Relación

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Razón en matemáticas (razón, proporción) es la relación entre dos valores numéricos homogéneos [1] . Por lo general, se expresa como " a a b " o , a veces, se expresa aritméticamente como el resultado (no necesariamente un número entero ) de dividir dos valores numéricos [2] , lo que representa directamente cuántas veces el primer número contiene el segundo [3] .

En pocas palabras, la proporción muestra que por cada cantidad de una cosa, hay una cantidad de otra cosa. Por ejemplo, supongamos que alguien tiene 8 naranjas y 6 limones en un frutero, la proporción de naranjas a limones es 8:6 (o equivalente a 4:3) y la proporción de limones a naranjas es 3:4. Además, el número de naranjas respecto al total de frutos será de 4:7 (equivalente a 8:14). Una proporción de 4:7 se puede convertir en una fracción de 4/7, mostrando qué proporción del número total de frutas son naranjas.

Designaciones y términos

La razón de los números A y B se puede representar como: [2]

además, por regla general, las razones se escriben como razones de números enteros, y en este caso la razón de los números A y B también es

Los números A y B en este contexto a veces se denominan términos (términos), donde A  es el antecedente y B  es el consecuente .

La proporción que expresa la igualdad de las razones A  : B y C  : D se escribe como A  : B = C  : D o A  : B ∷ C  : D . Lee:

A es a B lo que C es a D.

Y en este caso A , B , C , D se llaman miembros de la proporción. A y D  son los términos extremos de la proporción, y B y C  son los términos medios .

A veces, en proporciones, se pueden escribir tres o más términos. Por ejemplo, las dimensiones de un objeto con una sección de dos a cuatro y una longitud de diez centímetros serán 2: 4: 10. La igualdad de tres o más proporciones se denomina proporción continua (Proporción continua en inglés  - a series of ratios ). [2]

Historia y etimología

Es imposible rastrear los orígenes del concepto de proporción, ya que las ideas a partir de las cuales se desarrolló deben haber sido conocidas por las culturas prealfabetizadas. Por ejemplo, la idea de que una aldea tiene el doble de tamaño que otra es tan básica que incluso una sociedad prehistórica la habría entendido. [cuatro]

Para denotar la relación, los griegos usaban el término otro griego. λόγος , que los latinos tradujeron como ratio ("razón razonable"; como en la palabra "racional") o como proportio . (Se puede pensar en un número racional como el resultado de la proporción de dos números enteros). Una interpretación más moderna del significado antiguo está más cerca de "cálculo" o "cálculo". [3] Boecio ("Fundamentos de aritmética", "Fundamentos de música", principios del siglo VI) usó la palabra proportio (junto con ratio , comparatio y habitudo ) para denotar ratio y proporcionalitas (traducción de otro griego. ἀναλογία ) para denotar proporción (relaciones de parentesco) [5] . Esta terminología (debido al uso generalizado de la Aritmética y la Música por parte de Boecio) también se practicó en la Edad Media.

Euclid combinado en los Elementos resulta de fuentes anteriores. Los pitagóricos desarrollaron la teoría de la razón y la proporción aplicada a los números [6] . El concepto pitagórico de número incluía únicamente los números racionales , lo que planteaba dudas sobre la aplicabilidad de la teoría en la geometría, donde, como también descubrieron los pitagóricos, existen dimensiones inconmensurables correspondientes a los números irracionales . El descubrimiento de la teoría de las relaciones, que no asumía la conmensurabilidad, pertenece probablemente a Eudoxo de Cnido . En el Libro VII de los "Principios" se da una teoría anterior de las proporciones de cantidades conmensurables [7] .

La existencia de varias teorías parece una complicación innecesaria para la visión moderna, ya que las proporciones están determinadas en gran medida por el resultado de la división. Sin embargo, este es un descubrimiento bastante reciente, como se puede ver por el hecho de que los libros de texto de geometría modernos todavía usan una terminología diferente para las razones (razón) y los resultados de las divisiones (cociente, cociente). Hay dos razones para esto. Primero, estaba la reticencia antes mencionada a reconocer los números irracionales como números verdaderos. En segundo lugar, la falta de símbolos (notaciones) ampliamente utilizados para reemplazar la terminología ya establecida de proporciones retrasó la aceptación total de las fracciones como alternativa hasta el siglo XVI. [ocho]

Las definiciones de Euclides

El Libro V de los Elementos de Euclides contiene 18 definiciones relativas a las relaciones [9] . Además, Euclides usa ideas que estaban en un uso tan amplio que no las define. Las dos primeras definiciones dicen que una parte de una cantidad es otra cantidad que la "mide", y viceversa, un múltiplo de una cantidad es otra cantidad que es medida por ella. En términos modernos, esto significa que un múltiplo de una cantidad es esa cantidad multiplicada por un número entero mayor que uno, y la fracción de la cantidad (es decir, el divisor ) cuando se multiplica por un número mayor que uno da esa cantidad.

Euclides no define la palabra "medida". Sin embargo, se puede suponer que si una cantidad se toma como unidad de medida y otra cantidad se representa como el número total de tales unidades de medida, entonces la primera cantidad mide la segunda. Tenga en cuenta que estas definiciones se repiten casi palabra por palabra como definiciones 3 y 5 en el Libro VII.

La definición 3 explica qué es una relación en un sentido general. No es matemáticamente riguroso y algunos eruditos lo atribuyen a los editores más que al propio Euclides. [10] Euclides define la relación entre dos cantidades del mismo tipo , como dos segmentos o dos áreas, pero no la relación entre la longitud y el área. La definición 4 hace que esto sea aún más riguroso. Establece que existe una razón entre dos cantidades si hay un múltiplo de cada una que es mayor que la otra. En términos modernos: existe una relación entre las cantidades p y q si hay números enteros m y n tales que mp > q y nq > p . Esta condición se conoce como el axioma de Arquímedes .

La definición 5 es la más compleja y difícil de entender. Explica lo que significa la igualdad para dos razones. Hoy en día se puede afirmar simplemente que las razones son iguales si los resultados de dividir términos son iguales, pero Euclides no reconoció la existencia de resultados de división para cantidades inconmensurables, por lo que para él tal definición no tendría sentido. Por lo tanto, se requería una definición más sutil para el caso de cantidades que no se miden directamente entre sí. Si bien puede que no sea posible asignar un valor racional a una razón, es posible comparar la razón con un número racional. Es decir, dadas dos cantidades p y q , y un número racional m / n , podemos decir que la razón de p a q es menor, igual o mayor que m / n cuando np es menor, igual o mayor que mq , respectivamente. La definición euclidiana de igualdad se puede expresar de la siguiente manera: dos razones son iguales cuando se comportan de la misma manera siendo menores, iguales o mayores que cualquier número racional. En notación moderna, se ve así: dadas las cantidades p , q , r y s , p : q :: r : s se cumple si para cualquier número entero positivo m y n la relación np < mq , np = mq , np > mq en según nr < ms , nr = ms , nr > ms . Existe una notable similitud entre esta definición y la teoría del corte de Dedekind utilizada en la moderna teoría de los números irracionales [11] .

La definición 6 establece que las cantidades con la misma razón son proporcionales o en proporción . Euclides usa la palabra griega ἀναλόγον (análogo), con la misma raíz que λόγος, de donde se deriva la palabra "análogo".

La definición 7 explica lo que significa que una razón sea menor o mayor que otra, y se basa en las ideas de la definición 5. En notación moderna: dadas las cantidades p , q , r y s , p : q > r : s si hay enteros positivos m y n tales que np > mq y nr ≤ ms .

Al igual que con la definición 3, algunos investigadores ven la definición 8 como una inclusión tardía por parte de los editores. Dice que los tres términos p , q y r son proporcionales si p : q :: q : r . Esto se expande a 4 términos p , q , r y s como p : q :: q : r :: r : s , etc . Las sucesiones que tienen la propiedad de que las proporciones de los términos sucesivos son iguales se denominan progresiones geométricas . Las definiciones 9 y 10 aplican esto diciendo que si p , q y r están en proporción, entonces p : r es la razón duplicada de p : q , y si p , q , r y s están en proporción, entonces p : s es la razón por triplicado para p : q . Si p , q y r están en proporción, se dice que q es la media proporcional (o media geométrica ) de p y r . De manera similar, si p , q , r y s están en proporción, entonces se dice que q y r son media proporcionales para p y s .

Porcentaje

Si multiplicas todas las cantidades de una razón por el mismo número, la razón no cambiará. Por ejemplo, una proporción de 3:2 es lo mismo que 12:8. Por lo general, los términos de la proporción se reducen al mínimo común denominador o se expresan en fracciones de cien ( por ciento ). A veces, para facilitar la comparación, las relaciones se presentan como n :1 o 1: n .

Si la mezcla contiene las sustancias A , B , C y D en una proporción de 5:9:4:2, entonces contiene 5 partes de A por cada 9 partes de B , 4 partes de C y 2 partes de D. Como 5+9+4+2=20, la mezcla total contiene 5/20 A (5 partes de 20), 9/20 B , 4/20  C y 2/20 D. Si estos números, divididos por la cantidad total, se multiplican por 100, entonces obtenemos los porcentajes: 25% A, 45% B, 20% C y 10% D (equivalente a escribir la razón como 25:45:20:10 ).

Proporciones

Si, en cualquier situación dada, se consideran dos o más cantidades que están en proporción, digamos, si hay dos manzanas y tres naranjas en una canasta, y solo estas, entonces podemos decir que el "todo" contiene cinco partes, que consisten en de dos partes de manzanas y tres piezas de naranjas. En este caso , , o el 40% del total, son manzanas, y , o el 60% del total, son naranjas. Esta comparación de una cantidad dada con un "todo" a veces se llama proporción. Las proporciones a veces se expresan como porcentajes , como se indicó anteriormente.

Otros usos

Véase también

Notas

  1. ↑ Wentworth, pág. 55
  2. ↑ 1 2 3 Nueva Enciclopedia Internacional
  3. ↑ 1 2 Penny Cyclopedia, pág. 307
  4. ↑ Smith, pág. 477
  5. ↑ A. M. S. Boecio. Fundamentos de la Música / Preparación del texto, traducción del latín y comentario de S. N. Lebedev. M.: Centro científico y editorial "Conservatorio de Moscú", 2012, pp. xxxiv-xxxv, 276.
  6. ↑ Heath, 1908 , pág. 112.
  7. ↑ Heath, 1908 , pág. 113.
  8. ↑ Smith, pág. 480
  9. ↑ Heath, 1908 , referencia para la sección.
  10. ↑ "Geometría euclidiana" Encyclopædia Britannica Undécima edición p682.
  11. ↑ Heath, 1908 , pág. 125.

Literatura