Filtro de respuesta de impulso infinito

Filtro de respuesta de impulso infinito ( Recursive filter , IIR filter ) o filtro IIR (IIR abreviatura de infinite impulse response - infinite impulse response) - filtro electrónico lineal que utiliza una o varias de sus salidas como entrada, es decir, formando una realimentación . La propiedad principal de tales filtros es que su respuesta de impulso tiene una longitud infinita en el dominio del tiempo y la función de transferencia tiene una forma racional fraccionaria. Dichos filtros pueden ser analógicos o digitales .

Ejemplos de filtros IIR son el filtro Chebyshev , el filtro Butterworth , el filtro Kalman y el filtro Bessel .

Descripción

Rendimiento dinámico

La ecuación de diferencias que describe el filtro IIR discreto establece la relación entre las señales de entrada y salida en el dominio del tiempo:

y(n)=b_{{0}}x(n)+b_{{1}}x(n-1)+\cdots +b_{{P}}x(nP)-a_{{1}}y (n-1)-a_{{2}}y(n-2)-\cdots-a_{{Q}}y(nQ)

donde es el orden de la señal de entrada, son los coeficientes de la señal de entrada, es el orden de retroalimentación, son los coeficientes de retroalimentación , es la señal de entrada y es la señal de salida. $PAGS$ $bi}}$ $q$ $ai}}$ $x(n)$ $y(n)$

Una notación más compacta para la ecuación en diferencias:

y(n)=\sum_{{i=0}}^{P}b_{{i}}x(ni)-\sum_{{k=1}}^{Q}a_{{k}} y (nk)

Para encontrar el núcleo del filtro , establecemos

x(n)=\delta(n)

donde está la función delta . $\delta(n)$

Luego, la función de transición de impulso (núcleo de filtro) se escribe como

h(n)=\sum_{{i=0}}^{P}b_{{i}}\delta (ni)-\sum_{{k=1}}^{Q}a_{{k} }h(nk)

La transformada z de la respuesta al impulso da la función de transferencia del filtro IIR:

H(z)={\frac {\sum_{{i=0}}^{P}b_{{i}}z^{{-i}}}{1+\sum_{{k=1} }^{Q}a_{{k}}z^{{-k}}}}

Sostenibilidad

La estabilidad de un filtro de respuesta de impulso infinito se juzga por su función de transferencia . Para un filtro discreto, es necesario y suficiente que todos los polos de su módulo de función de transferencia sean menores que uno (es decir, se encuentren dentro del círculo unitario en el plano z ). Todos los criterios de estabilidad aplicables en la teoría de sistemas estacionarios lineales , como el criterio de estabilidad de Nyquist o el criterio de estabilidad de Routh, también son aplicables en el caso de los filtros IIR.

A diferencia de los filtros FIR, los filtros IIR no siempre son robustos.

Implementación de un filtro IIR

Si se considera una función de transferencia de la forma:

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum_{{k=0}}^{{M}}b_{{k}}z^ {{-k}}}{1+\sum_{{k=1}}^{{N}}a_{{k}}z^{{-k}}}}={\frac {B(z )}{Arizona)}},

entonces la relación entre la entrada y la salida de dicho sistema debe satisfacer la ecuación de diferencia:

y(n)=-\sum_{k=1}^{N}a(k)y(nk)+\sum_{k=0}^{M}b(k)x(nk)

Esta ecuación se puede escribir directamente a partir de la expresión de la función de transferencia, por lo que la forma de construir el circuito correspondiente a esta ecuación se denomina forma directa 1.

Al construir un filtro IIR, por simplicidad, podemos suponer que M=N. Los filtros IIR se pueden implementar utilizando tres elementos u operaciones básicas: un multiplicador, un sumador y un bloque de retardo. Estos elementos son suficientes para todos los posibles filtros digitales. La opción que se muestra en la figura es una implementación directa de los filtros IIR tipo 1.

Dado que los conjuntos de coeficientes b(k) y a(k) corresponden a los polinomios del numerador B(z) y del denominador A(z) de la función de transferencia H(z), la forma directa del filtro IIR que se muestra en la La figura se puede interpretar como una conexión en cascada de dos circuitos. El primero de ellos implementa ceros y tiene una función de transferencia B(z), y el segundo implementa polos y tiene una función de transferencia 1/A(z). Denotando la señal de salida del primer sistema w(n), la ecuación en diferencias puede ser reemplazada por el sistema de ecuaciones:

y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+w(n),

w(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

que se implementa mediante la estructura que se muestra en la figura.

En sistemas discretos con parámetros constantes, la relación entre entrada y salida no depende del orden de la conexión en cascada de los bloques. La segunda forma directa de construir un filtro IIR se deriva de esta propiedad. Si primero nos damos cuenta de los polos H(z) correspondientes al lado derecho del diagrama de bloques de la figura superior, que tiene la función de transferencia 1/A(z), y luego los ceros de la función de transferencia B(z), entonces obtenemos la estructura que se muestra en la Figura 2, que corresponde a las ecuaciones del sistema:

w(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)w(nk)+x(n),

y(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)w(nk).

Combinando las líneas de retardo en la estructura que se muestra en la figura superior, obtenemos la forma canónica directa del filtro IIR:

En algunos casos, en términos de rendimiento de ruido, un filtro implementado en forma directa es mejor que en forma canónica.

Véase también

Enlaces

El quinto módulo del curso DSP de procesamiento de señales BORES - Introducción a DSP Archivado el 6 de julio de 2012 en Wayback Machine .