Janko Grupo J2

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier

El grupo Janko J 2 , el grupo Hall-Janco ( HJ ), o el grupo Hall-Janco-Wells es un grupo esporádico de orden

2 7 • 3 3 • 5 2 • 7 = 604800.

Historia y propiedades

J 2 es uno de los 26 grupos esporádicos . Otro nombre es el grupo Hall-Yanko-Wells . En 1969 , Zvonimir Janko predijo J 2 como uno de los dos grupos simples que tienen 2 1+4 :A 5 como centralizador de involución (el otro es el grupo Janko J 3 ). El grupo fue construido por Hall y Wells [1] como un grupo de permutación de rango 3100 puntos.

Tanto el multiplicador de Schur como el grupo de automorfismos exteriores tienen orden 2.

J 2 es el único de los 4 grupos de Janko que es un subfactor de el monstruo , por lo que el grupo es parte de la familia que Robert Griss llamó feliz . Debido a que el grupo se encuentra en el grupo Co1 de Conway , también es parte de la segunda familia afortunada .

Vistas

J 2 es un subgrupo de índice dos grupos de automorfismos del grafo de Hall-Yanko , que conduce a una representación de permutación de orden 100. El grupo es un subgrupo de índice dos de los grupos de automorfismos de un casi octágono de Hall-Janko [2] , lo que conduce a una representación de permutación de orden 315.

El grupo tiene una representación modular dimensión seis sobre un campo de cuatro elementos. Si con característica dos tenemos w 2 + w + 1 = 0, entonces J 2 es generado por dos matrices

{\mathbf {A} }=\left({\begin{matriz}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2 }&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{matriz }}\Correcto)

{\mathbf {B} }=\left({\begin{matriz}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2} &1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{matriz}} \Correcto).

Estas matrices satisfacen las ecuaciones

{\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({ \mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.

J 2 es un grupo de Hurwitz , una imagen homeomorfa finita del grupo triangular (2,3,7) .

La representación matricial dada arriba forma una incrustación en el grupo de Dixon G 2 (4) . Hay dos clases laterales en G 2 (4) y son equivalentes en automorfismo del campo F 4 . Su intersección (el subgrupo "real") es un grupo simple de orden 6048. G 2 (4), a su vez, es isomorfo a un subgrupo del grupo Co 1 de Conway .

Subgrupos máximos

Hay 9 clases laterales de subgrupos máximos del grupo J 2 . Algunas acciones en el gráfico de Hall-Janko se describen aquí en términos.

U 3 (3) de orden 6048 es un estabilizador de un solo punto con órbitas 36 y 63.

Un grupo simple que contiene 36 subgrupos simples de orden 168 y 63 involuciones, todas las clases laterales actúan sobre 80 puntos. Estas involuciones se encuentran en 12 168 subgrupos. Su centralizador tiene la estructura 4.S 4 , que contiene 6 involuciones adicionales.

3.PGL(2,9) de orden 2160 - tiene subfactor A 6
2 1+4 :Un orden 5 1920 es el centralizador de la involución actuando sobre 80 puntos
2 2+4 :(3 × S 3 ) orden 1152
Un 4 × A 5 del pedido 720.

Contiene 2 2 × A 5 (alrededor de 240), centralizador 3 involuciones, cada una actuando sobre 100 puntos

A 5 × D 10 aprox. 600
PGL(2,7) orden 336
5 2 :D 12 pedido 300
Un orden de 5 60

Clases de conjugación

El orden máximo de cualquier elemento no supera los 15. Como permutaciones, los elementos actúan sobre 100 vértices del gráfico de Hall-Janko.

Ordenar	Elementos	Estructura de ciclos y clases laterales
1 = 1	1 = 1	1 clase
2 = 2	315 = 3 2 • 5 • 7	2 40 , 1 clase
2 = 2	2520 = 2 3 • 3 2 • 5 • 7	2 50 , 1 clase
3=3	560 = 2 4 • 5 • 7	3 30 , 1 clase
3=3	16800 = 2 5 • 3 • 5 2 • 7	3 32 , 1 clase
4 = 2 2	6300 = 2 2 • 3 2 • 5 2 • 7	2 6 4 20 , 1 clase
5 = 5	4032 = 2 6 • 3 2 • 7	5 20 , 2 clases
5 = 5	24192 = 2 7 • 3 3 • 7	5 20 , 2 clases
6 = 2 • 3	25200 = 2 4 • 3 2 • 5 2 • 7	2 4 3 6 6 12 , 1er grado
6 = 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	2 2 6 16 , 1er grado
7=7	86400 = 2 7 • 3 3 • 5 2	7 14 , 1er grado
8 = 2 3	75600 = 2 4 • 3 3 • 5 2 • 7	2 3 4 3 8 10 , 1er grado
10 = 2 • 5	60480 = 2 6 • 3 3 • 5 • 7	10 10 , 2 clases
10 = 2 • 5	120960 = 2 7 • 3 3 • 5 • 7	5 4 10 8 , 2 clases
12 = 2 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	3 2 4 2 6 2 12 6 , 1 clase
15 = 3 • 5	80640 = 2 8 • 3 2 • 5 • 7	5 2 15 6 , 2 clases

Notas

↑ Hall, Gales, 1968 .
↑ El octágono cercano en 315 puntos . Consultado el 4 de septiembre de 2017. Archivado desde el original el 29 de julio de 2021. (indefinido)

Literatura

Robert L. Griess , Jr. Doce Grupos Esporádicos. - Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag, 1998. - (Springer monograms in matematics). — ISBN 3-540-62778-2 .
Hall M., Wales D. El grupo simple de orden 604,800 // Journal of Algebra . - 1968. - T. 9 . — S. 417–450 . — ISSN 0021-8693 . -doi : 10.1016 / 0021-8693(68)90014-8 .
Janko Z. Algunos nuevos grupos simples de orden finito. I // Symposia Mathematica (INDAM, Roma, 1967/68). - Boston, MA: Academic Press , 1969. - V. 1. - S. 25-64.
Wales DB La singularidad del grupo simple de orden 604800 como subgrupo de SL(6,4) // Journal of Algebra 11. - 1969. - pp. 455–460 .
Wales DB Generadores del grupo Hall-Janko como subgrupo de G2(4) // Journal of Algebra. - 1969. - T. 13 . — S. 513–516 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(69)90113-6 .

Enlaces

MathWorld: Janko Groups Archivado el 5 de septiembre de 2017 en Wayback Machine .
Atlas de representaciones de grupos finitos: J 2
La red de subgrupos de J 2

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