y este límite no se puede mejorar.

Este resultado se puede utilizar para demostrar el teorema de Beck.

Teorema de Beck

El teorema de Beck establece que los conjuntos finitos de puntos en un plano se dividen en dos casos extremos: en algunos conjuntos, todos los puntos se encuentran en la misma línea, mientras que en otros se necesita una gran cantidad de líneas para conectar todos los puntos.

El teorema establece que existen constantes positivas C , K tales que, dados n puntos en el plano, al menos uno de los siguientes es verdadero:

  1. Hay una línea que contiene al menos n / C puntos.
  2. Hay al menos n 2 / K líneas, cada una de las cuales contiene al menos dos puntos.

En las demostraciones originales de Beck, C es 100 y K es una constante indefinida. Los valores óptimos de C y K son desconocidos.

Más ejemplos

Véase también

Notas

  1. ↑ Así lo hace, por ejemplo, L. Storme en el capítulo sobre geometría finita del libro ( Colbourn, Dinitz 2007 , pág. 702)
  2. ↑ Técnicamente, esta es una estructura de incidencia de rango 2, donde el rango se refiere al número de tipos de objetos bajo consideración (aquí, puntos y líneas). También se están estudiando estructuras de rangos superiores, pero algunos autores se limitan al rango 2 y nosotros haremos lo mismo.
  3. ↑ 1 2 Moorhouse , pág. 5.
  4. ↑ Dembowski, 1968 , pág. 5.
  5. ↑ Coxeter, 1969 , pág. 233.
  6. ↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 , pág. 94–170.
  7. ↑ Hay varios axiomas alternativos para tal "no trivialidad". El axioma puede ser reemplazado por "hay tres puntos que no están en la misma línea", como en el libro de Batten y Beutelspacher ( Batten, Beutelspacher 1993 ). Hay otras opciones, pero todas deben tener una afirmación de existencia que excluya los casos que son demasiado simples.
  8. ↑ Fano, 1892 , pág. 106–132.
  9. ↑ Collino, Conte y Verra, 2013 , 6
  10. ↑ Malkevitch, , ¿Geometrías finitas? una columna destacada de AMS
  11. ↑ El uso de n en el nombre es estándar y no debe confundirse con la cantidad de puntos en la configuración.
  12. ↑ Weisstein, Eric W. Archivado el 1 de abril de 2004 en Wayback Machine , "de Bruijn–Erdős Theorem" Archivado el 2 de mayo de 2019 en Wayback Machine en MathWorld . Archivado el 29 de febrero de 2000.

Literatura

  • G. Fano. Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva // Giornale di Matematiche. - 1892. - T. 30 . — S. 106–132 .
  • HSM Coxeter. Introducción a la Geometría . - Nueva York: John Wiley & Sons, 1969. - pág  . 233 . — ISBN 0-471-50458-0 .
  • David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen. La Geometría y la Imaginación . — 2do. - Chelsea, 1952. - S.  94-170 . — ISBN 0-8284-1087-9 .
  • Lynn Margaret Batten. Combinatoria de Geometrías Finitas . - Nueva York: Cambridge University Press, 1986. - ISBN 0-521-31857-2 .
  • Lynn Margaret Batten, Albrecht Beutelspacher. La teoría de los espacios lineales finitos . - Nueva York: Cambridge University Press, 1993. - ISBN 0-521-33317-2 .
  • Buekenhout, Francis (1995), Manual de geometría de incidencia: edificios y cimientos , Elsevier BV
  • Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz. Manual de diseños combinatorios. — 2do. — Boca Ratón: Chapman & Hall/CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8 .
  • Collino, Alberto; Conte, Alberto & Verra, Alessandro (2013), Sobre la vida y obra científica de Gino Fano, arΧiv : 1311.7177 . 
  • Pedro Dembowski. Geometrías finitas. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1968. - Vol. 44. - ( Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ). — ISBN 3-540-61786-8 .
  • Malkevitch, Joe ¿Geometrías finitas? . Recuperado: 2 de diciembre de 2013.
  • Moorhouse, G. Eric Geometría de incidencia . MATH 5700 Fall 2007  (inglés) (pdf)  (enlace no disponible) . Universidad de Wyoming (agosto de 2007) . Fecha de acceso: 17 de enero de 2017. Archivado desde el original el 29 de octubre de 2013.
  • Johannes Ueberberg. Fundamentos de la Geometría de Incidencia. - Springer, 2011. - (Monografías de Springer en Matemáticas). — ISBN 978-3-642-26960-8 . -doi : 10.1007 / 978-3-642-20972-7 . .
  • Ernest E. Shult. Puntos y Líneas. - Springer, 2011. - (Universitex). — ISBN 978-3-642-15626-7 . -doi : 10.1007 / 978-3-642-15627-4 . .
  • Simeón Ball. Geometría Finita y Aplicaciones Combinatorias. - Cambridge University Press, 2015. - (Textos para estudiantes de la London Mathematical Society). — ISBN 978-1107518438 . .

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