Temperamento igual

Igual temperamento , igual temperamento ( del alemán gleichschwebende Temperatur, gleichschwebende Stimmung ) es una escala musical templada en la que cada octava se divide en intervalos matemáticamente iguales , en el caso más típico, en doce semitonos , cada uno de los cuales es igual . Tal estructura domina la música profesional europea (académica y pop) desde el siglo XVIII hasta la actualidad. Una ventaja importante del temperamento igual es la capacidad de transponer una pieza a un intervalo arbitrario. ${\raíz cuadrada[ {12}]{2}}$

Reseña histórica

El sistema de temperamento igual surgió en el contexto de la búsqueda por parte de científicos de diversas especialidades del sistema "ideal" para la música. Históricamente, las escalas de tonos medios y puras anteriores no permitían la transposición y la modulación en claves distantes sin que surgiera una fuerte disonancia acústica en las armonías consonánticas , principalmente en las tríadas y sus inversiones.

El antecesor inmediato de la escala de temperamento igual en Europa fue la escala "bien temperada", una familia de temperamentos desiguales que permitieron tocar con más o menos éxito (con diversos grados de "pureza acústica") en cualquiera de las teclas. Uno de los teóricos y propagandistas [1] de tal sistema fue Andreas Werkmeister . Muchos investigadores comparten la opinión de que el Clave bien temperado de Johann Sebastian Bach , que está muy familiarizado con las obras de Werkmeister, fue escrito para instrumentos con un temperamento tan desigual [2] .

Es imposible especificar con certeza quién "inventó" exactamente el temperamento igual. Entre sus primeros teóricos se encuentran Heinrich Grammateus (1518), Vincenzo Galilei (1581) y Maren Mersenne . Simon Stevin en su obra "Sobre la teoría del arte del canto" (c. 1585) dio un cálculo matemáticamente preciso del temperamento igual. Escrito en el idioma nativo de Stevin (flamenco), su trabajo no recibió respuesta; la fama póstuma le llegó a Stevin 300 años después, en 1884, cuando se publicó y luego se tradujo a otros idiomas.

Uno de los primeros autores en dar una justificación teórica para el temperamento igual de 12 pasos fue el príncipe chino Zhu Zaiyu (朱載堉), en un tratado de 1584 [3] . Sin embargo, se desconoce qué significado histórico tuvieron los cálculos del príncipe para la tradición teórico-musical occidental.

El nuevo orden tuvo sus opositores (como Giuseppe Tartini ) y sus propagandistas (como Johann Georg Neidhardt ). El sistema de temperamento igual provocó desviaciones de la pureza acústica ("natural") de las consonancias, como resultado, aparecieron pequeños golpes en ellas. Según algunos, estas violaciones de la pureza fueron una pérdida menor, especialmente dadas las nuevas oportunidades que tal afinación brindaba para el desarrollo de la armonía tonal . Otros vieron la pérdida de la pureza "natural" como un ataque a la "pureza" de la música.

La inconsistencia de los criterios estéticos (pureza natural versus libertad de modulación y transposición ilimitada ) se reflejó en los escritos de los teóricos de la música. Entonces, Werkmeister argumentó que en la nueva afinación todos los acordes (principalmente se referían a las tríadas) adquieren una simetría monótona, mientras que en las afinaciones "buenas" cada acorde tenía su propio sonido (acústico) único. Por otro lado, en su tratado posterior Musikalische Paradoxal-Discourse (1707), en una polémica con Neidhardt, defendió su prioridad en la "invención" del temperamento igual. Ya en el siglo XVIII, la idea del libre despliegue de la tonalidad prevaleció sobre la idea de la pureza "acústica" natural. En la música académica y pop, el temperamento igual ha recibido reconocimiento mundial y se ha convertido en el estándar de facto del sistema musical.

Cálculo de frecuencias de sonidos

Puede calcular matemáticamente las frecuencias para toda la escala usando la fórmula:

f(i)=f_{0}\cdot 2^{{i/12}}

donde f 0 es la frecuencia del diapasón (por ejemplo , La 440 Hz), e i es el número de semitonos en el intervalo desde el sonido en estudio hasta el estándar f 0 .

La secuencia de frecuencias calculada de esta manera forma una progresión geométrica :

por ejemplo, puede calcular la frecuencia del sonido por tono (2 semitonos ) más bajo desde el diapasón La - notas sol :

i=-2

f(-2)=440\,{\mathrm {Hz}}\cdot 2^{{-2/12}}\approx {391,995}\,{\mathrm {Hz}}

si necesita calcular la frecuencia de la nota Sol, pero una octava (12 semitonos ) más alta:

i=12-2=10

f(10)=440\,{\mathrm {Hz}}\cdot 2^{{10/12}}\approx {783,991}\,{\mathrm {Hz}}

Las frecuencias de las dos notas G resultantes difieren en un factor de dos, lo que da como resultado una octava pura.

Comparación con la afinación natural

Una escala de temperamento igual se puede mostrar como valores de intervalo en centavos :

Tono	C1 _	C♯_ _	D	re♯	mi	F	F♯ _	GRAMO	G♯ _	A	un ♯	B	C2 _
Centavo	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

La siguiente tabla muestra las diferencias cuantitativas entre los intervalos de temperamento igual y los intervalos naturales:

Intervalo	Intervalos templados iguales	intervalos naturales	diferencia de centavos
Prima	${\sqrt[{12}]{2^{0))}=1=0\,$ centavos	${\frac{1}{1}}=1=0\,$ centavos	0
segunda menor	${\sqrt[{12}]{2^{1}}}={\sqrt[{12}]{2}}\aprox. 1{,}059463=100\,$ centavos	${\frac {16}{15}}\aproximadamente 1{,}066667\aproximadamente 111{,}73\,$ centavos	−11,73
segundo mayor	${\sqrt[{12}]{2^{2}}}={\sqrt[{6}]{2}}\aprox. 1{,}122462=200\,$ centavos	${\frac {9}{8}}=1{,}125\aproximadamente 203{,}91\,$ centavos	−3,91
Tercera menor	${\sqrt[{12}]{2^{3}}}={\sqrt[{4}]{2}}\aprox. 1{,}189207=300\,$ centavos	${\frac {6}{5}}=1{,}2\aproximadamente 315{,}64\,$ centavos	−15,64
tercera mayor	${\sqrt[{12}]{2^{4}}}={\sqrt[{3}]{2}}\aprox. 1{,}259921=400\,$ centavos	${\frac {5}{4}}=1{,}25\aproximadamente 386{,}31\,$ centavos	13.69
Cuarto de galón	${\sqrt[{12}]{2^{5}}}={\sqrt[{12}]{32}}\aprox. 1{,}334840=500\,$ centavos	${\frac {4}{3}}\aproximadamente 1{,}333333\aproximadamente 498{,}04\,$ centavos	1.96
Tritón	${\sqrt[{12}]{2^{6}}}={\sqrt {2}}\aprox. 1{,}414214=600\,$ centavos	${\frac {45}{32}}\aproximadamente 1{,}406250\aproximadamente 590{,}22\,$ centavos	9.78
Quinta	${\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\sqrt[{12}]{128}}\aprox. 1{,}498307=700\,$ centavos	${\frac {3}{2}}=1{,}5\aproximadamente 701{,}96\,$ centavos	−1,96
sexta menor	${\sqrt[{12}]{2^{8}}}={\sqrt[{3}]{4}}\aprox. 1{,}587401=800\,$ centavos	${\frac {8}{5}}=1{,}6\aproximadamente 813{,}69\,$ centavos	−13,69
sexta mayor	${\sqrt[{12}]{2^{9}}}={\sqrt[{4}]{8}}\aprox. 1{,}681793=900\,$ centavos	${\frac {5}{3}}\aproximadamente 1{,}666667\aproximadamente 884{,}36\,$ centavos	15.64
séptima menor	${\sqrt[{12}]{2^{10}}}={\sqrt[{6}]{32}}\aprox. 1{,}781797=1000\,$ centavos	${\frac {16}{9}}\aproximadamente 1{,}777778\aproximadamente 996{,}09\,$ centavos	3.91
gran séptimo	${\sqrt[{12}]{2^{11}}}={\sqrt[{12}]{2048}}\aprox. 1{,}887749=1100\,$ centavos	${\frac {15}{8}}=1{,}875\aproximadamente 1088{,}27\,$ centavos	11.73
Octava	${\sqrt[{12}]{2^{12))}=2=1200\,$ centavos	${\frac {16}{8}}=2=1200\,$ centavos	0

Frecuencias estimadas para teclados de piano

Notas

Los valores de frecuencia se calculan en base a la frecuencia estándar del diapasón la 1 = 440 Hz.
Para conocer el fenómeno de la igualdad inexacta entre las frecuencias calculadas y reales de un piano afinado (expansión de intervalos en los bordes del rango), consulte Curvas de Railsback .

Subcontratista

Cubre sonidos con frecuencias desde 16.352 Hz (inclusive) hasta 32.703 Hz. Los nombres de los pasos se escriben con mayúscula y se pone el número 2 (o dos trazos) abajo a la derecha. En notación científica, tiene el número 0.

Número de paso	Frecuencia, Hz	Notación silábica según Helmholtz	Designación de letras según Helmholtz	notación americana	Notación de frecuencia de coordenadas
una	16.352	hasta 2	C2 _	C0	-52
2	18.354	Re 2	D2 _	D0	-cincuenta
3	20.602	Mi 2	mi 2	E0	-48
cuatro	21.827	Fa 2	F2 _	F0	-47
5	24.500	sal 2	G2 _	G0	-45
6	27,500	La 2	A2 _	A0	-43
7	30.868	C 2	H2 _	B0	-41

Contractiva

Cubre sonidos con frecuencias desde 32.703 Hz (inclusive) hasta 65.406 Hz. Los nombres de los pasos se escriben con mayúscula y el número 1 (o un trazo) se pone abajo a la derecha. Es el número 1 en notación científica.

Número de paso	frecuencia Hz	Notación silábica según Helmholtz	Designación de letras según Helmholtz	notación americana	Notación de frecuencia de coordenadas
una	32.703	hasta 1	C1 _	C1	-40
2	36.708	Re 1	D1 _	D1	-38
3	41.203	Mi 1	mi 1	E1	-36
cuatro	43.654	Fa 1	F1 _	F1	-35
5	48.999	Sol 1	G1 _	G1	-33
6	55,000	La 1	un 1	A1	-31
7	61.735	C 1	H1 _	B1	-29

Octava mayor

Cubre sonidos con frecuencias desde 65,406 Hz (inclusive) hasta 130,81 Hz. Los nombres de los pasos se escriben con mayúscula sin números ni trazos adicionales. Es el número 2 en notación científica.

Número de paso	frecuencia Hz	Notación silábica según Helmholtz	Designación de letras según Helmholtz	notación americana	Notación de frecuencia de coordenadas
una	65.406	Antes	C	C2	-28
2	73.416	Re	D	D2	-26
3	82.406	Mi	mi	E2	-24
cuatro	87.307	F	F	F2	-23
5	97.999	Sal	GRAMO	G2	-21
6	110.00	la	A	A2	-19
7	123.47	xi	H	B2	-17

Pequeña octava

Cubre sonidos con frecuencias desde 130,81 Hz (inclusive) hasta 261,63 Hz. Los nombres de los pasos se escriben con letra minúscula sin números ni trazos adicionales. Es el número 3 en notación científica.

Número de paso	frecuencia Hz	Notación silábica según Helmholtz	Designación de letras según Helmholtz	notación americana	Notación de frecuencia de coordenadas
una	130.81	antes de	C	C3	-dieciséis
2	146.83	re	d	D3	-catorce
3	164.81	mi	mi	E3	-12
cuatro	174.61	F	F	F3	-once
5	196.00	sal	gramo	G3	-9
6	220.00	la	a	A3	-7
7	246.94	si	h	B3	-5

Primera octava

Incluye sonidos con frecuencias desde 261,63 Hz (inclusive) hasta 523,25 Hz. Los nombres de los pasos se escriben con una letra minúscula, el número 1 (o un trazo) se escribe en la parte superior derecha. En notación científica, es el número 4.

Número de paso	frecuencia Hz	Notación silábica según Helmholtz	Designación de letras según Helmholtz	notación americana	Notación de frecuencia de coordenadas
una	261.63	hasta 1	do 1	C4	-cuatro
2	293.67	1 _	d1_ _	D4	-2
3	329.63	millas 1	mi 1	E4	-0
cuatro	349.23	para 1	f1 _	F4	+0
5	392.00	sal 1	gramo 1	G4	+2
6	440.00	la 1	un 1	A4	+4
7	493.88	si 1	h1 _	B4	+6

Segunda octava

Incluye sonidos con frecuencias desde 523,25 Hz (inclusive) hasta 1046,5 Hz. Los nombres de los pasos se escriben con letra minúscula, el número 2 (o dos trazos) se escribe arriba a la derecha. Es el número 5 en notación científica.

Número de paso	frecuencia Hz	Notación silábica según Helmholtz	Designación de letras según Helmholtz	notación americana	Notación de frecuencia de coordenadas
una	523.25	hasta 2	c 2	C5	+7
2	587.33	re 2	d2_ _	D5	+9
3	659.26	millas 2	mi 2	E5	+11
cuatro	698.46	fa 2	f2 _	F5	+12
5	783.99	sal 2	g2 _	G5	+14
6	880.00	la 2	un 2	A5	+16
7	987.77	Si 2	h2 _	B5	+18

Tercera octava

Incluye sonidos con frecuencias desde 1046,5 Hz (inclusive) hasta 2093,0 Hz. Los nombres de los pasos se escriben con letra minúscula, el número 3 (o tres trazos) se escribe arriba a la derecha. En notación científica, tiene el número 6.

Número de paso	frecuencia Hz	Notación silábica según Helmholtz	Designación de letras según Helmholtz	notación americana	Notación de frecuencia de coordenadas
una	1046.5	hasta 3	do 3	C6	+19
2	1174.7	3 _	d3 _	D6	+21
3	1318.5	millas 3	mi 3	E6	+23
cuatro	1396.9	para 3	F 3	F6	+24
5	1568.0	sal 3	gramo 3	G6	+26
6	1760.0	la 3	un 3	A6	+28
7	1975.5	Si 3	hora 3	B6	+30

Cuarta octava

Incluye sonidos con frecuencias desde 2093,0 Hz (inclusive) hasta 4186,0 Hz. Los nombres de los pasos se escriben con letra minúscula, el número 4 (o cuatro trazos) se escribe arriba a la derecha. Es el número 7 en notación científica.

Número de paso	frecuencia Hz	Notación silábica según Helmholtz	Designación de letras según Helmholtz	notación americana	Notación de frecuencia de coordenadas
una	2093.0	hasta 4	do 4	C7	+31
2	2349.3	re 4	d4 _	D7	+33
3	2637.0	mi 4	mi 4	E7	+35
cuatro	2793.8	fa 4	f4 _	F7	+36
5	3136.0	sal 4	g4 _	G7	+38
6	3520.0	la 4	un 4	A7	+40
7	3951.1	Si 4	hora 4	B7	+42

Quinta octava

Incluye sonidos con frecuencias desde 4186,0 Hz (inclusive) hasta 8372,0 Hz. En notación de Helmholtz, los nombres de los pasos se escriben con una letra minúscula, el número 5 (o cinco trazos) se escribe en la parte superior derecha. Es el número 8 en notación científica.

Número de paso	frecuencia Hz	Notación silábica según Helmholtz	Designación de letras según Helmholtz	notación americana	Notación de frecuencia de coordenadas
una	4186.0	hasta 5	de 5	C8	+43
2	4698.6	5 _	d5 _	D8	+45
3	5274.0	millas 5	mi 5	E8	+47
cuatro	5587.7	fa 5	f5 _	F8	+48
5	6271.9	sal 5	g5 _	G8	+50
6	7040.0	la 5	un 5	A8	+52
7	7902.1	si 5	hora 5	B8	+54

Variantes de igual temperamento

El temperamento igual (RT) más común y extendido es el de 12 pasos (era la información dada arriba la que le correspondía).

Sin embargo, también existen variantes de igual temperamento con distinto número de divisiones de octava ( n ). En este caso, la fórmula de las frecuencias se modifica en

{\displaystyle f(i)=f_{0}\cdot 2^{i/n))

Para escribir la expresión " n -stage RT" más corta, se introduce la abreviatura " n -tRT" , donde el número n corresponde al número de pasos por octava. Hay piezas musicales escritas en 19-tRT [4] , 24-tRT, 31-tRT [5] e incluso 53-tRT [6] . A principios del siglo XXI, P. A. Chernobrivets está trabajando en el estudio del temperamento igual de 20 pasos [7] .

La elección del valor n = 12 como el principal se debe a que para la sonoridad acústicamente clara de las obras musicales polifónicas es especialmente importante la sonoridad pura de las quintas (como las más “consonantes”, aparte de la octava, los intervalos ), e idealmente, la relación de frecuencia de las notas que forman la quinta debe ser igual a 3/2. Con RT, el “quinto” para cada n corresponde a un número k tal que , y es posible verificar por enumeración que para n = 12 (con k = 7 es el entero más cercano a ln(3/2)/ln( 2) n ) se logra la mejor aproximación que para n más pequeños o ligeramente más grandes ( sería más preciso para n = 41 o n = 53, pero n demasiado grande es inconveniente desde un punto de vista práctico) [8] . ${\ estilo de visualización 2 ^ {k/n} \ aproximadamente 3/2}$

Los temperamentos iguales también pueden dividir otro intervalo, no solo una octava, en un número entero de pasos iguales. Para evitar ambigüedades, en la literatura inglesa, por ejemplo, se usa ampliamente la frase "divisiones iguales de una octava" o su forma abreviada EDO. En ruso, la frase "divisiones iguales de la octava" o RDO transmite el mismo significado. Por lo tanto, 12-tRT también puede denominarse 12RDO, 19-tRT como 19RDO, y así sucesivamente [9] .

Temperamento igual y otras afinaciones

Junto con el ahora dominante sistema de temperamento uniforme, había otros sistemas. El estudioso de la música rusa del siglo XIX, Vladimir Odoevsky , por ejemplo, escribió:

Un plebeyo ruso con talento musical, cuyo oído aún no ha sido mimado por las zanfoñas callejeras o la ópera italiana, canta muy fielmente; y, por su propio instinto, toma el intervalo muy claramente, por supuesto, no en nuestra fea escala temperada <...> grabé de la voz de [nuestro famoso cantante ruso Ivan Evstratievich Molchanov, un hombre con una maravillosa organización musical] una canción muy interesante: “En la Trinidad, en Sergio, estaba cerca de Moscú” <…> noté que el Si del cantante no encaja de ninguna manera con mi piano Si ; y Molchanov también notó que algo andaba mal aquí <...> Esto me llevó a la idea de arreglar un piano sin templar en un sistema como uno ordinario. Tomé como base la gamma natural calculada por logaritmos acústicos utilizando el método de Prony; en esta clavicin enarmónica todas las quintas son puras, los sostenidos marcados en rojo están separados de los bemoles y, por una imposibilidad en el mecanismo del instrumento mismo, sacrifiqué fa $\plano$ y ut $\plano$ para conservar si $\agudo$ y mi $\agudo$ , porque nuestros cantores folklóricos - por alguna razón que no entiendo, canta más en tonos agudos que planos

— V. F. Odoievski [10]

Un gran movimiento de músicos autenticistas practica la reproducción de la música del pasado en las afinaciones en que fue escrita la música que tocan.

En la música tradicional no europea, se conserva la práctica de usar escalas que difieren del temperamento igual, en todos los géneros y formas del poderoso makamo , la tradición mugham [11] , así como en la india [12] , etc.

Notas

↑ Ver Werckmeister A. Musicae mathematicae hodegus curiosus… (1687), Musikalische Temperatur, oder… (1691)
↑ Bach, JS JS Bach: El clave bien temperado (neopr.) / Palmer, Willard A.. - Los Ángeles, CA: Alfred Music Publishing, 2004. - Pág. 4. - ISBN 0882848313 .
↑ Hart R. Quantifying Ritual: Political Cosmology, Courtly Music, and Precision Mathematics in Seventeenth-Century China Archivado el 5 de marzo de 2012.
↑ Nueve preludios para dos pianos en temperamento de 19 tonos . Archivado el 26 de febrero de 2012 en Wayback Machine por Joel
↑ Concierto núm. 2 para dos violines y orquesta Archivado el 1 de septiembre de 2012 en Wayback Machine por Henk Badings , 1969
↑ Carta de B. Cicovacki a P. Scaruffi Archivado el 14 de diciembre de 2011 en Wayback Machine :
... Josip Slavensky escribió una obra para instrumentos electrónicos llamada "Música en el sistema tonal natural" (1937). Consta de dos partes, la primera está escrita para el armonio de Bosanquet con 53 tonos por octava..."

(" ...JOSIP STOLCER SLAVENSKI <...> compuso una composición para instrumentos electrónicos con el título Music in the Natural Sistema Tonal (1937). Incluye dos movimientos: el primer movimiento está escrito para el enarmonio de Bosanquet con 53 tonos en una octava ")
↑ Chernobrivets P. A. Relaciones sonido-tono y características de la formación del sistema en condiciones de temperamento uniforme de veinte tonos. Revista de la Sociedad de Teoría de la Música. Nº 8. 2014/4. . Consultado el 29 de julio de 2022. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2022. (indefinido)
↑ Voloshinov, A.V. Matemáticas y Arte (Cap. 9: "Álgebra de la Armonía - Temperamento") . - Moscú: Educación , 1992. - ISBN 5090027056 . (Ruso)
↑ I. Alieva _ _ _
↑ Odoevsky V. F. [“plebeyos rusos...”]. Cit. de la colección de V. F. Odoevsky. Patrimonio musical y literario.- M .: State Musical Publishing House, 1956. - p. 481-482
↑ En ciencia doméstica , esto fue señalado, a partir de fines de la década de 1920, por el destacado musicólogo y etnógrafo V. M. Belyaev ; ver, por ejemplo, sus obras: Música turcomana. Volumen 1. M., 1928 (con V. A. Uspensky); Guía para la medición de instrumentos musicales populares, M., 1931; Instrumentos musicales de Uzbekistán, M., 1933; Sistemas de trastes en la música de los pueblos de la URSS // V. M. Belyaev. [Se sentó. artículos]. M.: Sov. compositor, 1990. Entre las publicaciones modernas se encuentra el informe de S. Agayeva y Sh. Hajiyev "Sobre los problemas del estudio del sistema de tono de los mughams azerbaiyanos". VII Pasante. simposio de investigacion cientifica grupo "Makam" en la Internacional. Consejo de Trad. música UNESCO. Bakú. 2011. S. 20-32; ver también el artículo mencionado Archivado el 15 de enero de 2013 en Wayback Machine de I. Aliyeva . Para una breve revisión y bibliografía de la literatura extranjera sobre este tema, véase O. Wright et al. musica arabe I. Música artística // Diccionario de música y músicos de New Grove . Londres, Nueva York, 2001; H. Farhat. Irán. II. tradición clásica. 2. Teoría de intervalos y escalas, 3. El sistema modal. // ibíd. Véase también 'Issam El-Mallah. Música Árabe y Notación Musical. Hans Schneider Verlag. Tutzing. 2001; S. Marco. La interfaz entre la teoría y la práctica: la entonación en la música árabe. música asiática vol. 24, núm. 2 (1993), págs. 39-58; H. Farhat. Scales and Intervals: Theory and Practice, Irish Musical Studies, i (1990), págs. 216-26.
↑ Para consultar un resumen y bibliografía de la literatura extranjera sobre el tema, véase Powers H. y Widdess R. India, subcontinente de. tercero Teoría y práctica de la música clásica. 1. Sistemas tonales // The New Grove Dictionary of Music and Musicians . Londres, Nueva York, 2001.

Literatura

Barbour JM Afinación y temperamento: un estudio histórico. East Lansing, 1951; Mineola, 2004;
Lindley M. Laúdes, violas y temperamentos. Cambridge, 1984;
Lindley M. Stimmung und Temperatur // Geschichte der Musiktheorie. bd. 6. Darmstadt, 1987, págs. 109-331.
Lindley M., Turner-Smith R. Modelos matemáticos de escalas musicales: un nuevo enfoque. Bonn, 1993;
Auhagen W. Stimmung und Temperatur // Die Musik in Geschichte und Gegenwart . Sachteil. bd. 8. Kassel; Basilea, 1998, sp. 1831-1847.
Rasch R. Afinación y temperamento // La historia de Cambridge de la teoría de la música occidental. Cambridge, 2002, p.193-222.

Enlaces

Zubov A. Yu. Temperamento // Gran Enciclopedia Rusa. T. 32. M., 2016, pág. 27

diccionarios y enciclopedias	Gran danés Brockhaus y Efron Britannica (en línea)

escala musical
sistema pitagórico afinación natural tono medio temperamento igual