Distribución chi

distribución chi
Densidad de probabilidad
función de distribución
Opciones	$k>0\,$ (grados de libertad)
Transportador	$x\in [0,\infty)$
Densidad de probabilidad	${\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)))\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2 }$
función de distribución	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Valor esperado	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$
Mediana	sobre ${\displaystyle {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg)}^{3))))$
Moda	${\sqrt {k-1}}\,$ si $k\geq 1$
Dispersión	${\ estilo de visualización \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \,}$
Coeficiente de asimetría	${\ Displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \, (1-2 \ sigma ^ {2})}$
Coeficiente de curtosis	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
entropía diferencial	${\ estilo de visualización \ ln (\ gamma (k/2)) + \,}$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2) )$
Función generadora de momentos	ver en texto
función característica	ver en texto

La distribución chi es una distribución de probabilidad continua de una variable aleatoria que es la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de variables aleatorias normales independientes. Está relacionado con la distribución chi-cuadrado y es la distribución de la raíz cuadrada de una variable aleatoria distribuida según la ley . $\chi^{2}$

Si son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con expectativa matemática cero (media) y varianza igual a 1, entonces las estadísticas ${\displaystyle Z_{1},\ldots,Z_{k))$

{\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2))))

distribuidos de acuerdo con la ley chi. En consecuencia, si la estimación de la desviación estándar se divide por , donde es la media de la distribución chi, se obtendrá una estimación no sesgada de la desviación estándar de la distribución normal. La distribución chi tiene un parámetro - , que especifica el número de grados de libertad (es decir, el número ). $s$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {1} / {\ sqrt {n-1}}}$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {1}}$ $k$ $Z_{yo}$

Los ejemplos más famosos son la distribución de Rayleigh (el número de grados de libertad es dos) y la estadística de Maxwell-Boltzmann (el número de grados de libertad es tres).

Definición

Densidad de probabilidad

La densidad de probabilidad de la distribución chi es

f(x;k)={\begin{casos}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1} \Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geqslant 0;\\0,&x<0.\end{casos}}

donde está la función gamma . $\gamma(z)$

Función de distribución

La función de distribución es:

F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,

donde es la función gamma regularizada . ${\ estilo de visualización P (k, x)}$

Generando funciones

La función generadora de los momentos es:

M(t)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\right )+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac {k+1} {2)),{\frac {3}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\derecha),

donde es la función hipergeométrica de Kummer degenerada . La función característica es: ${\ estilo de visualización M (a, b, z)}$

\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {-t^{2)){2 }}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac { k+1}{2)),{\frac {3}{2)),{\frac {-t^{2}}{2}}\right).

Propiedades

Momentos

Los momentos se calculan mediante la fórmula:

\mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)))

donde está la función gamma . Los primeros seis momentos están dados por las siguientes fórmulas: $\gamma(z)$

\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)} }

{\ estilo de visualización \ mu _ {2} = k \,}

\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)\mu _{1}

{\ estilo de visualización \ mu _ {4} = k (k + 2) \,}

\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)(k+3)\mu _{1}

{\ estilo de visualización \ mu _ {6} = k (k + 2) (k + 4) \,}

donde las expresiones de la derecha se obtienen usando la relación de recurrencia para la función gamma:

\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,

También a partir de estas expresiones, se pueden obtener las siguientes fórmulas:

Promedio : $\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$

Varianza : - de las expresiones de los dos primeros momentos. ${\ estilo de visualización \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \,}$

Coeficiente de asimetría : ${\ Displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \, (1-2 \ sigma ^ {2})}$

Coeficiente de curtosis : $\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2))}(1-\mu \sigma \gamma_{1}-\sigma ^{2})$

Entropía

La entropía diferencial viene dada por la fórmula:

S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2))(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\ !1)\psi ^{0}(k/2))

donde es la función poligamma . ${\ estilo de visualización \ psi ^ {0} (z)}$

Relación con otras distribuciones

Si , entonces ( distribución chi-cuadrado ) ${\ Displaystyle X \ sim \ chi _ {k}}$ ${\displaystyle X^{2}\sim\chi_{k}^{2))$
$\lim_{k\to \infty}}{\tfrac {\chi_{k}-\mu_{k)){\sigma_{k))}{\xrightarrow {d))\ norte( 0,1)\,$ ( distribución normal )
si , entonces ${\ estilo de visualización X \ sim N (0,1) \,}$ ${\ estilo de visualización | X | \ sim \ chi _ {1} \,}$
Si , entonces ( distribución seminormal ) para cualquier ${\ estilo de visualización X \ sim \ chi _ {1} \,}$ ${\ estilo de visualización \ sigma X \ sim HN (\ sigma) \,}$ ${\ estilo de visualización \ sigma> 0 \,}$
$\chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$ ( Distribución de Rayleigh )
$\chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$ ( Distribución de Maxwell )
$\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}$ ( la segunda norma de las variables aleatorias normales estándar es una distribución chi con grados de libertad) $k$ $k$
La distribución chi es un caso especial de la distribución gamma , la distribución Nakagami y la distribución chi no central .

Tipos de distribuciones chi y chi-cuadrado

Nombre	Estadísticas
distribución chi-cuadrado	$\sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}}}\right)^{2}$
distribución de chi-cuadrado no central	$\sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma_{i}}}\right)^{2}$
distribución chi	${\sqrt {\sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu_{i)){\sigma_{i))}\right) ^{2}}}$
distribución de chi no central	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Véase también

distribución nakagami

Literatura

Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Estadísticas con Mathematica (1999), 237f.
Jan W. Gooch, Diccionario enciclopédico de polímeros vol. 1 (2010), Apéndice E, pág. 972 .

Enlaces

http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html