Granja de puntos

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El punto de Fermat es un punto en el plano, la suma de las distancias a los vértices del triángulo es mínima. El punto de Fermat también se denomina a veces punto de Torricelli o punto de Fermat-Torricelli . El punto de Fermat proporciona una solución al problema de Steiner para los vértices de triángulos. En la literatura inglesa, el punto de Fermat también se denomina centro isogónico X(13).

Historia

El punto de Fermat fue propuesto por primera vez por Fermat : "Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectæ ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas". P. de Fermat, "Œuvres de Fermat", 1679, Livre I, París (lat. "Para tres puntos dados, encuentre el cuarto, tal que si traza líneas rectas desde él hasta estos puntos, la suma de las distancias será el más pequeño." P. Fermat ).

Propiedades

El teorema de Lester . En cualquier triángulo escaleno, dos de los puntos de Fermat, el centro de los nueve puntos y el centro del círculo circunscrito se encuentran en el mismo círculo ( el círculo de Leicester ).

Edificio

Teorema ( E. Torricelli , B. Cavalieri , T. Simpson , F. Heinen, J. Bertrand ). Construya en los lados de un triángulo arbitrario a los triángulos equiláteros exteriores , , . Luego, seis curvas, tres círculos circunscritos alrededor de estos triángulos regulares y líneas , se intersecan en un punto . Si todos los ángulos del triángulo no exceden , entonces se encuentra en el triángulo y es un punto de Fermat . En este caso, los ángulos entre los segmentos , y son iguales entre sí y, por lo tanto, son iguales . Además, las longitudes de los segmentos , y , llamadas líneas de Simpson , también son iguales entre sí y son iguales a . Si uno de los ángulos del triángulo es mayor que , entonces está fuera del triángulo y el punto de Fermat coincide con el vértice del ángulo obtuso . $A B C$ $A B C'$ $BCA'$ $TAXI'$ $AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO'$ $CAMA Y DESAYUNO'$ $CC'$ $X$ $A B C$ $120^{\círculo}$ $X$ $A B C$ $S$ ${\ estilo de visualización como}$ ${\ estilo de visualización BS}$ ${\ estilo de visualización CS}$ $120^{\círculo}$ $AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO'$ $CAMA Y DESAYUNO'$ $CC'$ ${\ estilo de visualización AS + BS + CS}$ $A B C$ $120^{\círculo}$ $X$ $A B C$ $S$

El teorema proporciona un algoritmo para construir el punto de Fermat utilizando un compás y una regla. En el caso no trivial, cuando todos los ángulos del triángulo son menores que , el punto de Fermat se encuentra como la intersección de dos cualesquiera de las seis curvas descritas en el teorema. $120^{\círculo}$

Físicamente, este punto se puede construir de la siguiente manera: marcamos los puntos en una superficie horizontal plana y lisa , y perforamos agujeros en los lugares marcados; atamos tres hilos y pasamos sus extremos libres desde arriba a través de los agujeros; atar cargas de la misma masa a los extremos libres; cuando el sistema alcance el equilibrio, el nodo estará en el punto de Fermat del triángulo . $A$ $B$ $C$ $A B C$

Nota

Por cierto, en la primera figura de la derecha, los centros de los tres triángulos equiláteros son ellos mismos los vértices de un nuevo triángulo equilátero ( Teorema de Napoleón ). Además, . $AA'=BB'=CC'$

Encontrar el punto de Fermat. Multiplicadores de Lagrange

Existe un enfoque para encontrar un punto dentro de un triángulo, para el cual la suma de las distancias a los vértices del triángulo es mínima, es usar uno de los métodos de optimización en matemáticas. En particular, el método de los multiplicadores de Lagrange y el teorema del coseno.

Trazamos líneas desde un punto dentro del triángulo hasta sus vértices y las llamamos X , Y y Z. Además, sean las longitudes de estas líneas x, y y z, respectivamente. Sea α el ángulo entre X e Y , Y y Z - β. Entonces el ángulo entre X y Z es (2π - α - β). Usando el método del multiplicador de Lagrange, debemos encontrar el mínimo del Lagrangiano L , que se expresa como:

L = x + y + z + λ 1 ( x 2 + y 2 − 2 xy cos( α ) − a 2 ) + λ 2 ( y 2 + z 2 − 2 yz cos(β) − segundo 2 ) + λ 3 ( z 2 + x 2 − 2 zx cos( α + β ) − do 2 )

donde a , b y c son las longitudes de los lados del triángulo.

Igualando cada una de las cinco derivadas parciales δ L / δx, δ L / δy, δ L / δz, δ L / δα, δ L / δβ a cero y excluyendo λ 1 , λ 2 , λ 3 , finalmente obtenemos sen (α ) = sin(β) y sin(α + β) = - sin(β) entonces α = β = 120°. Sin embargo, los cálculos son largos y tediosos, y el resultado final solo cubre el Caso 2 cuando ninguno de los ángulos es ≥ 120°.

Punto Torricelli

El punto de Torricelli es el punto de un triángulo desde el cual todos los lados son visibles en un ángulo de . Sólo existe en triángulos con ángulos menores que , mientras que es único y, por lo tanto, coincide con el punto de Fermat. $120^{\círculo}$ $120^{\círculo}$

Véase también

Notas

Literatura

Enciclopedia para niños / Capítulo. edición M. D. Aksyonova. - M. : Avanta+, 2001. - T. 11. Matemáticas. — 688 pág.
A. O. Ivanov, A. A. Tuzhilin. Teoría de redes extremas. - Moscú-Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2003. - ISBN 5-93972-292-X .