Homeomorfismo

El homeomorfismo ( griego ὅμοιος - similar, μορφή - forma) es un mapeo uno a uno y mutuamente continuo de espacios topológicos . En otras palabras, es una biyección que conecta las estructuras topológicas de dos espacios, ya que, bajo la continuidad de la biyección, las imágenes e imágenes inversas de subconjuntos abiertos son conjuntos abiertos que determinan las topologías de los espacios correspondientes.

Los espacios conectados por un homeomorfismo son topológicamente indistinguibles. Podemos decir que la topología estudia las propiedades de los objetos que no cambian bajo el homeomorfismo.

En la categoría de espacios topológicos solo se consideran aplicaciones continuas, por lo que en esta categoría un isomorfismo también es un homeomorfismo.

Definición

Sean y sean dos espacios topológicos . Una función se llama homeomorfismo si es uno a uno , y tanto la función misma como su inversa son continuas . $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$ $f:X \a Y$ $F$ $f^{-1}$

Definiciones relacionadas

Los espacios en este caso también se denominan homeomorfos , o topológicamente equivalentes . $X$ $Y$
- Esta relación generalmente se denota como . ${\ estilo de visualización X \ simeq Y}$
Una propiedad de un espacio se llama topológica si se conserva bajo homeomorfismos. Ejemplos de propiedades topológicas: todos los tipos de separabilidad en espacios topológicos, conexión y desconexión , conexión lineal , compacidad , conexión simple , metrizabilidad , así como análogos locales de las propiedades enumeradas (conexión local, conexión lineal local, compacidad local, conexión simple local , metrizabilidad local), propiedad de ser una variedad topológica , dimensionalidad finita, dimensionalidad infinita y dimensión de las variedades topológicas, etc.
Un homeomorfismo local de espacios es una función sobreyectiva continua si cada punto tiene una vecindad tal que la restricción a es un homeomorfismo entre y su imagen . $f:X\a Y$ $x\en X$ ${\ estilo de visualización U \ ni x}$ $F$ $tu$ $f|_{U}:U\to f(U)$ $tu$ $f(u)$
- Ejemplo. El mapeo es un homeomorfismo local entre la línea real y el círculo . Sin embargo, estos espacios no son homeomorfos, por ejemplo, porque el círculo es compacto mientras que la línea no lo es. $x\to (\cos x,\sin x)$ ${\mathbb{R} }$ $S^{1}$

Teorema del homeomorfismo

Sea un intervalo en la recta numérica (abierta, semiabierta o cerrada). Sea una biyección. Entonces es un homeomorfismo si y sólo si es estrictamente monótono y continuo en $|a,b|\subconjunto \mathbb{R}$ $f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subconjunto \R$ $F$ $F$ $|a,b|.$

Ejemplo

Un intervalo abierto arbitrario es homeomorfo a la recta numérica entera . Un homeomorfismo viene dado, por ejemplo, por la fórmula $(a,b) \subconjunto \mathbb{R}$ $\matemáticas {R}$ $f:(a,b) \a \mathbb{R}$

f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{xa}{ba}\right).

Un intervalo es homeomorfo a un segmento en la topología discreta , pero no homeomorfo en la topología de línea numérica estándar. $(0, \; 1)$ $[0, \; una]$

Véase también

Notas

Literatura

Zorich V. A. Análisis matemático. - M. : Nauka , 1984. - T. 2. - S. 41.
Vasiliev V. A. Introducción a la topología. - M. : FAZIS, 1997. - Edición. 3. - xii + 132 p. - (Biblioteca de un estudiante-matemático). — ISBN 5-7036-0036-7 .
Timofeeva NV Geometría diferencial y elementos de topología . - YaGPU , 2007.
Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Topología visual. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.

Enlaces

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Homeomorfismo , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4