Operador hermitiano

En matemáticas , un operador en un espacio de Hilbert complejo o real se llama hermitiano , simétrico , si satisface la igualdad para todos desde el dominio de definición . Aquí y más abajo, se supone que es el producto escalar en . El nombre se le da en honor al matemático francés Charles Hermite . $A$ $\mathfrak H$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x, y$ $A$ $(x, y)$ $\mathfrak H$

Un operador en se llama auto-adjunto , o hermitiano hipermáximo , si coincide con su adjunto . $\mathfrak H$

El operador autoadjunto es simétrico; lo contrario generalmente no es cierto. Para operadores continuos definidos sobre todo el espacio, los conceptos de simétrico y autoadjunto coinciden.

Propiedades

1. El espectro (conjunto de valores propios ) de un operador autoadjunto es real .

Prueba

Para cualquier valor propio, por definición, es verdadero . Por lo tanto, por la definición de una transformación autoadjunta, las siguientes expresiones son iguales: $\lambda$ $A\izquierda( x \derecha) = \lambda x$

\left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right)

\left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)

de donde es un número real. $\lambda = \overline \lambda$ $\lambda$

2. En espacios unitarios de dimensión finita, la matriz de un operador autoadjunto es hermitiana . (En particular, en el espacio euclidiano, la matriz de un operador autoadjunto es simétrica).

Prueba

En un espacio unitario, el producto interior se define como , donde y son las columnas de coordenadas de los vectores y, respectivamente. Por lo tanto, por la definición de un operador autoadjunto, las expresiones son iguales $\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta$ $\xi$ $\eta$ $X$ $y$

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi } \right)^T \overline \eta = \xi ^TA^T \overline \eta

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta

Por lo tanto, , que es la definición de una matriz hermítica. $A^T = \overline A$

3. Una matriz hermitiana siempre tiene una base ortonormal de vectores propios : los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales.

Prueba Lema 1. Los espacios propios de una transformación autoadjunta son ortogonales por pares. Prueba del Lema 1: Hay dos valores propios distintos y . En consecuencia, para vectores y de sus correspondientes espacios propios, y se mantiene . Por lo tanto es igual . Pero los valores propios de la transformación autoadjunta son reales y se pueden derivar de la última expresión . Así, según la definición de transformación autoadjunta, podemos obtener , de donde, si los autovalores son diferentes , es claro que , lo que se quería demostrar.

\lambda

\mu

X

y

A\izquierda( x \derecha) = \lambda x

A\izquierda( y \derecha) = \mu y

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)

\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0

\lambda \ne \mu

\izquierda({x,y} \derecha) = 0

Lema 2. Si un subespacio es invariante bajo la transformación autoadjunta , entonces el complemento ortogonal de este subespacio también es invariante bajo .

MI'

A

A

Prueba del Lema 2: Se sabe que en él reside la imagen de cualquier vector perteneciente al subespacio . Por lo tanto, para cualquier vector , . Como la transformación es autoadjunta, se sigue que , es decir, la imagen de cualquier vector de pertenece a , lo que significa que el subespacio es invariante bajo la transformación A, que se iba a probar.

X

MI'

y \in \left( {E'} \right)^ \bot

\izquierda( {A\izquierda( x \derecha),y} \derecha) = 0

A

\left({x,A\left( y \right)} \right) = 0

y

\left({E'} \right)^ \bot

\left({E'} \right)^ \bot

\left({E'} \right)^ \bot

Prueba de propiedad 3: Hay al menos un valor propio para un operador R en un espacio n-dimensional . Por la propiedad 1, este valor propio es real. Uno puede encontrar el vector propio correspondiente e 1 . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que . Si n=1, entonces la demostración está completa.

\lambda_1

|e_1| = 1

Consideremos E 1 - la envolvente lineal del elemento e 1 , que es un subespacio propio unidimensional invariante de R. Sea E n-1 el complemento ortogonal de E 1 . Entonces, por el Lema 2, E n-1 es invariante bajo el operador considerado. Considéralo ahora como R', actuando sólo en E n-1 . Entonces es obvio que será un operador autoadjunto dado en E n-1 , ya que E n-1 es invariante bajo R por el Lema 2 y, además, para x, y E n : (Rx, y) = (x, Ry) , incluso para x,y Å n-1 .

\para todos

\en

\para todos

\en

Aplicando el razonamiento anterior, encontramos un nuevo valor propio y el vector propio correspondiente . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que . En este caso , puede coincidir accidentalmente con , sin embargo, está claro por la construcción que . Si n=2, entonces la demostración está completa. De lo contrario, considere E - una capa lineal y su complemento ortogonal E n-2 . Encuentre un nuevo valor propio y el vector propio correspondiente , y así sucesivamente .

\lambda_2

e_2

|e_2| = 1

\lambda_2

\lambda_1

(e_1, e_2) = 0

{(e_1, e_2)}

\lambda_3

e_3

Realizamos un razonamiento similar hasta el agotamiento de Е n . La prueba está completa.

4. Para un operador hermitiano A, el determinante det ||A|| su matriz es igual al producto de los valores propios.

Matrices

El conjugado hermitiano a la matriz dada es la matriz que se obtiene a partir de la matriz original transponiéndola y pasando al conjugado complejo, es decir, . Esta es una definición natural: si escribimos un mapeo lineal y su operador conjugado hermitiano en cualquier base como matrices, entonces sus matrices serán conjugadas hermitianas. Una matriz igual a su conjugación hermitiana se llama hermitiana o autoadjunta: porque . $A^{\daga},$ $A$ $(A^{\daga})_{ij}=A_{ji}^{*}$ $A^{\daga}=A$

Aplicación

Los operadores hermíticos juegan un papel importante en la mecánica cuántica , donde representan cantidades físicas observables, véase el principio de incertidumbre de Heisenberg .

Véase también

operador adjunto