Grupo abeliano

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Grupo abeliano (o conmutativo ) - un grupo en el que la operación de grupo es conmutativa ; en otras palabras, un grupo es abeliano si para dos elementos cualesquiera . ${\ estilo de visualización (G, \; *)}$ $a*b=b*a$ $a,\;b\en sol$

Por lo general, para denotar una operación de grupo en un grupo abeliano se utiliza la notación aditiva, es decir, una operación de grupo se denota con un signo y se denomina suma [1] $+$

El nombre se le da en honor al matemático noruego Niels Abel .

Ejemplos

El grupo de traslaciones paralelas en el espacio lineal.
Cualquier grupo cíclico es abeliano. En efecto, para cualquiera y es cierto que $G=\langle a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- En particular, el conjunto de los números enteros es un grupo conmutativo por adición; lo mismo es cierto para las clases de residuos $\matemáticas {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } \,.$
Cualquier anillo es un grupo conmutativo (abeliano) por su suma; un ejemplo es el campo de los números reales con la operación de suma de números. $\matemáticas {R}$
Los elementos invertibles de un anillo conmutativo (en particular, los elementos distintos de cero de cualquier cuerpo ) forman un grupo abeliano por multiplicación. Por ejemplo, un grupo abeliano es un conjunto de números reales distintos de cero con la operación de multiplicación.

Definiciones relacionadas

Por analogía con la dimensión de los espacios vectoriales , todo grupo abeliano tiene un rango . Se define como la dimensión mínima de un espacio vectorial sobre el campo de los números racionales , en el que se incrusta el factor de torsión de un grupo . $\matemáticas {Q}$

Propiedades

Los grupos abelianos generados finitamente son isomorfos a sumas directas de grupos cíclicos .
- Los grupos abelianos finitos son isomorfos a sumas directas de grupos cíclicos finitos.
Cualquier grupo abeliano tiene una estructura de módulo natural sobre el anillo de los enteros . De hecho, sea un número natural y sea un elemento de un grupo conmutativo con la operación denotada por +, entonces podemos definir tanto ( veces) como . $norte$ $X$ $GRAMO$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $norte$ $(-n)x=-(nx)$
- Los enunciados y teoremas que son verdaderos para grupos abelianos (es decir, módulos sobre un dominio ideal principal ) a menudo se pueden generalizar a módulos sobre un dominio ideal principal arbitrario. Un ejemplo típico es la clasificación de
grupos abelianos finitamente generados , que puede generalizarse a la clasificación de módulos arbitrarios finitamente generados sobre un dominio de ideales principales . $\matemáticas {Z}$

El conjunto de homomorfismos de todos los homomorfismos de grupo de a es en sí mismo un grupo abeliano. En efecto, sean dos homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, entonces su suma , dada como , es también un homomorfismo (esto no es cierto si no es un grupo conmutativo).

\nombre del operador {Hom}(G,\;H)

GRAMO

H

f,\;g:G\a H

f + g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

El concepto de abelianidad está estrechamente relacionado con el concepto de centro de un grupo , un conjunto formado por aquellos de sus elementos que conmutan con cada elemento del grupo y que desempeñan el papel de una especie de "medida de abelianidad". Un grupo es abeliano si y sólo si su centro coincide con todo el grupo.

Z(G)

GRAMO

GRAMO

Grupos abelianos finitos

El teorema fundamental sobre la estructura de un grupo abeliano finito establece que cualquier grupo abeliano finito se puede descomponer en una suma directa de sus subgrupos cíclicos, cuyos órdenes son potencias de números primos . Esto es una consecuencia del teorema general sobre la estructura de grupos abelianos finitamente generados para el caso en que el grupo no tenga elementos de orden infinito. es isomorfo a una suma directa si y sólo si y son coprimos . $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $metro$ $norte$

Por lo tanto, se puede escribir un grupo abeliano en forma de suma directa $GRAMO$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z }_{{k_{u}}}

de dos maneras diferentes:

donde estan los numeros primos $k_{1},\;\ldots,\;k_{u}$
Dónde se divide , qué se divide , y así hasta llegar a . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

Por ejemplo, se puede descomponer en una suma directa de dos subgrupos cíclicos de órdenes 3 y 5: . Lo mismo puede decirse de cualquier grupo abeliano de orden quince; como resultado, concluimos que todos los grupos abelianos de orden 15 son isomorfos. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Variaciones y generalizaciones

Un grupo diferencial es un grupo abeliano en el que se da tal endomorfismo que . Este endomorfismo se llama diferencial . Los elementos de los grupos diferenciales se denominan cadenas , elementos de los ciclos centrales , elementos de los límites de la imagen . ${\ matemáticas {C}}$ $d\colon {\mathbf {C}}\a {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$
Un anillo es un grupo abeliano en el que se da una operación binaria adicional "multiplicación", que satisface los axiomas de distributividad .
Un grupo metabeliano es un grupo cuyo subgrupo conmutador es abeliano.
Un grupo nilpotente es un grupo cuya serie central es finita.
Un grupo soluble es un grupo cuya serie de conmutadores se estabiliza en el grupo trivial.
Un grupo de Dedekind es un grupo del cual todos los subgrupos son normales .

Véase también

sistema algebraico

Notas

↑ Grupo abeliano: artículo de Encyclopedia of Mathematics . Yu. L. Ershov

Literatura

Curso de Álgebra de Vinberg E. B. - 3ra ed. - M. : Prensa Factorial, 2002. - 544 p. - 3000 copias. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Fuchs L. Grupos abelianos infinitos. -Mir, 1974.

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