Ecuaciones de Schwinger

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Las ecuaciones de Schwinger son un sistema de ecuaciones que relacionan las funciones de Green en la teoría cuántica de campos . Introducido por Julian Schwinger en 1951.

Las ecuaciones de Schwinger se pueden formular como una sola ecuación en derivadas variacionales :

\left\{{\frac ({\overrightarrow {\delta }}S(\varphi )}{\delta \varphi (x))){\bigg |}_{\varphi =\chi {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}+A(x)\right\}G(A)=0,

donde es el funcional de acción , es el funcional generador de las funciones de Green completas . El argumento del funcional es un objeto clásico de la misma naturaleza que el campo , es decir, la función habitual para bosones y la función anticonmutante para fermiones , - la derivada variacional por la izquierda , en el caso bosónico, en el caso fermiónico. ${\ estilo de visualización S (\ varphi)}$ ${\ estilo de visualización G (A)}$ $Hacha)$ $\varphi$ ${\frac {\overrightarrow {\delta )){\delta iA))$ ${\ estilo de visualización \ chi = +1}$ ${\ estilo de visualización \ chi = -1}$

Para una teoría con polinomio de acción en el campo, esta ecuación es una ecuación de orden finito en derivadas variacionales. Determina la solución solo hasta un factor numérico: el funcional generador de la función de Green sin bucles de vacío se determina de forma única , donde es el funcional generador de las funciones de Green de la teoría libre. $H(A)=G_{0}^{-1}G(A)$ $G_{0}$

Habiendo hecho una sustitución en la ecuación y reduciendo el multiplicador después de la diferenciación , obtenemos la ecuación de Schwinger para el funcional generatriz de las funciones de Green conexas . ${\displaystyle G(A)=e^{W(A)))$ $e^{W(A)}$ ${\ estilo de visualización W (A)}$ $W_{n}$

Representado como una serie. ${\ estilo de visualización W (A)}$

W(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {W_{n}(iA)^{n}}{n!}},

y comparando los coeficientes en todas las potencias , obtenemos un sistema de ecuaciones enlazadas para las funciones de Green conectadas . ${\ estilo de visualización iA}$ $W_{n}$

La ecuación de Schwinger en electrodinámica cuántica

Para obtener las ecuaciones de Schwinger se introducen fuentes clásicas de campos externos. Por ejemplo, en la electrodinámica cuántica de partículas con espín 1/2, en la versión más simple, es suficiente introducir en el Lagrangiano la interacción del campo de fotones cuantificado con la fuente de un campo electromagnético externo en la forma mínima — . Debido a esto, se hace posible, mediante variación funcional sobre una fuente clásica , obtener funciones de Green con un gran número de extremos de fotones . La matriz de dispersión se convierte en la fuente funcional . También es conveniente introducir el valor medio observado del operador de campo fotónico (teniendo en cuenta las correcciones cuánticas): $A^{\mu}(x)$ ${\ Displaystyle J_ {\ mu} (x)}$ ${\displaystyle J_{\mu }A^{\mu ))$ ${\ Displaystyle J_ {\ mu} (x)}$ ${\ estilo de visualización S [J]}$

{\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }( x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x))),

donde es el valor promedio de los operadores sobre los estados de vacío en la representación de interacción , el símbolo denota el orden cronológico de los operadores, es la derivada variacional de . $S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.$ ${\ estilo de visualización \ langle 0 \ vert \ cdots \ vert 0 \ rangle}$ $T$ ${\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))),$

Como resultado, para la función de Green fermiónica de dos puntos

G(x,y\vert J)=-{\frac {i}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{\psi (x){\overline {\psi } }(y)S[J]\}\vert 0\rangle ,

donde es el operador espinor del campo fermiónico (electrón-positrón), y la barra sobre el operador significa conjugación de Dirac , tenemos una ecuación del tipo de Dirac : $\psi(x)$

\left\{\gamma _{\mu }\left[{\frac {\parcial }{\parcial x_{\mu ))}-e{\mathcal {A^{\mu ))}(x )\right]-m-ie\gamma _{\mu }{\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))\right\}G(x,y\vert J)=\ delta ^{4}(xy),

donde son las matrices de Dirac y son la carga y la masa del electrón. Para el valor promedio del operador de campo de fotones, obtenemos una ecuación del tipo de la ecuación de Maxwell (el segundo término del lado derecho de la ecuación tiene el significado de correcciones cuánticas a la corriente clásica ): $\gamma_{\mu}$ ${\ estilo de visualización e, m}$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$ $j$

\Box {\mathcal {A^{\mu }}}(x)=-J_{\mu }(x)+ie\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }G(x,x \vert J)],

donde la traza se toma sobre los índices de espinor. Las ecuaciones resultantes, que permiten determinar y a partir de fuentes dadas , se denominan ecuaciones de Schwinger . ${\ Displaystyle J_ {\ mu} (x)}$ $G(x,y\vert J)$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$

La función de Green del fotón de dos puntos se puede encontrar usando la relación

G^{\mu \nu }(x,y\vert J)=-{\frac {\delta A^{\mu }(x)}{\delta J^{\nu }(y)} }=-i{\frac {\delta ^{2}\ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)\delta J_{\nu }(y))).

La cantidad se llama funcional generatriz . $Z[J]\equiv i\ln S_{0}[J]$

La parte de vértice de tres puntos se define de la siguiente manera:

\Gamma _{\mu }(x,y,z)=-{\frac {\delta }{\delta A^{\mu ))}G^{-1}(x,y\vert J ),

donde es el operador inverso de la función de Green fermiónica. Las ecuaciones de Schwinger están estrechamente relacionadas con las ecuaciones de Dyson . Schwinger también derivó una ecuación para la función de Green de cuatro puntos de dos partículas (fermiones). En ausencia de un campo externo, esta ecuación es equivalente a la ecuación de Bethe-Salpeter . ${\ estilo de visualización G^{-1}}$

Literatura

Vasiliev AN § 7.1 Ecuaciones de Schwinger // Métodos funcionales en teoría cuántica de campos y estadística. - L. : Editorial de la Universidad de Leningrado, 1976. - S. 72-74. — 295 págs.
Bogolyubov HH, Shirkov DV Capítulo VI. Aplicación de la teoría general de eliminación de divergencias // Introducción a la teoría de campos cuantizados,. - 4ª ed.,. - M. : Nauka, 1984. - T. 4. - S. 389. - 600 p.
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