Distribución chi-cuadrado

distribucion _ Distribución Pearson $\chi^{2}$
Densidad de probabilidad
función de distribución
Designacion	$\chi ^{2}(k)$ o ${\ estilo de visualización \ chi _ {k} ^ {2}}$
Opciones	$k>0$ es el numero de grados de libertad
Transportador	$x\in [0;+\infty)$
Densidad de probabilidad	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$
función de distribución	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$
Valor esperado	$k$
Mediana	sobre ${\ Displaystyle k-2/3}$
Moda	0 para si ${\ estilo de visualización k <2,}$ ${\ estilo de visualización k-2,}$ $k\geq 2$
Dispersión	${\ estilo de visualización 2 \, k}$
Coeficiente de asimetría	${\ estilo de visualización {\ sqrt {8/k))}$
Coeficiente de curtosis	${\ estilo de visualización 12/k}$
entropía diferencial	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\derecha)\psi \left({\frac {k}{2}}\derecha)$ ${\ estilo de visualización \ psi (x) = \ Gamma '(x)/\ Gamma (x).}$
Función generadora de momentos	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , si ${\ estilo de visualización 2 \, t <1}$
función característica	${\ estilo de visualización (1-2 \, i \, t) ^ {-k/2))$

Distribución (chi-cuadrado) con grados de libertad $\chi^{2}$ $k$ - distribución de la suma de cuadrados de variables aleatorias normales estándar independientes . $k$

Definición

Sean variables aleatorias normales estándar conjuntamente independientes, es decir: . Entonces la variable aleatoria $z_{1},\ldots,z_{k}$ $z_{i}\simN(0,1)$

{\displaystyle x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2))

tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad, es decir , o, escrito de otra manera: $k$ $x\sim f_{\chi ^{2}(k)}(x)$

x=\sum \limits _{i=1}^{k}z_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(k)

La distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma , y su densidad es:

f_{\chi ^{2}(k)}(x)\equiv \Gamma \!\left({k \over 2},{2}\right)={\frac {(1/2) ^{k \sobre 2}}{\Gamma \!\left({k \sobre 2}\right)}}\,x^{{k \sobre 2}-1}\,e^{-{\frac {x}{2}}}

donde es la distribución gamma y es la función gamma . ${\ estilo de visualización \ Gamma \! \ izquierda ({k/2}, 2 \ derecha)}$ $\Gamma \!\izquierda({k/2}\derecha)$

La función de distribución tiene la siguiente forma:

F_{\chi ^{2}(k)}(x)={\frac {\gamma \left({k \over 2},{x \over 2}\right)}{\Gamma \left({k \sobre 2}\derecha)}}

donde y denotan las funciones gamma completa e incompleta , respectivamente. $\Gama$ $\gama$

Propiedades de la distribución chi-cuadrado

La distribución chi-cuadrado es estable con respecto a la suma . Si son independientes, y , y , entonces . ${\ estilo de visualización Y_ {1}, Y_ {2}}$ $Y_{1}\sim\chi^{2}(k_{1})$ $Y_{2}\sim\chi^{2}(k_{2})$ $Y_{1}+Y_{2}\sim\chi^{2}(k_{1}+k_{2})$

A partir de la definición, es fácil obtener los momentos de la distribución chi-cuadrado. si , entonces $Y\sim\chi ^{2}(k)$

\mathbb {E} [Y]=k

{\ estilo de visualización \ mathrm {D} [Y] = 2k}

En virtud del teorema del límite central , con un gran número de grados de libertad, la distribución de una variable aleatoria puede aproximarse a la normal . Con más precisión $Y\sim\chi ^{2}(k)$ $Y\aproximado N(k,2k)$

{\frac{Yk}{\sqrt {2k}}}\a N(0,1)

por distribución en .

k\to\infty

Relación con otras distribuciones

Si se conocen las variables aleatorias normales independientes, es decir:, entonces la variable aleatoria $X_{1},\ldots,X_{k}$ $X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots,k;\;\mu$

Y=\sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}

tiene una distribución . $\chi ^{2}(k)$

Si , entonces la distribución chi-cuadrado es la misma que la distribución exponencial : $k=2$

\chi ^{2}(2)\equiv \mathrm {Exp} (1/2)

Si , entonces es la distribución de Erlang . ${\ estilo de visualización X \ sim \ chi ^ {2} (2k)}$ ${\ estilo de visualización X \ sim \ nombre del operador {Erlang} (k, 1/2)}$
Si y , entonces la variable aleatoria $Y_{1}\sim\chi^{2}(k_{1})$ $Y_{2}\sim\chi^{2}(k_{2})$

F={\ fracción {Y_{1}/k_{1}}{Y_{2}/k_{2}}}

Tiene una distribución de Fisher con grados de libertad . ${\ estilo de visualización (k_{1},k_{2})}$

$\chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)$ ( distribución de chi-cuadrado no central con parámetro de no centralidad ) ${\ estilo de visualización \ lambda = 0}$
Si y , entonces . ( distribución gamma ) $X\sim\chi^{2}(\nu)\,$ ${\ estilo de visualización c> 0 \,}$ $cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,$
Si entonces ( distribución chi ) ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2))$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {X}} \ sim \ chi _ {k}}$
Si ( distribución de Rayleigh ), entonces $X\sim\operatorname {Rayleigh} (1)\,$ $X^{2}\sim\chi^{2}(2)\,$
Si ( distribución de Maxwell ), entonces $X\sim\operatorname {Maxwell} (1)\,$ $X^{2}\sim\chi^{2}(3)\,$
Si y son independientes, entonces - ( distribución beta ) $X\sim\chi^{2}(\nu _{1})\,$ $Y\sim\chi^{2}(\nu _{2})\,$ ${\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}} {2)))\,$
Si - ( distribución uniforme ), entonces ${\ estilo de visualización X \ sim \ nombre del operador {U} (0,1) \,}$ $-2\log(X)\sim\chi^{2}(2)\,$
${\ estilo de visualización \ chi ^ {2} (6) \,}$ es la transformación de la distribución de Laplace
si entonces $X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu,\beta)\,$ $\sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta}}\sim \chi ^{2}(2n)\,$
distribución chi-cuadrado - transformación de distribución de Pareto
distribución t - transformación de la distribución chi-cuadrado
La distribución t se puede derivar de las distribuciones chi-cuadrado y normal
Si y son independientes, entonces . Si y no son independientes, entonces no se distribuye de acuerdo con la ley de chi-cuadrado. $X_{1}\sim\chi^{2}(k_{1})$ $X_{2}\sim\chi^{2}(k_{2})$ $X_{1}+X_{2}\sim\chi^{2}(k_{1}+k_{2})$ $X_{1}$ $X_{2}$ $X_{1}+X_{2}$

Variaciones y generalizaciones

Otra generalización de la distribución de chi-cuadrado es la llamada distribución de chi-cuadrado no central que ocurre en algunos problemas estadísticos.

Cuantiles

Un cuantil es un número (argumento) en el que la función de distribución es igual a una probabilidad requerida dada. En términos generales, un cuantil es el resultado de invertir una función de distribución, pero existen sutilezas con las funciones de distribución discontinuas.

Historia

El criterio $\chi^{2}$ fue propuesto por Karl Pearson en 1900 [1] . Su trabajo es considerado como la base de la estadística matemática moderna. Los predecesores de Pearson simplemente trazaron los resultados experimentales y afirmaron que eran correctos. En su artículo, Pearson dio algunos ejemplos interesantes del mal uso de las estadísticas. También demostró que algunas de las observaciones en la rueda de la ruleta (en la que experimentó durante dos semanas en Montecarlo en 1892) estaban tan alejadas de las frecuencias esperadas que las posibilidades de volver a obtenerlas, suponiendo que la rueda de la ruleta se arregla concienzudamente, son iguales a 1. de 10 29 .

Se puede encontrar una discusión general del criterio y una bibliografía extensa en el artículo de revisión de William J. Cochran [2] . $\chi^{2}$

Aplicaciones

La distribución de chi-cuadrado tiene numerosas aplicaciones en la inferencia estadística, como el uso de la prueba de chi-cuadrado y la estimación de varianzas. Se utiliza en el problema de estimar la media de una población distribuida normalmente y el problema de estimar la pendiente de una línea de regresión debido a su papel en la distribución t de Student . Se utiliza en el análisis de varianza .

Los siguientes son ejemplos de situaciones en las que surge una distribución de chi-cuadrado a partir de una muestra normal:

si son variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas , entonces , donde ${\ estilo de visualización X_{1},...,X_{n}}$ ${\ estilo de visualización N (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X)))^{2}\sim \sigma ^{2}\chi_{n-1}^ {2}$ ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$
La tabla muestra algunas estadísticas basadas en variables aleatorias independientes cuyas distribuciones están relacionadas con una distribución chi-cuadrado: $X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,...,k$

Nombre	Estadísticas
distribución chi-cuadrado	$\sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}}}\right)^{2}$
distribución de chi-cuadrado no central	$\sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma_{i}}}\right)^{2}$
distribución chi	${\sqrt {\sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu_{i)){\sigma_{i))}\right) ^{2}}}$
distribución de chi no central	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Tabla de valores de χ 2 y p

Para cualquier número p entre 0 y 1, se define un valor p : la probabilidad de obtener para un modelo probabilístico dado de la distribución de valores de una variable aleatoria el mismo o más valor extremo de las estadísticas (media aritmética, mediana, etc.), en comparación con la observada, siempre que la hipótesis nula sea cierta. En este caso, es la distribución . Dado que el valor de la función de distribución en un punto para los grados de libertad correspondientes da la probabilidad de obtener un valor estadístico menos extremo que este punto, el valor p se puede obtener restando el valor de la función de distribución de la unidad. Un valor p pequeño , por debajo del nivel de significancia seleccionado, significa significancia estadística . Esto será suficiente para rechazar la hipótesis nula. Para distinguir entre resultados significativos y no significativos, se suele utilizar un nivel de 0,05. $\chi^{2}$

La tabla da valores p para los valores correspondientes a los primeros diez grados de libertad. $\chi^{2}$

Grados de libertad ( gl )	Valor [3] $\chi^{2}$
una	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.63	10.83
2	0.10	0.21	0,45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.61	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.27
cuatro	0.71	1.06	1,65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
ocho	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
diez	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
valor p	0,95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001

Estos valores se pueden calcular en términos del cuantil (función de distribución inversa) de la distribución chi-cuadrado [4] . Por ejemplo, el cuantil para p = 0,05 y df = 7 da = 14,06714 ≈ 14,07 , como en la tabla anterior. Esto significa que para la observación experimental de siete variables aleatorias independientes , con la validez de la hipótesis nula “cada variable está descrita por una distribución estándar normal con mediana 0 y desviación estándar 1”, el valor se puede obtener solo en 5% de implementaciones. Normalmente, la obtención de un valor mayor puede considerarse razón suficiente para rechazar esta hipótesis nula. $\chi^{2}$ $\chi^{2}$ ${\ estilo de visualización x_{1},...,x_{7))$ $x_{1}^{2}+...+x_{7}^{2}>14{,}07$

La tabla da redondeo a centésimas; para obtener tablas más precisas con más grados de libertad, consulte, por ejemplo, aquí [5] .

Véase también

Prueba de bondad de ajuste de Pearson (criterio ) $\chi^{2}$

Notas

↑ Pearson K. Sobre el criterio de que un sistema dado de desviaciones de lo probable en el caso de un sistema correlacionado de variables es tal que se puede suponer razonablemente que surgió de un muestreo aleatorio // Philosophical Magazine, Series 5 - Vol. 50 , núm. 302 . - pág. 157-175 . -doi : 10.1080 / 14786440009463897 .
↑ Cochran WG La prueba de bondad de ajuste ${\ estilo de visualización \ chi ^ {2}}$ // Annals Math. estadística - 1952. - vol. 23 , núm. 3 . - Pág. 315-345 .
↑ Prueba de chi-cuadrado Archivado el 18 de noviembre de 2013 en Wayback Machine Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin en la Universidad Estatal de Pensilvania. Esta fuente cita a su vez: RA Fisher y F. Yates , Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, 6th ed., Table IV. Se han corregido dos valores, 7,82 por 7,81 y 4,60 por 4,61.
↑ Tutorial de R: Distribución chi-cuadrado . Fecha de acceso: 19 de noviembre de 2019. Archivado desde el original el 16 de febrero de 2021. (indefinido)
↑ StatSoft: Tablas de distribución - Distribución chi-cuadrado . Consultado el 29 de enero de 2020. Archivado desde el original el 26 de enero de 2020. (indefinido)

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula