Triángulo mediano

El triángulo mediano (también triángulo mediano o triángulo complementario ) es un triángulo construido sobre los puntos medios de los lados de un triángulo dado, un caso especial de polígono mediano .

Propiedades

El triángulo medio se puede considerar como la imagen del triángulo original bajo homotecia centrado en el baricentro con el factor −1. Por lo tanto, el triángulo mediano es similar al original y tiene el mismo centroide y medianas que el triángulo original . También se deduce de esto que el perímetro del triángulo medio es igual a la mitad del perímetro del triángulo , y que su área es igual a la cuarta parte del área del triángulo . Además, los cuatro triángulos en que se divide el triángulo original por el triángulo del medio son iguales en tres lados , por lo que sus áreas son iguales y constituyen una cuarta parte del área del triángulo original [1] . En este sentido, a veces los cuatro triángulos internos iguales obtenidos de un triángulo dado dibujando tres líneas medianas en él a veces se denominan "medio" (en la terminología más tradicional, solo uno de ellos se llama medio, el central). $\triángulo ABC$ $\triángulo ABC$ $\triángulo ABC$ $\triángulo ABC$

El ortocentro del triángulo mediano coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo dado , este hecho proporciona los medios para probar que el centro del círculo circunscrito, el centroide y el ortocentro se encuentran en la misma línea recta: la línea de Euler . $\triángulo ABC$

El triángulo mediano es el subtriángulo del centro del círculo circunscrito. El círculo de nueve puntos se describe para el triángulo medio y, por lo tanto, el centro de nueve puntos es el centro del círculo circunscrito alrededor del triángulo medio . El punto de Nagel del triángulo medio es el centro del círculo inscrito del triángulo original [ 2] .

El triángulo medio es igual a un triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los segmentos que conectan el ortocentro y sus vértices ( triángulo de Euler ) [3] .

El centro de la circunferencia inscrita del triángulo se encuentra en el triángulo central [4] . Un punto dentro de un triángulo es el centro de una elipse inscrita en el triángulo si y solo si este punto está dentro del triángulo medio [5] . El triángulo mediano es el único triángulo inscrito para el cual ninguno de los otros tres triángulos tiene un área menor que el área de este triángulo [6] . El centro de un círculo inscrito en el triángulo medio de un triángulo dado es el centro de masa del perímetro del triángulo ( centro de Spieker ), este centro es el centro de gravedad de la figura de alambre uniforme correspondiente al triángulo. $\triángulo ABC$

El ortopolo P de la recta ℓ del triángulo es el centro radical de tres circunferencias tangentes a la recta ℓ y con centros en los vértices del triángulo anticomplementario con respecto al triángulo dado. [7]

El incentro de un triángulo dado es el punto de Nagel del triángulo formado por sus 3 medianas ( punto medio del triángulo ). [ocho]

Coordenadas

Sean las longitudes de los lados del triángulo . Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo medio están dadas por las fórmulas: $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$ $\triángulo ABC$

${\ estilo de visualización X = 0:1/b:1/c}$
${\ estilo de visualización Y = 1/a: 0: 1/c}$
${\ estilo de visualización Z = 1/a: 1/b: 0}$

Triángulo antimediano

Si es un triángulo medial para , entonces es un triángulo anti-mediano ( anticomplementario ) para . Un triángulo anticomplementario para está formado por tres rectas paralelas a los lados : paralela por el punto , paralela por el punto y paralela por el punto . ${\ estilo de visualización \ triángulo XYZ}$ $\triángulo ABC$ $\triángulo ABC$ ${\ estilo de visualización \ triángulo XYZ}$ $\triángulo ABC$ $\triángulo ABC$ $AB$ $C$ $C.A.$ $B$ $antes de Cristo$ $A$

Las coordenadas trilineales de los vértices del antitriángulo medio vienen dadas por las fórmulas: ${\ estilo de visualización \ triángulo X'Y'Z'}$

$X'=-1/a:1/b:1/c$
$Y'=1/a:-1/b:1/c$
$Z'=1/a:1/b:-1/c$

Notas

↑ Posamentier, Lehmann, 2012 , pág. 177.
↑ Altshiller-Court, 2007 , pág. 161, Teorema 337.
↑ Altshiller-Court, 2007 , pág. 103,#206;108,#1.
↑ Franzsen, 2011 , pág. 233, Lema 1.
↑ Chakerian, 1979 , pág. 139, Capítulo 7.
↑ Torrejón, 2005 , p. 137.
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. (Párrafo: G. El Ortopolo. Ejercicios. Tema 6. p. 291). Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Honsberger, R. Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX. Washington, DC: Matemáticas. Asoc. amer 1995. Pág. 51, Artículo (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303

Literatura

Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. Los secretos de los triángulos. — Libros de Prometeo, 2012.
William N. Franzsen. La distancia del incentro a la línea de Euler // Forum Geometricorum. - 2011. - Edición. 11 _
Nathan Altshiller-Court. Geometría universitaria. — Publicaciones de Dover, 2007.
GD Chakerian. Ciruelas matemáticas / R. Honsberger. — Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979.
Ricardo M. Torrejón. Sobre una desigualdad triangular inscrita en Erdos // Forum Geometricorum. - 2005. - Edición. 5 .
Zetel S.I. Nueva geometría triangular. Una guía para profesores. 2ª edición .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - 153 p.

Enlaces

Weisstein , Eric W. Triángulo medial en Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .