Estructura matematica

Estructura matemática  es un nombre que une conceptos cuyo rasgo común es su aplicabilidad a conjuntos , cuya naturaleza no está definida. Para determinar la estructura en sí , se especifican las relaciones en las que se ubican los elementos de estos conjuntos. Entonces se postula que estas relaciones satisfacen ciertas condiciones, que son axiomas de la estructura considerada [1] .

La construcción de una teoría axiomática de alguna estructura es la derivación de consecuencias lógicas a partir de los axiomas de la estructura, sin ningún otro supuesto sobre los elementos en consideración y, en particular, de cualquier hipótesis sobre su "naturaleza".

El concepto de estructura fue originalmente informal. En los trabajos de Bourbaki se construyó una teoría formal de las estructuras, que se suponía que era el fundamento de las matemáticas, pero esta teoría no se fijó en tal papel.

Tipos básicos de estructuras

Las relaciones que son el punto de partida en la definición de la estructura pueden ser muy diversas.

El tipo más importante de estructuras son las estructuras algebraicas . Por ejemplo, una relación llamada "ley de composición", es decir, una relación entre tres elementos que determina únicamente al tercer elemento en función de los dos primeros. Cuando las relaciones en la definición de una estructura son "leyes de composición", la estructura matemática correspondiente se denomina estructura algebraica. Por ejemplo, las estructuras de un bucle , un grupo , un campo están definidas por dos leyes de composición con axiomas elegidos apropiadamente. Entonces, la suma y la multiplicación en el conjunto de números reales determinan el campo en el conjunto de estos números.

El segundo tipo importante está representado por estructuras definidas por la relación de orden , es decir , estructuras de orden . Esta es la relación entre dos elementos , que generalmente expresamos con las palabras " menor que o igual a " y que generalmente se denota como . En este caso, no se supone que esta relación identifique unívocamente a uno de los elementos en función del otro.

El tercer tipo de estructuras son las estructuras topológicas , en las que los conceptos intuitivos de vecindad , límite y continuidad se realizan mediante una formulación matemática abstracta mediante topología general .

Jerarquía de estructuras en matemáticas

Un grupo de matemáticos, unidos bajo el nombre de Nicolás Bourbaki , en el artículo " La arquitectura de las matemáticas " (1948) presentó las matemáticas como una jerarquía de tres niveles de estructuras, que van de lo simple a lo complejo, de lo general a lo particular.

En el primer nivel, se introducen las principales estructuras matemáticas (generadoras), entre ellas, como las más importantes, se distinguen las generadoras ( fr.  les estructuras-mères ):

En cada uno de estos tipos de estructuras hay suficiente diversidad. Al mismo tiempo, se debe distinguir entre la estructura más general del tipo considerado con el menor número de axiomas y las estructuras que se obtienen de ella como resultado de su enriquecimiento con axiomas adicionales, cada uno de los cuales conlleva nuevas consecuencias.

Las estructuras matemáticas complejas ( fr.  múltiplos ) se colocan en el segundo nivel : estructuras que incluyen simultáneamente una o más estructuras generadoras, pero no solo combinadas entre sí, sino orgánicamente combinadas con la ayuda de axiomas que las conectan. Por ejemplo, el álgebra topológica estudia estructuras definidas por leyes de composición y estructura topológica, que están conectadas por la condición de que las operaciones algebraicas son funciones continuas (en la topología considerada) de los elementos. Otro ejemplo es la topología algebraica , que considera unos conjuntos de puntos en el espacio, definidos por propiedades topológicas, como elementos sobre los que se realizan operaciones algebraicas. Muchas de las estructuras utilizadas en las aplicaciones se pueden atribuir al segundo nivel, por ejemplo, la estructura de eventos asocia un orden parcial con un tipo especial de relación binaria.

En el tercer nivel, estructuras matemáticas particulares, en las que los elementos de los conjuntos considerados, que eran completamente indefinidos en las estructuras generales, reciben una individualidad más definida. Es así como se obtienen teorías de la matemática clásica como el análisis matemático de funciones de variable real y compleja, geometría diferencial , geometría algebraica .

Historia

El concepto de estructura se usó originalmente de manera informal en álgebra general . El intento más famoso de formalizar este concepto fue realizado por Bourbaki (este artículo también se basa en el trabajo de Bourbaki); antes lo fue, por ejemplo, la teoría de las estructuras algebraicas de Oystin Ore [2] . Bourbaki usó su teoría de las estructuras como base de las matemáticas junto con la teoría de conjuntos . Sin embargo, de hecho, la teoría de estructuras se utiliza poco incluso en su propio trabajo posterior y, en general, no se ha fijado en las matemáticas [3] . En las décadas de 1940 y 1950, las ideas acumuladas sobre la similitud de una amplia clase de estructuras algebraicas y estructuras de orden llevaron a la creación de un álgebra universal y el concepto de un sistema algebraico  , un conjunto dotado de un conjunto de operaciones y relaciones (sin embargo, , no todas las estructuras algebraicas en el sentido de Bourbaki se expresan efectivamente en el lenguaje álgebra universal). Desde las décadas de 1960 y 1970, las ideas de las estructuras matemáticas se han expresado con mayor frecuencia en el lenguaje de la teoría de categorías .

Notas

  1. ↑ Estructura // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5.
  2. ↑ Corry, 2004 , Capítulo 6. Oystein Ore: Estructuras algebraicas.
  3. ↑ Corry, 2004 , Capítulo 7. Nicolas Bourbaki: Teoría de estructuras .

Literatura