120 celdas

120 celdas
Diagrama de Schlegel : proyección ( perspectiva ) de ciento veinte celdas en un espacio tridimensional
Tipo de	Politopo regular de cuatro dimensiones
Símbolo Schläfli	{5,3,3}
células	120
caras	720
costillas	1200
picos	600
figura de vértice	tetraedro regular
politopo dual	seiscientas celdas

Una celda normal de 120 , o simplemente una celda de 120 [1], es una de las seis celdas múltiples regulares en el espacio de cuatro dimensiones . También se le conoce con otros nombres: hekatonikosakhor (del otro griego ἑκατόν - "cien", εἴκοσι - "veinte" y χώρος - "lugar, espacio"), hiperdodecaedro (ya que es un análogo tetradimensional del dodecaedro ), dodecaplex (es decir, “dodecaedro complejo”), polidodecaedro . Dual a la celda seiscientas .

Descubierto por Ludwig Schläfli a mediados de la década de 1850 [2] . El símbolo de Schläfli para una celda de 120 es {5,3,3}.

Sus 9 formas estrelladas son policeldas estrelladas regulares. De las 10 multiceldas estrelladas regulares, solo una no es una estelación de 120 celdas.

Descripción

Limitado a 120 celdas tridimensionales: dodecaedros idénticos . El ángulo entre dos celdas adyacentes es exactamente $144^{\circ}.$

Sus 720 caras bidimensionales son pentágonos regulares idénticos . Cada cara comparte 2 celdas adyacentes.

Tiene 1200 costillas de igual longitud. Cada arista tiene 3 caras y 3 celdas.

Tiene 600 vértices. Cada vértice tiene 4 aristas, 6 caras y 4 celdas.

En coordenadas

Una celda de 120 se puede colocar en un sistema de coordenadas cartesianas tal que:

las coordenadas de sus 24 vértices eran todas las posibles permutaciones de números ${\ estilo de visualización (0; 0; \ pm 2; \ pm 2);}$

coordenadas de 64 vértices - por varias permutaciones ${\ estilo de visualización (\ pm 1; \ pm 1; \ pm 1; \ pm {\ sqrt {5)))}$

coordenadas de 64 vértices - por todas las permutaciones posibles donde - la proporción de la sección áurea ; $(\pm \Phi ^{-2};\pm \Phi ;\pm \Phi ;\pm \Phi ),$ $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

coordenadas de 64 vértices - por varias permutaciones $(\pm \Phi^{-1};\pm \Phi^{-1};\pm \Phi^{-1};\pm \Phi^{2});$

coordenadas de 96 vértices - por todas las permutaciones pares posibles $(0;\pm \Phi^{-2};\pm 1;\pm \Phi^{2});$

coordenadas de 96 vértices - por todas las permutaciones pares posibles $(0;\pm \Phi^{-1};\pm \Phi;\pm {\sqrt {5}});$

las coordenadas de los 192 vértices restantes - por todas las permutaciones pares posibles $(\pm \Phi ^{-1};\pm 1;\pm \Phi ;\pm 2).$

En este caso, el origen de coordenadas será el centro de simetría de la multicelda, así como el centro de sus hiperesferas tridimensionales inscritas, circunscritas y semiinscritas . ${\ estilo de visualización (0; 0; 0; 0)}$

Proyección de una celda giratoria de 120 en el espacio 3D

Proyecciones ortogonales sobre un plano

Características métricas

Si una celda de 120 tiene un borde de longitud, entonces su hipervolumen de cuatro dimensiones y su hiperárea de superficie tridimensional se expresan, respectivamente, como $a,$

V_{4}={\frac {15}{4}}\left(105+47{\sqrt {5}}\right)a^{4}\aprox. 787{,}8569810a^{4} ,

S_{3}=30\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 919{,}5742753a^{3}.

El radio de la hiperesfera tridimensional descrita (que pasa por todos los vértices de la multicelda) será entonces igual a

R={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}\right)a\aproximadamente 3{,}7024592a,

el radio de la hiperesfera exterior semi-inscrita (tocando todos los bordes en sus puntos medios) —

\rho _{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}\right)a\aprox. 3{,}6685425a ,

radio de la hiperesfera interior semi-inscrita (tocando todas las caras en sus centros) —

\rho _{2}={\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(65+29{\sqrt {5}}\right)))\;a\approx 3{, }6034146a,

radio de la hiperesfera inscrita (tocando todas las celdas en sus centros) —

r={\frac {1}{4}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 3{,}4270510a.

Notas

↑ D. K. Bobylev . Espacio tetradimensional // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
↑ George Olshevski. Hecatonicosachoron // Glosario de Hiperespacio.

Enlaces

Weisstein, Eric W. 120 celdas en Wolfram MathWorld .
Construyendo ciento veinte celdas en YouTube
Capítulos 3 y 4: La Cuarta Dimensión . Dimensiones _ dimensiones-math.org. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2015. (indefinido)

Politopos homogéneos y regulares convexos básicos en dimensiones 2–10
Familia	un norte	segundo norte	I₂(p) / D norte	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H₄
polígono regular	triángulo rectángulo	Cuadrado	p-ágono regular	Hexágono regular	pentágono regular
poliedro uniforme	tetraedro regular	Octaedro regular • Cubo	medio cubo		Dodecaedro regular • Icosaedro regular
multicelda uniforme	cinco celdas	16 celdas • Teseracto	semiteseracto	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
5-politopo homogéneo	5 simples regulares	5-orthoplex • 5-hipercubo	5-semihipercubo
6 politopos homogéneos	6 simples simples	6-orthoplex • 6-hipercubo	6-semihipercubo	1 22 • 2 21
7-politopo homogéneo	7 simples regulares	7-orthoplex • 7-hipercubo	7-semihipercubo	1 32 • 2 31 • 3 21
8 politopos homogéneos	8 simples regulares	8-orthoplex • 8-hipercubo	8-medio-hipercubo	1 42 • 2 41 • 4 21
9-politopo homogéneo	9 simples regulares	9-orthoplex • 9-hipercubo	9-semihipercubo
10 politopos homogéneos	10 simples regulares	10-orthoplex • 10-hipercubo	10-medio-hipercubo
Uniforme n - politopo	Normal n - símplex	n - orthoplex • n - hipercubo	n - semi-hipercubo	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - poliedro pentagonal
Temas: Familias de politopos • Politopos regulares • Lista de politopos regulares y sus compuestos

poliedros

correcto

Tridimensional (sólidos platónicos)	tetraedro regular Cubo Octaedro Dodecaedro icosaedro
4D	cinco celdas teseracto celda hexadecimal veinticuatro celda 120 celdas seiscientas celdas
Dimensión mayor (indicada entre paréntesis)	Símplex regular Hipercubo ( Penteract (5) hexadecimal (6) Hepteracto (7) Octeracto (8) Enneract (9) Despreciar (10) ) hiperoctaedro

regular
no convexo

Tridimensional por el número de
caras (indicado entre paréntesis)

Monoedro (1)
diedro (2)
Triedro (3)
tetraedro (4)
Pentaedro (5)
Hexaedro (6)
Heptaedro (7)
Octaedro (8)
Eneaedro (9)
Decaedro (10)
Endecaedro (11)
Dodecaedro (12)
Tridecaedro (13)
Tetradecaedro (14)
Pentadecaedro (15)
Hexadecaedro (16)
Heptadecaedro (17)
Octadecaedro (18)
Eneadecaedro (19)
Icosaedro (20)
Icosotetraedro (24)
Triacontaedro (30)
Hexacontaedro (60)
Eneacontaedro (90)
Hectotriadioedro (132)
Apeiroedro (∞)

convexo

sólidos de Arquímedes

cuerpos catalanes

prismas
prisma triangular prisma cuadrangular prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octogonal Prisma de nueve ángulos prisma decagonal Prisma de once ángulos Prisma dodecagonal

poliedros de johnson

Fórmulas ,
teoremas ,
teorías

Otro

Símbolo Schläfli
polígonos	{una} {2} {3} {cuatro} {5} {6} {7} {ocho} {9} {diez} {once} {12} {catorce} {quince} {17} {Dieciocho} {veinte} {treinta} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
polígonos estrella	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Parqués planos _	{3,6} {4,4} {6,3}
Poliedros regulares y parquets esféricos	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Poliedros de Kepler-Poinsot	{5/2.5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
panales	{4,3,4}
Poliedros de cuatro dimensiones	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}