Fórmula de cinco elementos (geometría esférica)

La fórmula de los cinco elementos en trigonometría esférica expresa la relación entre los cinco elementos de un triángulo esférico [1] .

Descripción

El conjunto básico completo de fórmulas para los cinco elementos para varios ángulos y lados de un triángulo se puede dividir en dos grupos:

• Fórmulas que relacionan tres lados y dos ángulos, también conocidas como fórmulas para el seno de un lado y el coseno de un ángulo . Aquí está uno de ellos [2] :

• Fórmulas que relacionan tres ángulos y dos lados, también conocidas como fórmulas para el seno de un ángulo con el coseno de un lado . Uno de ellos se parece a:

En la fórmula del seno de un lado al coseno de un ángulo, el lado y el ángulo adyacente a él se expresan en términos de los otros dos lados y el ángulo entre ellos. Para cada lado, se puede tomar uno de los dos ángulos adyacentes, por lo que hay seis fórmulas de este tipo en total.

En la fórmula del seno de un ángulo al coseno de un lado, el lado y el ángulo adyacente a él se expresan en términos de los otros dos ángulos y el lado adyacente a ellos. También hay seis fórmulas de este tipo.

Cada fórmula del seno de un ángulo por el coseno de un lado es dual a una de las fórmulas del seno de un lado por el coseno de un ángulo, ya que los ángulos y los lados de cualquier triángulo esférico se complementan en un ángulo desarrollado por los lados y ángulos del triángulo polar correspondiente . Por lo tanto, basta probar solo las fórmulas para el seno de un lado y el coseno de un ángulo. Además, las dos fórmulas para el seno de un lado al coseno de un ángulo incluido y el seno del mismo lado al coseno de otro ángulo incluido se obtienen exactamente de la misma manera. Y a partir de estas dos fórmulas, las cuatro fórmulas restantes del seno del lado al coseno del ángulo se obtienen mediante una permutación circular de las letras:

Por lo tanto, basta probar una de las fórmulas para el seno de un lado al coseno de un ángulo.

Prueba

La demostración se realizará mediante proyecciones [1] . La figura muestra un triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio R con centro en O. BP es perpendicular al plano del gran círculo que pasa por el lado b , BM es perpendicular a OC , BN es perpendicular a OA . Por el inverso del teorema de las tres perpendiculares , PM es la perpendicular a OC , PN es la perpendicular a OA . Tenga en cuenta que el ángulo MPN es b, además, BM = R sin a, BN = R sin c y OM = R cos a. A continuación, proyectamos la línea discontinua NOMP sobre la línea que contiene NP .

Sustituimos las últimas cuatro expresiones en la primera y obtenemos:

Aplicación

Aplicando la fórmula de los cinco elementos junto con algunas otras fórmulas de trigonometría esférica, se pueden obtener, por ejemplo, fórmulas de conversión entre sistemas de coordenadas celestes : horizontal , ecuatorial, eclíptica y galáctica [3] .

Historia

La fórmula de los cinco elementos fue deducida por Leonhard Euler en el siglo XVIII [4] .

Notas

1. ↑ 1 2 Stepanov N.N. Fórmulas de cinco elementos // Trigonometría esférica . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  32 -35. — 154 pág.
2. ↑ Trigonometría esférica Archivado el 28 de febrero de 2021 en Wayback Machine en el sitio web de MathWorld
3. ↑ Tsesevich V.P. Qué y cómo observar en el cielo. - 6ª ed. - M. : Nauka , 1984. - S. 68-74. — 304 pág.
4. ↑ Trigonometría esférica // Gran Enciclopedia Soviética  : [en 30 volúmenes]  / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M.  : Enciclopedia soviética, 1969-1978.