Cuadrilátero

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CUADRÁNGULOS
┌─────────────┼──────────────┐
simple no convexo	convexo	auto-intersección

Un cuadrilátero es una figura geométrica ( polígono ) que consta de cuatro puntos (vértices), de los cuales tres no se encuentran en la misma línea recta, y cuatro segmentos (lados) que conectan estos puntos en serie. Hay cuadriláteros convexos y no convexos; un cuadrilátero no convexo puede intersecarse a sí mismo (ver Fig.). Un cuadrilátero sin autointersecciones se llama simple , a menudo el término "cuadrilátero" significa solo cuadriláteros simples [1] .

Tipos de cuadriláteros

Cuadriláteros con lados opuestos paralelos

Un deltoides es un cuadrilátero cuyos cuatro lados se pueden agrupar en dos pares de lados adyacentes iguales.
Un cuadrado es un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos y todos los lados son iguales;
Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son iguales y paralelos a pares ;
Rectángulo - un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos;
Un rombo es un cuadrilátero en el que todos los lados son iguales;
Un romboide es un paralelogramo en el que los lados adyacentes tienen diferentes longitudes y los ángulos no son rectos.
Un trapezoide es un cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos;

Cuadriláteros con lados opuestos antiparalelos

Un antiparalelogramo o contraparalelogramo es un cuadrilátero plano no convexo (que se corta a sí mismo) en el que cada dos lados opuestos son iguales entre sí, pero no paralelos, a diferencia de un paralelogramo .
Trapecio isósceles o trapezoide isósceles .
Un cuadrilátero inscrito o cuadrilátero inscrito es un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran en el mismo círculo. También es un cuadrilátero con lados opuestos antiparalelos.

Cuadriláteros con lados adyacentes perpendiculares

no lo necesitarás en el futuro.

Cuadriláteros con diagonales iguales

Cuadrado
Un cuadrilátero equidiagonal o equidiagonal es un cuadrilátero convexo cuyas dos diagonales tienen la misma longitud.
Rectángulo
Trapecio isósceles o trapezoide isósceles .

Cuadrángulos inscritos alrededor de un círculo

Un cuadrilátero circunscrito o circunscrito es un cuadrilátero convexo cuyos lados son tangentes a un solo círculo dentro del cuadrilátero.

Cuatripartito completo

Aunque tal nombre puede ser equivalente a un cuadrilátero, a menudo se le da un significado adicional. Las cuatro líneas, de las cuales dos no son paralelas y tres de las cuales no pasan por el mismo punto, se llama un cuadrilátero completo . Esta configuración se encuentra en algunos enunciados de la geometría euclidiana (por ejemplo, el teorema de Menelao , la línea de Newton-Gauss , la línea de Auber , el teorema de Miquel , etc.), en los que todas las líneas suelen ser intercambiables.

Suma de ángulos

La suma de los ángulos de un cuadrilátero sin autointersecciones es 360°.

\sum_{i=1}^{4}\alpha_{i}=(4-2)\cdot 180^{\circ }=2\cdot 180^{\circ }=360^{\ circuito}

Razones métricas

La desigualdad del cuadrilátero

El módulo de la diferencia de dos lados cualesquiera de un cuadrilátero no excede la suma de los otros dos lados.

{\ estilo de visualización \ izquierda | ab \ derecha | \ leq c + d}

De manera equivalente: en cualquier cuadrilátero (incluido uno degenerado), la suma de las longitudes de sus tres lados no es menor que la longitud del cuarto lado, es decir:

a\leq b+c+d

;

b\leq a+c+d

;

c\leq a+b+d

;

d\leq a+b+c

La igualdad en la desigualdad del cuadrilátero se logra solo si es degenerada , es decir, sus cuatro vértices se encuentran en la misma línea.

La desigualdad de Ptolomeo

Para los lados y las diagonales de un cuadrilátero convexo , se cumple la desigualdad de Ptolomeo : $a B C D$ ${\ estilo de visualización e, f}$

|e|\cdot |f|\leq |a|\cdot |c|+|b|\cdot |d|,

además, la igualdad se logra si y solo si el cuadrilátero convexo está inscrito en un círculo o sus vértices se encuentran en una línea recta.

Relaciones entre los lados y las diagonales de un cuadrilátero

Seis distancias entre cuatro puntos arbitrarios del plano, tomadas por pares, están relacionadas por la relación:

a^{2}c^{2}\izquierda(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}\derecha )+b^{2}d^{2}\left(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2} \derecha)+

+e^{2}f^{2}\left(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}\ derecha)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}

Esta relación se puede representar como un determinante :

\left|{\begin{matriz}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\\e^{2} &b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{matriz}}\right|=0

Este determinante, hasta un factor de 288, es una expresión del cuadrado del volumen de un tetraedro en términos de las longitudes de sus aristas utilizando el determinante de Cayley-Menger . Si los vértices de un tetraedro se encuentran en el mismo plano, entonces tiene volumen cero y se convierte en un cuadrilátero. Las longitudes de las aristas serán las longitudes de los lados o diagonales del cuadrilátero.

Las relaciones de Bretschneider

Las relaciones de Bretschneider son la razón entre los lados a, b, c, d y los ángulos opuestos y las diagonales e, f de un cuadrilátero simple (que no se corta a sí mismo): $\ángulo A,\ángulo C$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\ángulo A+\ángulo C)

e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\ángulo A+\ángulo C}{2))

e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\ángulo A+\ángulo C}{2))

Rectas especiales del cuadrilátero

Líneas medias del cuadrilátero

Sean G, I, H, J los puntos medios de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD y E, F los puntos medios de sus diagonales. Llamemos a tres segmentos GH, IJ, EF respectivamente la primera, segunda y tercera línea media del cuadrilátero . Los dos primeros también se denominan bimedianos [2] .

Teoremas sobre las líneas medias de un cuadrilátero

Teorema de Newton generalizado . Las tres líneas medias del cuadrilátero se cruzan en un punto (en el centroide de los vértices ("centroide del vértice") del cuadrilátero) y lo bisecan.
Los puntos medios E y F de las dos diagonales, así como el baricentro de los vértices K del cuadrilátero convexo, se encuentran en la misma línea EF . Esta recta se llama recta de Newton .
Nótese que la recta de Newton-Gauss coincide con la recta de Newton , porque ambas pasan por los puntos medios de las diagonales.
Teorema de Varignon :
- Los cuadriláteros GIHJ, EHFG, JEIF son paralelogramos y se denominan paralelogramos de Varignon . Al primero de ellos lo llamaremos el gran paralelogramo de Varignon
- Los centros de estos tres paralelogramos de Varignon son los puntos de intersección de sus pares de diagonales.
- Los centros de los tres paralelogramos de Varignon se encuentran en el mismo punto, en el medio del segmento que conecta los puntos medios de los lados del cuadrilátero original (en el mismo punto, los segmentos que conectan los puntos medios de los lados opuestos, las diagonales del paralelogramo de Varignon ) se cruzan.
- El perímetro del gran paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original. ${\ Displaystyle GIHJ}$
- El área del paralelogramo grande de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original , es decir ${\ Displaystyle GIHJ}$ ${\ estilo de visualización ABCD}$ $S_{GIHJ}={\frac{1}{2}}S_{ABCD}$ .
- El área del cuadrilátero original es igual al producto de la primera y segunda línea media del cuadrilátero y el seno del ángulo entre ellas, es decir ${\ estilo de visualización ABCD}$ $GH$ ${\ estilo de visualización IJ}$ ${\ estilo de visualización \ phi}$ $S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi$ .
- La suma de los cuadrados de las tres líneas medias de un cuadrilátero es igual a la cuarta parte de la suma de los cuadrados de todos sus lados y diagonales: $GH^{2}+IJ^{2}+EF^{2}={\frac{1}{4}}(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{ 2}+BD^{2}+AC^{2})$ .
Fórmula de Euler : cuadriplicar el cuadrado de la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los lados del cuadrilátero menos la suma de los cuadrados de sus diagonales.
Matemáticamente, para la figura de arriba a la derecha con el cuadrilátero gris ABCD , la fórmula de Euler se escribe como: $(2EF)^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}-BD^{2}-AC^{2}$ .

Línea de Newton

Si en un cuadrángulo dos pares de lados opuestos no son paralelos, entonces los dos puntos medios de sus diagonales se encuentran en una línea recta que pasa por el punto medio del segmento que conecta los dos puntos de intersección de estos dos pares de lados opuestos (los puntos se muestran en rojo en la figura). Esta línea recta se llama línea recta de Newton (se muestra en verde en la figura). En este caso , la recta de Newton siempre es perpendicular a la recta de Auber .
Los puntos que se encuentran en la línea de Newton satisfacen el teorema de Anna .

Líneas ortopolares de ortopolos de ternas de vértices de un cuadrilátero

Si se da una línea recta fija ℓ y se elige cualquiera de los tres vértices del cuadrilátero , entonces todos los ortopolos de la línea recta dada ℓ con respecto a todos esos triángulos se encuentran en la misma línea recta. Esta línea se llama línea ortopolar para la línea dada ℓ con respecto al cuadrilátero [3] ${\ estilo de visualización ABCD}$ ${\ estilo de visualización ABCD}$

Puntos especiales del cuadrilátero

Baricentro de un cuadrilátero

Cuatro segmentos, cada uno de los cuales conecta el vértice del cuadrilátero con el baricentro del triángulo formado por los tres vértices restantes, se cortan en el baricentro del cuadrilátero y lo dividen en una proporción de 3:1, contando desde los vértices.
Ver también las propiedades del centroide de un cuadrilátero.

El punto de Poncelet del cuadrilátero

Hay un punto de Poncelet dentro del cuadrilátero (ver el párrafo "Círculos de nueve puntos de triángulos dentro del cuadrilátero").

Cuadrilátero de puntos de Miquel

Hay un punto de Miquel dentro del cuadrilátero .

Círculos de triángulos de nueve puntos dentro de un cuadrilátero

En un cuadrilátero convexo arbitrario , los círculos de los nueve puntos de los triángulos , en los que está dividido por dos diagonales, se cruzan en un punto, en el punto de Poncelet [4] . $A B C D$ ${\ estilo de visualización ABC, BCD, CDA, DAB}$

Casos especiales de cuadriláteros

Cuadriláteros inscritos

Dicen que si un círculo se puede circunscribir cerca de un cuadrilátero , entonces el cuadrilátero se inscribe en este círculo , y viceversa.
En particular, los cuadriláteros inscritos en un círculo son: rectángulo , cuadrado , isósceles o trapecio isósceles , antiparalelogramo .
Teoremas para cuadriláteros inscritos :
- Dos teoremas de Ptolomeo . Para un cuadrilátero simple (que no se corta a sí mismo) inscrito en un círculo, que tiene las longitudes de los pares de lados opuestos: a y c , b y d , así como las longitudes de las diagonales e y f , lo siguiente es cierto:

1) El primer teorema de Ptolomeo

ef=ac+bd

; 2) el segundo teorema de Ptolomeo

${\frac {e}{f}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{a\cdot b+c\cdot d}}).$ En la última fórmula, los pares de lados adyacentes del numerador a y d , b y c descansan con sus extremos sobre una diagonal de longitud e . Una afirmación similar se cumple para el denominador.

3) Fórmulas para las longitudes de las diagonales (corolarios del primer y segundo teoremas de Ptolomeo )

{\displaystyle e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(anuncio+bc)}{ab+cd))))

{\displaystyle f={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

- Teorema de Monge sobre el ortocentro de un cuadrilátero inscrito. 4 segmentos de línea (4 antimedatrises [5] ) dibujados desde los puntos medios de 4 lados del cuadrilátero inscrito perpendicular a los lados opuestos se cortan en el ortocentro H de este cuadrilátero [6] [7] .
- Teorema de la inscripción en una circunferencia de un par de triángulos diagonales . Si un cuadrilátero convexo está inscrito en algún círculo, entonces un par de triángulos en los que el cuadrilátero está dividido por cualquiera de sus diagonales (conexión con los círculos del triángulo) también están inscritos en el mismo círculo.
- Teorema de las cuatro mediatrices . De la última afirmación se sigue: si tres de las cuatro mediatrices (o medianas perpendiculares ) dibujadas a los lados de un cuadrilátero convexo se cortan en un punto, entonces la mediadora de su cuarto lado también se corta en el mismo punto. Además, tal cuadrilátero está inscrito en un cierto círculo, cuyo centro está en el punto de intersección de las mediatrices indicadas [8] .

- Teoremas sobre cuatro triángulos diagonales y sus círculos inscritos [9] . Si dibujamos una diagonal en un cuadrilátero inscrito en un círculo, e inscribimos dos círculos en los dos triángulos resultantes, luego hacemos lo mismo dibujando la segunda diagonal, entonces los centros de los cuatro círculos formados son los vértices del rectángulo (es decir , se encuentran en el mismo círculo). Este teorema se llama teorema japonés . (ver figura). Además, los ortocentros de los cuatro triángulos descritos aquí son los vértices de un cuadrilátero similar al cuadrilátero original ABCD (es decir, también se encuentran en otro círculo, porque los vértices del cuadrilátero inscrito original se encuentran en algún círculo). Finalmente, los centroides de estos cuatro triángulos se encuentran en el tercer círculo [10] .
- El teorema de las cuatro proyecciones de los vértices de un cuadrilátero inscrito en su diagonal [11] . Sea un cuadrilátero inscrito, sea la base de la perpendicular bajada del vértice a la diagonal ; los puntos se definen de manera similar . Entonces los puntos se encuentran en el mismo círculo. $A B C D$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\ estilo de visualización B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\ estilo de visualización A_ {1}, B_ {1}, C_ {1}, D_ {1}}$
- el teorema de Brocard . El centro del círculo circunscrito alrededor del cuadrilátero es el punto de intersección de las alturas del triángulo con los vértices en el punto de intersección de las diagonales y en los puntos de intersección de los lados opuestos.

Criterios para cuadriláteros inscritos :
- El primer criterio para inscribir un cuadrilátero . Una circunferencia puede estar circunscrita a un cuadrilátero si y solo si la suma de los ángulos opuestos es 180°, es decir:

\ángulo A+\ángulo C=\ángulo B+\ángulo D=180^{\circ }

- El segundo criterio para que se inscriba un cuadrilátero . Un círculo puede estar circunscrito a un cuadrilátero si y sólo si cualquier par de sus lados opuestos es antiparalelo .

- El tercer criterio para que se inscriba un cuadrilátero . Un cuadrilátero convexo (ver figura de la derecha) formado por cuatro rectas de Miquel dadas se inscribe en una circunferencia si y sólo si el punto de Miquel M del cuadrilátero se encuentra en la recta que une dos de los seis puntos de intersección de las rectas (los que no son vértices del cuadrilátero). Es decir, cuando M se encuentra en EF .
- Una línea recta, antiparalela al lado del triángulo y que lo corta, le corta un cuadrilátero, alrededor del cual siempre se puede circunscribir un círculo.
- El cuarto criterio para inscribir un cuadrilátero . La condición bajo la cual la combinación de dos triángulos con un lado igual da un cuadrilátero inscrito en un círculo [12] . De modo que dos triángulos con triples de longitudes de lado (a, b, f) y (c, d, f), respectivamente, cuando se combinan a lo largo de un lado común con una longitud igual a f, dan como resultado un cuadrilátero inscrito en un círculo con una secuencia de lados ( a , b , c , d ), la condición [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd))).

- La última condición da una expresión para la diagonal f de un cuadrilátero inscrito en un círculo en términos de las longitudes de sus cuatro lados ( a , b , c , d ). Esta fórmula sigue inmediatamente al multiplicar y equiparar entre sí las partes izquierda y derecha de las fórmulas que expresan la esencia del primer y segundo teorema de Ptolomeo (ver arriba).

Área de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia :
- El área de un cuadrilátero inscrito en un círculo según la fórmula de Brahmagupta es [14] :

S={\raíz cuadrada {(pa)(pb)(pc)(pd))),

donde p es el semiperímetro del cuadrilátero.

- La última fórmula se deriva de la fórmula general (1) del recuadro del párrafo "Área", si se tiene en cuenta que $2\theta =\ángulo A+\ángulo C=\ángulo B+\ángulo D=180^{\circ }$
- La última fórmula es una generalización de la fórmula de Heron para el caso de un cuadrilátero.
- La fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero inscrito en un círculo se puede escribir en términos del determinante [8] :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatriz}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatriz))))$

Radio de una circunferencia circunscrita a un cuadrilátero:

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(pa)(pb)(pc)(pd)}} }$

Cuadriláteros inscritos con diagonales perpendiculares

El teorema de Brahmagupta . Para cuadriláteros ortodiagonales inscritos, el teorema de Brahmagupta es válido : si un cuadrilátero inscrito tiene diagonales perpendiculares que se cortan en un punto , entonces dos pares de sus $METRO$ antimediatrices pasan por el punto . $METRO$
comentario _ En este teorema, la antimediatriz [15] se entiende como un segmento del cuadrilátero de la figura de la derecha (por analogía con la bisectriz perpendicular (mediatriz) al lado del triángulo). Es perpendicular a un lado y simultáneamente pasa por el punto medio del lado opuesto del cuadrilátero. ${\ estilo de visualización FE}$
El teorema de la circunferencia de ocho puntos de un cuadrilátero ortodiagonal . Hay un teorema bien conocido: si las diagonales son perpendiculares en un cuadrilátero, entonces ocho puntos se encuentran en un círculo ( el círculo de ocho puntos del cuadrilátero ): los puntos medios de los lados y las proyecciones de los puntos medios de los lados sobre opuestos lados [16] . De este teorema y del teorema de Brahmagupta se deduce que los extremos de dos pares de antimediatrices (ocho puntos) de un cuadrilátero ortodiagonal inscrito se encuentran en el mismo círculo ( círculo de ocho puntos del cuadrilátero ).
Cuadriláteros ortodiagonales inscritos parcialmente . Los cuadriláteros ortodiagonales inscritos privados inscritos en un círculo son un cuadrado , un deltoides con un par de ángulos opuestos perpendiculares, un trapezoide ortodiagonal equilátero y otros.

Cuadriláteros descritos

Dicen que si un círculo se puede inscribir en un cuadrilátero , entonces el cuadrilátero se circunscribe alrededor de este círculo , y viceversa.
Algunos (pero no todos) los cuadriláteros tienen un círculo inscrito. Se llaman cuadriláteros circunscritos .
- Los cuadriláteros particulares circunscritos a un círculo son: rombo , cuadrado , deltoides .
Criterios para la descripción de cuadriláteros :
- Entre las propiedades de los cuadriláteros descritos , la más importante es que las sumas de los lados opuestos son iguales. Esta declaración se llama el teorema de Pitot .
- En otras palabras, un cuadrilátero convexo está circunscrito a un círculo si y sólo si las sumas de las longitudes de los lados opuestos son iguales, es decir: . $AB+CD=BC+AD$

Teoremas para cuadriláteros circunscritos :
- Teorema de los dos lados iguales de un ángulo tangente a una circunferencia . Los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con el cuadrilátero cortan segmentos iguales de los vértices del cuadrilátero.
- Teorema de la continuación de dos pares de lados opuestos de un cuadrilátero . Si un cuadrilátero convexo no es ni trapezoide ni paralelogramo , y está circunscrito a alguna circunferencia, entonces un par de triángulos están circunscritos a la misma circunferencia, los cuales se obtienen continuando sus dos pares de lados opuestos hasta que se cortan (conexión con el círculos del triángulo).
- Teorema de cuatro bisectrices . De la última afirmación se sigue: si tres de las cuatro bisectrices (o bisectrices) dibujadas para los ángulos internos de un cuadrilátero convexo se cortan en un punto, entonces la bisectriz de su cuarto ángulo interno también se corta en el mismo punto. Además, dicho cuadrilátero se describe alrededor de un cierto círculo, cuyo centro está en el punto de intersección de las bisectrices indicadas [17] .
- el teorema de newton Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, entonces el centro de su circunferencia inscrita se encuentra en la recta de Newton . Una declaración más precisa se encuentra a continuación.
- el teorema de newton En todo cuadrilátero circunscrito , los dos puntos medios de las diagonales y el centro de la circunferencia inscrita se encuentran en la misma línea recta. En él se encuentra el medio del segmento con extremos en los puntos de intersección de las continuaciones de los lados opuestos del cuadrilátero (si no son paralelos). Esta recta se llama recta de Newton . En la figura (el segundo grupo de figuras desde arriba) es verde, las diagonales son rojas, el segmento que termina en los puntos de intersección de las continuaciones de los lados opuestos del cuadrilátero también es rojo.
- el teorema de Brocard . El centro del círculo circunscrito alrededor del cuadrilátero es el punto de intersección de las alturas del triángulo con los vértices en el punto de intersección de las diagonales y en los puntos de intersección de los lados opuestos.

Área del cuadrilátero circunscrito
- La condición significa que . $AB+CD=BC+AD$ ${\ estilo de visualización a + c = b + d}$

Introduciendo el concepto de semiperímetro p , tenemos . Por lo tanto, también tenemos . Además, puede notar: Por lo tanto, Entonces, de acuerdo con la fórmula (1), en el cuadro en el párrafo "Área" tenemos $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $pa=c;pb=d;pc=a;pd=b.$ ${\ estilo de visualización (pa) (pb) (pc) (pd) = abcd.}$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }}=

$={\sqrt {abcd-abcd\cos ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd}}\sin \theta .$

- Como se describe el cuadrilátero, su área también es igual a la mitad del perímetro p por el radio r del círculo inscrito: . ${\ estilo de visualización S = pr}$

Cuadriláteros inscritos-circunscritos

Los cuadriláteros inscritos-circunscritos son cuadriláteros que pueden estar circunscritos a algún círculo y también inscritos en algún círculo. Otros nombres para ellos son cuadriláteros bicéntricos, cuadriláteros de cuerda tangente o cuadriláteros de doble círculo.
Los cuadriláteros privados inscritos-circunscritos son un cuadrado y un romboide con un par de ángulos opuestos iguales de 90 grados.

Propiedades

Criterios de inscripción simultánea y circunscripción de un cuadrilátero
- Cualquiera de las dos condiciones a continuación, tomadas por separado, es una condición necesaria pero no suficiente para que un cuadrilátero convexo dado sea inscrito-circunscrito para algunos círculos:

AB+CD=BC+AD

y .

\ángulo A+\ángulo C=\ángulo B+\ángulo D=180^{\circ }

- El cumplimiento de las dos últimas condiciones simultáneamente para algún cuadrilátero convexo es necesario y suficiente para que este cuadrilátero sea inscrito-circunscrito .

Teoremas para cuadriláteros inscritos-circunscritos

- Teorema de Fuss . Para los radios R y r , respectivamente, de los círculos circunscritos e inscritos del cuadrilátero dado y la distancia x entre los centros y de estos círculos (ver Fig.), se cumple una relación que representa un cuadrilátero análogo al teorema de Euler (hay es una fórmula de Euler similar para un triángulo) [18] [19] [20 ] : $yo$ $O$

{\frac {1}{(R+x)^{2}}}+{\frac {1}{(Rx)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}}

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

{\displaystyle x^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

- teorema _ Las siguientes tres condiciones para un cuadrilátero inscrito-circunscrito se refieren a puntos en los que un círculo inscrito en un cuadrilátero tangente es tangente a los lados. Si la circunferencia inscrita es tangente a los lados AB , BC , CD , DA en los puntos W , X , Y , Z respectivamente, entonces el cuadrilátero tangente ABCD también está circunscrito si y solo si se cumple cualquiera de las siguientes tres condiciones (ver el figura): [21 ]
- WY perpendicular a XZ
- ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
- ${\frac{AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$ .
- El teorema de Poncelet . Para un cuadrilátero inscrito-circunscrito, el teorema de Poncelet es válido .

Área de un cuadrilátero inscrito-circunscrito

- Si el cuadrilátero está inscrito y descrito, entonces por la fórmula (1) en el recuadro del párrafo "Área" tenemos: . $S={\raíz cuadrada {abcd))$
- La última fórmula se obtiene de la fórmula del área del párrafo anterior para el cuadrilátero circunscrito , dado que (para el cuadrilátero inscrito ). $S={\sqrt {abcd}}\sin \theta$ $\theta =90^{\circ };\sen 90^{0}=1$ $2\theta =~\ángulo A+\ángulo C=\ángulo B+\ángulo D=180^{\circ }$
- Como el cuadrilátero está circunscrito, su área también es igual a la mitad de su perímetro p por el radio r del círculo inscrito: . ${\ estilo de visualización S = pr}$
- Otra fórmula para el área de un cuadrilátero inscrito-circunscrito:

S={\frac {p^{2}}{\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}+\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}+\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}+\nombre del operador {tg} {\frac {D}{2}}}}

Partición de los lados de un cuadrilátero tangente por puntos de contacto con la circunferencia

Las ocho "longitudes tangentes" ("e", "f", "g", "h" en la figura de la derecha) de un cuadrilátero tangente son segmentos de línea desde el vértice hasta los puntos donde el círculo toca los lados. De cada vértice salen dos tangentes a la circunferencia de igual longitud (ver figura).
Denotemos también las dos "cuerdas tangenciales" ("k" y "l" en la figura) del cuadrilátero tangente: estos son segmentos de línea que conectan puntos en lados opuestos, donde el círculo toca estos lados. También son las diagonales de un "cuadrilátero de contacto" que tiene vértices en los puntos de contacto del cuadrilátero con la circunferencia. $A B C D$

Entonces el área del cuadrilátero inscrito-circunscrito es [21] :p.128

S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h),

tanto como

S=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Si, además de dos cuerdas para las tangentes k y l y las diagonales p y q , se introducen dos bimedianas más m y n de un cuadrilátero convexo como segmentos de rectas que conectan los puntos medios de los lados opuestos, entonces el área de la inscrita -cuadrilátero circunscrito será igual a [22]

S=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

S={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Cuadriláteros no circunscritos

Un cuadrilátero no circunscrito para un círculo

Un cuadrilátero no circunscrito es un cuadrilátero convexo cuyas extensiones de los cuatro lados son tangentes al círculo (fuera del cuadrilátero) [23] . El círculo se llama excírculo . El centro de la excircunferencia se encuentra en la intersección de seis bisectrices.
No existe un excírculo para cada cuadrilátero. Si los lados opuestos de un cuadrilátero convexo ABCD se intersecan en los puntos E y F , entonces la condición para que no se describa es cualquiera de las dos condiciones siguientes:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Un cuadrilátero no circunscrito para una parábola

Parábola , exscrita por un cuadrilátero . Tal parábola existe para cualquier cuadrilátero convexo y toca los 4 lados del cuadrilátero dado (cuadrilátero) o sus extensiones. Su directriz coincide con la línea de Auber-Steiner [24] .

Cuadriláteros con elementos perpendiculares

A continuación se presentan párrafos para cuadriláteros con pares de elementos perpendiculares: con 2 lados perpendiculares y con 2 diagonales perpendiculares.
Estos cuadriláteros degeneran en un triángulo rectángulo , si la longitud de un lado deseado (de sus 4 lados), que se encuentra cerca del ángulo recto o descansando con sus extremos en este ángulo, tiende a cero.

Cuadriláteros con lados perpendiculares

Cuadriláteros con lados opuestos perpendiculares

Dos lados opuestos de un cuadrilátero son perpendiculares si y solo si la suma de los cuadrados de los otros dos lados opuestos es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.
Si la suma de los ángulos en una de las bases del trapezoide es 90°, entonces las extensiones de los lados laterales (opuestos) se intersecan en ángulos rectos, y el segmento que conecta los puntos medios de las bases es igual a la mitad de la diferencia de las bases.

Cuadriláteros con 2 pares de lados adyacentes perpendiculares

Si un cuadrilátero convexo tiene dos pares de lados adyacentes que son perpendiculares (es decir, dos ángulos opuestos son rectos), entonces este cuadrilátero se puede inscribir en algún círculo. Además, el diámetro de este círculo será la diagonal sobre la que descansan en un extremo los dos pares de lados adyacentes indicados.
Los cuadriláteros privados con lados perpendiculares son: rectángulo , cuadrado y trapezoide rectangular .

Cuadriláteros con 3 lados adyacentes perpendiculares

Si un cuadrilátero convexo tiene 3 lados adyacentes perpendiculares (es decir, 2 ángulos internos son rectos), entonces este cuadrilátero es un trapezoide rectangular .

Cuadriláteros con diagonales perpendiculares

Los cuadriláteros con diagonales perpendiculares se llaman cuadriláteros ortodiagonales .
Las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares si y solo si las sumas de los cuadrados de los lados opuestos son iguales.
El área de un cuadrilátero ortodiagonal es igual a la mitad del producto de sus diagonales: . $S={\frac {1}{2}}ef$
Las líneas medias de un cuadrilátero son iguales si y sólo si las sumas de los cuadrados de sus lados opuestos son iguales.
La antimediatriz de un cuadrilátero es un segmento de recta que sale del medio de uno de sus lados y es perpendicular al lado opuesto.
El teorema de Brahmagupta . Si un cuadrilátero tiene diagonales perpendiculares y puede inscribirse en algún círculo, entonces sus cuatro antimediatrices se cortan en un punto. Además, este punto de intersección de un antimediatris es el punto de intersección de sus diagonales.
Si un cuadrilátero tiene diagonales perpendiculares y puede inscribirse en alguna circunferencia, entonces el cuádruple cuadrado de su radio R es igual a la suma de los cuadrados de cualquier par de sus lados opuestos: $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}.$
Si un cuadrilátero tiene diagonales perpendiculares y puede circunscribirse a un cierto círculo, entonces los productos de dos pares de lados opuestos son iguales: $ac=bd.$
Un paralelogramo de Varignon con vértices en los puntos medios de los lados de un cuadrilátero ortodiagonal es un rectángulo .
Si las diagonales son perpendiculares en un cuadrilátero, entonces ocho puntos se encuentran en un círculo ( el círculo de ocho puntos del cuadrilátero ): los puntos medios de los lados y las proyecciones de los puntos medios de los lados en lados opuestos [16] .
Los cuadriláteros ortodiagonales particulares son: rombo , cuadrado , deltoides .
Si un cuadrilátero convexo tiene diagonales perpendiculares, entonces los puntos medios de sus cuatro lados son los vértices del rectángulo (una consecuencia del teorema de Varignon ). Lo contrario también es cierto. Además, las diagonales de un rectángulo son iguales. Por lo tanto, las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares si y solo si las longitudes de sus dos bimedianas (las longitudes de dos segmentos que conectan los puntos medios de los lados opuestos) son iguales [25] .
Tabla que compara las propiedades del cuadrilátero circunscrito y ortodiagonal:

Sus propiedades métricas son muy similares (ver tabla) [25] . Aquí se indican: a , b , c , d - las longitudes de sus lados, R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , y los radios de los círculos circunscritos dibujados a través de estos lados y a través del punto de intersección de las diagonales , h 1 , h 2 , h 3 , h 4 son las alturas que descienden sobre ellos desde el punto de intersección de las diagonales .

cuadrilátero circunscrito	cuadrilátero ortodiagonal
${\ estilo de visualización a + c = b + d}$	${\ estilo de visualización a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2))$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 {h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac{1}{h_{4}^{2}}}$

Además, para las medianas de los lados de un cuadrilátero ortodiagonal, rebajadas desde el punto de intersección de las diagonales , se cumple: . ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$

Cualquier cuadrilátero ortodiagonal se puede inscribir con infinitos rectángulos pertenecientes a los siguientes dos conjuntos:

(i) rectángulos cuyos lados son paralelos a las diagonales de un cuadrilátero ortodiagonal (ii) rectángulos definidos por los círculos de puntos de Pascal [26] [27] [28] .

Propiedades de las diagonales de algunos cuadriláteros

La siguiente tabla muestra si las diagonales de algunos de los cuadriláteros más básicos tienen una bisección en su punto de intersección, si las diagonales son perpendiculares , si las longitudes de las diagonales son iguales y si bisecan ángulos [29] . La lista se refiere a los casos más generales y agota los subconjuntos de cuadriláteros nombrados.

Cuadrilátero	Dividiendo las diagonales por la mitad en su punto de intersección	Perpendicularidad de las diagonales	Igualdad de longitudes de diagonales	Bisección de esquinas por diagonales
Trapecio	No	Ver nota 1	No	No
Trapecio isósceles	No	Ver nota 1	Sí	Al menos dos esquinas opuestas
Paralelogramo	Sí	No	No	No
Deltoides	Ver comentario 2	Sí	Ver comentario 2	Ver comentario 2
Rectángulo	Sí	No	Sí	No
Rombo	Sí	Sí	No	Sí
Cuadrado	Sí	Sí	Sí	Sí

Nota 1: Los trapecios y trapecios isósceles más comunes no tienen diagonales perpendiculares, pero hay un número infinito de trapecios y trapecios isósceles (no similares) que sí tienen diagonales perpendiculares y no son como ningún otro cuadrilátero con nombre .
Nota 2: En un deltoides, una diagonal biseca a la otra. Otra diagonal biseca sus esquinas opuestas. El deltoides más común tiene diagonales desiguales, pero hay un número infinito de deltoides (diferentes) cuyas diagonales tienen la misma longitud (y los deltoides no son ninguno de los otros cuadriláteros mencionados) .

Simetría de cuadriláteros

En la fig. se muestran algunos cuadriláteros simétricos, su transición entre sí, así como sus duales. Designaciones en la Fig.:

Cometa (serpiente) - deltoides (romboide)
paralelogramo - paralelogramo
Cuadrilátero irregular - cuadrilátero irregular
Rombo - rombo
Rectángulo - rectángulo
cuadrado - cuadrado
Cuadrado giratorio: un cuadrado giratorio
Trapezoide isósceles - trapezoide isósceles

Área

El área de un cuadrilátero convexo arbitrario que no se corta a sí mismo con diagonales y un ángulo entre ellas (o sus extensiones) es igual a: $S$ $d_{1}$ $d_{2}$ $\alfa$

$S={\frac{d_{1}d_{2}\sin \alpha}{2))$

El área de un cuadrilátero convexo arbitrario es igual al producto de la primera y segunda líneas medias del cuadrilátero y el seno del ángulo entre ellas, es decir $GH$ ${\ estilo de visualización IJ}$ ${\ estilo de visualización \ phi}$

S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi

comentario _ Las líneas medias primera y segunda de un cuadrilátero son segmentos que conectan los puntos medios de sus lados opuestos.

El área de un cuadrilátero convexo arbitrario es [14] :

16S^{2}=4d_{1}^{2}d_{2}^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\ derecha)^{2}

, donde , son las longitudes de las diagonales; a, b, c, d son las longitudes de los lados.

d_{1}

d_{2}

El área de un cuadrilátero convexo arbitrario también es igual a

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$ (una)

donde p es el semiperímetro, y es la mitad de la suma de los ángulos opuestos del cuadrilátero (no importa qué par de ángulos opuestos se tome, ya que si la mitad de la suma de un par de ángulos opuestos es igual a , entonces la mitad de la suma de los otros dos ángulos será y ). De esta fórmula para cuadriláteros inscritos se sigue la fórmula de Brahmagupta . $\theta ={\frac {\ángulo A+\ángulo C}{2))$ $\ theta$ $180^{\circ }-\theta$ $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta$

El área de un cuadrilátero convexo arbitrario según la fórmula (1) en el cuadro de arriba, teniendo en cuenta una de las relaciones de Bretschneider (ver arriba), se puede escribir como:

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}((ef)^{2}-(ac+bd)^{2)))))=$ $={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}(ef+ac+bd)(ef-ac-bd)))$ donde p es el semiperímetro, e y f son las diagonales del cuadrilátero.

El área de un cuadrilátero arbitrario que no se corta a sí mismo, dada en el plano por las coordenadas de sus vértices en el orden de recorrido, es igual a: $S$ ${\ estilo de visualización (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}) }$

$S={\frac {1}{2}}{\grande |}(x_{1}-x_{2})(y_{1}+y_{2})+(x_{2}-x_ {3})(y_{2}+y_{3})+(x_{3}-x_{4})(y_{3}+y_{4})+(x_{4}-x_{1}) (y_{4}+y_{1}){\grande |}$

Historia

En la antigüedad, los egipcios y algunos otros pueblos utilizaron una fórmula incorrecta para determinar el área de un cuadrilátero, el producto de las sumas medias de sus lados opuestos a, b, c, d [30] :

S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}

Para cuadriláteros no rectangulares, esta fórmula da un área sobreestimada. Se puede suponer que se usó solo para determinar el área de terrenos casi rectangulares. Con medidas inexactas de los lados de un rectángulo, esta fórmula le permite mejorar la precisión del resultado promediando las medidas originales.

Véase también

polígonos

Por número de lados

monógono
Grande en
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
pentágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Trece
tetradecágono
Pentágono
Hexágono
De diecisiete
octágono
Diecinueveagón
Dodecágono
Veintiún lados
Veintidós ángulo
veintetrigon
veinte cuadrangular
Veinte pentágono
Veinte octágono
Tridecágono
Thirty-Biagon
Cuarenta cuadrados
Cuarenta bicagón
pentecostal
pentecostal
Hexágono
Sesenta y cuatro
heptágono
octágono
nonágono
[ es
Millagón
Diezmil-gon
cienmilésima
Milliogon
infinito

Correcto

convexo	Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
estrellado	Pentagrama Hexagrama heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama

triangulos

cuadriláteros

ver también

Lista de polígonos
Punto perteneciente a un polígono
Teorema de Bolyai-Gervin
Teorema de Brahmagupta
Teorema de Gauss-Wanzel
Fórmula pico
Teorema de la suma de los ángulos del polígono
Relación Bretschneider

Notas

↑ Yakov Ponarin . Geometría elemental. Tomo 1: Planimetría, transformaciones de plano . — Litros, 2018-07-11. - S. 52. - 312 pág.
↑ E. W. Weisstein. bimediano _ MathWorld : un recurso web de Wolfram. (indefinido)
↑ Steve Phelps. El ortopolo// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA
↑ Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , pág. 118, tarea 9.
↑ Para la definición de antimedatris, consulte el Glosario de planimetría
↑ Puntos notables y líneas de cuadrángulos// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Teorema de Monge// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ 1 2 Starikov, 2014 , pág. 38, columna derecha, punto 7.
↑ Ayeme , pág. 6, ej. 8, figura. 13
↑ Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads , Mathematical Olympiad Treasures , Springer, p. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
↑ Ayeme , pág. 5, ej. 7, figura. 11, corolario.
↑ Ver subsección "Diagonales" del artículo " Cuadrilátero inscrito "
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. compañía, 2007
↑ 1 2 Ponarin , pág. 74.
↑ Starikov, 2014 , pág. 7-39.
↑ 1 2 Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , p. 118, tarea 11.
↑ Starikov, 2014 , pág. 39, columna izquierda, último párrafo.
↑ Dorrie, Enrique. 100 Grandes Problemas de Matemáticas Elementales : Su Historia y Soluciones . - Nueva York: Dover, 1965. - Págs. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
↑ Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [1] (enlace no disponible) , 1998, págs. 158-164.
↑ Salazar, Juan Carlos (2006), Teorema de Fuss, Gaceta Matemática Vol . 90 (julio): 306–307 .
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2010), Caracterizaciones de cuadriláteros bicéntricos , Forum Geometricorum Vol . 10: 165–173 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf > .
↑ Josefsson, Martin (2011), El área de un cuadrilátero bicéntrico , Forum Geometricorum Vol . 11: 155–164 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf > .
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , pág. 33-52.
↑ Junko HIRAKAWA. Algunos teoremas sobre el ortópolo. Diario matemático de Tohoku, primera serie. 1933 vol. 36. Pág. 253, Lema I// https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2012), Caracterizaciones de los cuadriláteros ortodiagonales , Forum Geometricorum Vol . 12: 13–25 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf > .
↑ David, Fraivert (2019), Un conjunto de rectángulos inscritos en un cuadrilátero ortodiagonal y definido por círculos de puntos de Pascal , Journal for Geometry and Graphics Vol . 23: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > .
↑ David, Fraivert (2017), Propiedades de un círculo de puntos de Pascal en un cuadrilátero con diagonales perpendiculares , Forum Geometricorum Vol. 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf > .
↑ Freivert, D. M. (2019), Un nuevo tema en geometría euclidiana en el plano: la teoría de los "puntos de Pascal" formados por un círculo en los lados de un cuadrilátero , Educación matemática: estado del arte y perspectivas: Actas de la International Conferencia científica , < https:/ /libr.msu.by/handle/123456789/9675 >
↑ Jennifer Kahle, Geometry: Basic ideas.Geometry: Basic ideas [2] , consultado el 28 de diciembre de 2012.
↑ G. G. Zeiten Historia de las matemáticas en la antigüedad y en la Edad Media, GTTI, M-L, 1932.

Literatura

Boltyansky V. , Cuadrángulos . Kvant , N° 9, 1974.
Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .
Starikov V. N. Investigación en geometría // Colección de publicaciones de la revista científica Globus basada en los materiales de la V-ésima conferencia científico-práctica internacional "Logros y problemas de la ciencia moderna", San Petersburgo: una colección de artículos (nivel estándar, académico nivel) // Revista científica Globus . - S-P., 2016.
Starikov V. N. Notas sobre geometría// Búsqueda científica: humanidades y ciencias socioeconómicas: una colección de artículos científicos / Cap. edición Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Edición. 1 .
Matemáticas en tareas. Colección de materiales de las escuelas de campo del equipo de Moscú para la Olimpiada Matemática de toda Rusia / Editado por A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov y A. V. Shapovalov .. - Moscú: MTsNMO, 2009 - ISBN 978-5-94057- 477-4 .
Jean-Louis Ayeme. El teorema de Feurbach. Una nueva pura prueba sintética. (enlace no disponible) . Consultado el 2 de octubre de 2016. Archivado desde el original el 13 de noviembre de 2013. (Ruso) Una traducción algo extendida - "Alrededor del Problema de Arquímedes"
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. Condición de que un cuadrilátero tangencial sea también cordal // Comunicaciones Matemáticas. - 2007. - Edición. 12 _
D. Fraivert, A. Sigler y M. Stupel. Propiedades comunes de trapecios y cuadriláteros convexos // Revista de Ciencias Matemáticas: Avances y Aplicaciones. - 2016. - T. 38 . — págs. 49–71. -doi : 10.18642 / jmsaa_7100121635 .

Cuadrilátero

Tipos de cuadriláteros

Cuadriláteros con lados opuestos paralelos

Cuadriláteros con lados opuestos antiparalelos

Cuadriláteros con lados adyacentes perpendiculares

Cuadriláteros con diagonales perpendiculares

Cuadriláteros con diagonales paralelas

Cuadriláteros con lados opuestos iguales

no lo necesitarás en el futuro.

Cuadriláteros con diagonales iguales

Cuadrángulos inscritos alrededor de un círculo

Cuatripartito completo

Suma de ángulos

Razones métricas

La desigualdad del cuadrilátero

La desigualdad de Ptolomeo

Relaciones entre los lados y las diagonales de un cuadrilátero

Las relaciones de Bretschneider

Rectas especiales del cuadrilátero

Líneas medias del cuadrilátero

Teoremas sobre las líneas medias de un cuadrilátero

Línea de Newton

Líneas ortopolares de ortopolos de ternas de vértices de un cuadrilátero

Puntos especiales del cuadrilátero

Baricentro de un cuadrilátero

El punto de Poncelet del cuadrilátero

Cuadrilátero de puntos de Miquel

Círculos de triángulos de nueve puntos dentro de un cuadrilátero

Casos especiales de cuadriláteros

Cuadriláteros inscritos

Cuadriláteros inscritos con diagonales perpendiculares

Cuadriláteros descritos

Cuadriláteros inscritos-circunscritos

Área de un cuadrilátero inscrito-circunscrito

Partición de los lados de un cuadrilátero tangente por puntos de contacto con la circunferencia

Cuadriláteros no circunscritos

Un cuadrilátero no circunscrito para un círculo

Un cuadrilátero no circunscrito para una parábola

Cuadriláteros con elementos perpendiculares

Cuadriláteros con lados perpendiculares

Cuadriláteros con lados opuestos perpendiculares

Cuadriláteros con 2 pares de lados adyacentes perpendiculares

Cuadriláteros con 3 lados adyacentes perpendiculares

Cuadriláteros con diagonales perpendiculares

Propiedades de las diagonales de algunos cuadriláteros

Simetría de cuadriláteros

Área

Historia

Véase también

Notas

Literatura