Matriz hermítica
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 24 de noviembre de 2021; las comprobaciones requieren 4 ediciones .Una matriz hermítica (o autoadjunta ) es una matriz cuadrada cuyos elementos son números complejos y que, transpuestos , es igual al complejo conjugado: . Es decir, para cualquier columna y fila , la igualdad es verdadera
donde es el número complejo conjugado k ,
o
donde esta la conjugacion hermitiana
es el operador de conjugación hermítica (notación en mecánica cuántica ).
Por ejemplo, matriz
es hermitiano.
En consecuencia, una matriz antihermítica es una matriz cuadrada cuyos elementos satisfacen la igualdad , o .
La matriz hermitiana recibió su nombre después de que Charles Hermite mostrara en 1855 que las matrices de esta forma, como las matrices simétricas , tienen valores propios reales .
Propiedades básicas
- La matriz hermítica es normal .
- Los elementos diagonales de la matriz hermítica son reales .
- Una matriz hermítica real (es decir, aquella cuyos elementos son todos números reales) es simétrica :
- De manera similar, una matriz hermitiana puramente imaginaria (con elementos sin constituyentes reales) es asimétricamente simétrica .
- El determinante de una matriz hermítica es un número real.
- La suma de dos matrices hermitianas es hermitiana.
- La inversa de una matriz hermítica también es hermítica si existe.
- El producto de dos matrices hermitianas es hermitiana si y sólo si conmutan entre sí, es decir, si .
- Para una matriz hermítica, todos los valores propios son reales y los vectores propios se pueden recopilar en un sistema ortonormal .
- Los autovectores de la matriz hermitiana correspondientes a diferentes autovalores son ortogonales. Pero si dos vectores propios corresponden a un valor propio, entonces no son necesariamente ortogonales entre sí, sino ortogonales a todos los demás vectores propios correspondientes a otros valores propios.
- La forma de Jordan de una matriz hermitiana es diagonal .
Propiedades adicionales
- La suma de cualquier matriz cuadrada y su conjugado hermitiano es hermitiana.
- La diferencia de cualquier matriz cuadrada y la matriz hermítica conjugada con ella es antihermítica, es decir, .
- Cualquier matriz cuadrada C se puede representar como la suma de una matriz hermitiana y una antihermitiana:
Véase también
Enlaces
- Matrices Hermitianas / Mathpages
- 2.9 Matrices hermitianas (enlace inaccesible) / P. Lancaster MATRIX THEORY, Nauka Publishing House, Edición principal de literatura física y matemática, 1973, pp. 75-79