Teoría de funciones de variable real

La teoría de funciones de variable real ( TFVP , o la teoría de funciones de variable real , TFDP ) es una rama del análisis matemático que estudia la representación y aproximación de funciones , sus propiedades locales y globales. Al mismo tiempo, en contraste con el cálculo diferencial e integral clásico, TFVP se basa en la teoría de conjuntos y la teoría de la medida , utiliza ampliamente sus conceptos y métodos, lo que permitió generalizar significativamente los resultados clásicos, darles una justificación rigurosa y obtener nuevos. resultados [1] .

El análisis clásico de los siglos XVII-XIX se limitó principalmente al estudio de funciones suaves o suaves por partes . En la segunda mitad del siglo XIX quedó claro que las clases de funciones más generales también eran de interés práctico; también resultó que conceptos como continuidad , longitud de curva o área de superficie que parecían intuitivamente obvios requieren una definición más rigurosa [2] . El problema se resolvió con el advenimiento de la medida de Lebesgue y el enfoque de la teoría de conjuntos del concepto de una función como una relación binaria [1] . La nueva base del análisis permitió preservar todo el conocimiento acumulado previamente (aunque hubo que aclarar algunas de las formulaciones) y demostrar una serie de nuevos teoremas profundos, como el lema de Heine-Borel , el teorema de Ascoli-Arzela , el teorema de Weierstrass-Stone , el lema de Fatou , el teorema de Lebesgue sobre la convergencia dominada , y muchos otros.

TPFT está estrechamente relacionado con ramas de las matemáticas como la geometría , el álgebra lineal , el análisis funcional , la topología , etc. [3]

Composición del TFVP

La estructura del TFVP incluye varios subapartados, entre los que se pueden distinguir tres como principales [4] [5] :

  1. Teoría descriptiva de funciones. Estudia las propiedades generales de las clases de funciones obtenidas como resultado del paso al límite . En esta subsección, en particular, se descubrieron clases de funciones de Baer que están estrechamente relacionadas con la clasificación de conjuntos de Borel .
  2. Teoría métrica de funciones. Estudia las propiedades de las funciones a partir del concepto de medida de Lebesgue de un conjunto (introducido por Henri Lebesgue en 1902) y la teoría de la integral de Lebesgue . Además de funciones, aquí se estudian las propiedades de derivadas , integrales, series funcionales , se construye una teoría general de sumatoria de series y sucesiones . El lugar de las funciones suaves fue ocupado por clases mucho más amplias de funciones medibles , sumables y generalizadas .
  3. La teoría de la aproximación de funciones (por ejemplo, por polinomios ) [6] .

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 Enciclopedia Matemática, 1985 , p. 688-690.
  2. ↑ Matemáticas, su contenido, métodos y significado, 1956 , p. cuatro
  3. ↑ Natanson, 1974 , pág. 7.
  4. ↑ Enciclopedia Matemática, 1985 , p. 689.
  5. ↑ BRE .
  6. ↑ Aproximación de funciones  // Gran Enciclopedia Rusa  : [en 35 volúmenes]  / cap. edición Yu. S. Osipov . - M.  : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.

Literatura

Enlaces

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