Ecuación de Lindblad

La ecuación de Lindblad (más raramente - la ecuación de Gorini - Kossakovsky - Sudarshan - Lindblad, ecuación del inglés GKSL ) - la ecuación para la matriz de densidad , es la forma más general de la ecuación generadora de Markov , que describe la ecuación no unitaria ( disipativa , no -Hamiltoniana ) evolución de la matriz densidad . En este caso, la evolución está representada por un mapeo completamente positivo ( superoperador ), que conserva la traza . Propuesto en 1976 por Vittorio Gorini , Andrzej Kossakowski , George Sudarshan [1] y Göran Lindblad [2] . $\rho$

La ecuación de Lindblad para la matriz de densidad se puede escribir como:

{\frac {d}{dt}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum_ {k=1}^{\infty }{\grande (}[V_{k}\rho ,V_{k}^{\daga }]+[V_{k},\rho V_{k}^{\daga }]{\grande )},

donde es la matriz de densidad, es el operador de Hamilton y son algunos operadores . Si los operadores son iguales a cero, entonces la ecuación de Lindblad se convierte en la ecuación de von Neumann (la ecuación cuántica de Liouville). $\rho$ $H$ $V_{k}$ $V_{k}$

La ecuación de Lindblad también se conoce como la ecuación del observable cuántico . Esta ecuación se parece a:

{\frac {d}{dt}}A=-{\frac {1}{i\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum_ k=1}^{\infty }{\big (}V_{k}^{\daga }[A,V_{k}]+[V_{k}^{\daga },A]V_{k}{ \grande )},

donde es el observable cuántico. Si los operadores son iguales a cero, entonces la ecuación de Lindblad para el observable cuántico se convierte en la ecuación de Heisenberg $A$ $V_{k}$ $A$

La ecuación de Lindblad, también llamada ecuación cuántica de Markov, se utiliza para describir sistemas cuánticos abiertos , disipativos y no hamiltonianos.

Un caso particular importante de la ecuación de Lindblad es el modelo de colisión aleatoria [3] , en el que los operadores tienen la forma: (por conveniencia de notación, el índice de la matriz se reemplaza por uno doble). La sustitución de estos operadores lleva la ecuación de Lindblad a la forma: $V_{k}$ $V_{kl}=\hbar \gamma {\sqrt ({\tilde {\rho }}_{kk}}}|k\rangle \langle l|$ $\k$

{\frac {d}{dt}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ]+\gamma ({\tilde {\rho }}-\rho ) ,

donde es una matriz diagonal fija con elementos distintos de cero , tal que , que describe la matriz de densidad del estado de equilibrio termodinámico del sistema. El modelo de colisión aleatoria es adecuado para los casos en que la interacción de un sistema cuántico con un reservorio ocurre en el régimen de pulsos cortos y fuertes, entre los cuales el sistema evoluciona como uno cerrado. ${\ Displaystyle {\ tilde {\ rho}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho ))_{kk))$ $\operatorname {Tr} {\tilde {\rho}}=1$

Notas

↑ Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan ECG Semigrupos dinámicos completamente positivos de sistemas de nivel N // J. Math. física - 1976. - Nº 17 . - S. 821-825 . (enlace no disponible)
↑ Lindblad G. Sobre los generadores de semigrupos dinámicos cuánticos, Commun. Matemáticas. física - 1976. - Nº 48 . - S. 119-130 . Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016.
↑ Ilyinsky Yu. A., Keldysh L. V. Interacción de la radiación electromagnética con la materia... - M .: MSU Publishing House, 1989.

Literatura

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