Distribución de probabilidad

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Una distribución de probabilidad es una ley que describe el rango de valores de una variable aleatoria y las correspondientes probabilidades de ocurrencia de estos valores.

Definición

Supongamos que se da un espacio de probabilidad y se define en él una variable aleatoria . En particular, por definición, es un mapeo medible de un espacio medible en un espacio medible , donde denota el sigma-álgebra de Borel . Entonces la variable aleatoria induce una medida de probabilidad de la siguiente manera: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X:\Omega\to\mathbb {R}$ $X$ $(\Omega,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\matemáticas {R}$ $X$ $\mathbb{P} ^{X}$ $\matemáticas {R}$

\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1}(B)),\;\forall B\in {\mathcal {B))(\mathbb {R} ).

La medida se llama distribución de la variable aleatoria . En otras palabras, , establece así la probabilidad de que la variable aleatoria caiga en el conjunto . $\mathbb{P} ^{X}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\en B)$ $\mathbb{P} ^{X}(B)$ $X$ $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

Clasificación de distribuciones

La función se denomina función de distribución (acumulativa) de la variable aleatoria . El teorema se sigue de las propiedades de la probabilidad : $F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty,x])=\mathbb {P} (X\leqslant x)$ $X$

La función de distribución de cualquier variable aleatoria satisface las siguientes tres propiedades: $F_{X}(x)$

$F_{X}$ es una función no decreciente;
$\lim_{x\to -\infty}F_{X}(x)=0,\;\lim_{x\to \infty}F_{X}(x)=1$ ;
$F_{X}$ continua por la derecha.

Del hecho de que el sigma-álgebra de Borel sobre la recta real es generado por una familia de intervalos de la forma , se sigue el siguiente teorema : $\{(-\infty,x]\}_{x\in \mathbb {R} }$

Cualquier función que satisfaga las tres propiedades enumeradas anteriormente es una función de distribución para alguna distribución . $F(x)$ $\mathbb{P} ^{X}$

Para las distribuciones de probabilidad que tienen ciertas propiedades, existen formas más convenientes de especificarlas. Al mismo tiempo, las distribuciones (y las variables aleatorias) suelen clasificarse según la naturaleza de las funciones de distribución [1] .

Distribuciones discretas

Una variable aleatoria se llama simple o discreta si no toma más de un número contable de valores. Es decir , donde es una partición . $X$ $X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}$ $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty}$ $\Omega$

La distribución de una variable aleatoria simple está dada por definición por: . Al introducir la notación , puede definir la función . Debido a las propiedades de la probabilidad . Usando la aditividad contable , es fácil mostrar que esta función determina únicamente la distribución . $\mathbb {P} ^{X}(B)=\sum_{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})$ $p_{i}=\mathbb{P} (A_{i})$ $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty}p_{i}=1$ $\matemáticas {P}$ $X$

Un conjunto de probabilidades donde se denomina distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta . El conjunto de valores y probabilidades se denomina ley discreta de distribución de probabilidad [2] . $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty}p_{i}=1$ $X$ $a_{i},i=1,2...\infty$ $p_{i},i\in {1,2...\infty}$

Para ilustrar lo anterior, considere el siguiente ejemplo.

Deje que la función se defina de tal manera que y . Esta función define la distribución de una variable aleatoria , para lo cual (ver la distribución de Bernoulli , donde la variable aleatoria toma los valores ). La variable aleatoria es un modelo de un lanzamiento de moneda balanceado. $pags$ $p(-1)={\frac{1}{2}}$ $p(1)={\frac{1}{2}}$ $X$ $\mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2}}$ ${\ estilo de visualización 0.1}$ $X$

Otros ejemplos de variables aleatorias discretas son la distribución de Poisson , la distribución binomial , la distribución geométrica .

Una distribución discreta tiene las siguientes propiedades:

$p_{i}\geqslant 0$ ,
$\sum_{i=1}^{n}p_{i}=1$ , si el conjunto de valores es finito - de las propiedades de probabilidad,
La función de distribución tiene un conjunto finito o numerable de puntos de discontinuidad del primer tipo, $F_{X}(x)$
Si es un punto de continuidad , entonces existe . $x_{0}$ $F_{X}(x)$ ${\frac{dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0$

Distribuciones de celosía

Una distribución reticular es una distribución con una función de distribución discreta y los puntos de discontinuidad de la función de distribución forman un subconjunto de puntos de la forma , donde es real, , es un número entero [3] . ${\ estilo de visualización a+nh}$ $a$ $h>0$ $norte$

Teorema. Para que la función de distribución sea reticular con un escalón , es necesario y suficiente que su función característica satisfaga la relación [3] . $F$ $h$ $F$ $|f(2\pi /h)|=1$

Distribuciones absolutamente continuas

Se dice que la distribución de una variable aleatoria es absolutamente continua si existe una función no negativa tal que . La función se denomina entonces distribución de densidad de probabilidad de la variable aleatoria . La función de tales distribuciones es absolutamente continua en el sentido de Lebesgue. $X$ $f_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ $\mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits_{B}f_{X}(x)\,dx$ $f_{X}$ $X$

Ejemplos de distribuciones absolutamente continuas son la distribución normal , la distribución uniforme , la distribución exponencial , la distribución de Cauchy .

Ejemplo. Let , when , y en caso contrario. Entonces si . $f(x)=1$ $0\leqslant x\leqslant 1$ $f(x)=0$ $\mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=ba$ $(a,b)\subconjunto [0,1]$

Para cualquier densidad de distribución, las siguientes propiedades son verdaderas: $f_{X}$

${\ Displaystyle f_ {X} (x) \ geqslant 0}$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1$ .

Lo contrario también es cierto, si la función es tal que: $f:\mathbb {R} \a \mathbb {R}$

$f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R}$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ ,

entonces existe una distribución tal que es su densidad. $\mathbb{P} ^{X}$ $f(x)$

Aplicando la fórmula de Newton-Leibniz se obtienen las siguientes relaciones entre la función y la densidad de una distribución absolutamente continua:

$\mathbb {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$ .

Teorema. Si es una densidad de distribución continua y es su función de distribución, entonces $f(x)$ $F(x)$

$F'(x)=f(x),\;\para todo x\en \mathbb {R} ,$
$F(x)=\int \limits _{-\infty}^{x}f(t)\,dt$ .

Al construir una distribución basada en datos empíricos (experimentales), se deben evitar los errores de redondeo .

Distribuciones singulares

Además de las variables aleatorias discretas y continuas, existen variables que no son ni discretas ni continuas en ningún intervalo. Tales variables aleatorias incluyen, por ejemplo, aquellas cuyas funciones de distribución son continuas, pero aumentan solo en un conjunto de medidas de Lebesgue cero [4] .

Las distribuciones singulares son aquellas concentradas en un conjunto de medida cero (generalmente medidas de Lebesgue ).

Tabla de distribuciones básicas

Distribuciones discretas

Nombre	Designacion	Parámetro	Transportador	Densidad (secuencia de probabilidades)	Estera. expectativa	Dispersión	función característica
Uniforme discreto	${\text{R}}\{1,\puntos,N\}$	$N\en \mathbb {N}$	${\ estilo de visualización \ {1, \ puntos, N \}}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})={\frac {1}{N)),k\in \{1,\dots,N\))$	${\frac{N+1}{2}}$	${\frac{N^{2}-1}{12}}$	${\frac {e^{it}-e^{i(N+1)t}}{N(1-e^{it}})}}$
Bernoulli	${\text{Berna}}(p)$	${\ estilo de visualización p \ en (0,1)}$	${\ estilo de visualización \ {0,1\}}$	$\mathrm {P} (\{0\})=1-p,\mathrm {P} (\{1\})=p$	${\ estilo de visualización p}$	${\ estilo de visualización p (1-p)}$	$pe^{es}+1-p$
Binomio	${\text{Bin}}(n,p)$	${\ estilo de visualización n \ en \ mathbb {N}, p \ en (0,1)}$	${\ estilo de visualización \ {0, \ puntos, n \}}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{nk))$	${\ estilo de visualización np}$	${\ estilo de visualización np (1-p)}$	$(pe^{it}+1-p)^{n}$
veneno	${\text{Pois}}(\lambda)$	$\lambda>0$	${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {+)}$	$\mathrm {P} (\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!)}}e^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)))$
Geométrico	${\text{Geometría}}(p)$	$p\in (0,1]$	${\ estilo de visualización \ mathbb {N}}$	$\mathrm {P} (\{k\})=(1-p)^{k-1}p$	${\ fracción {1}{p}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1-p} {p ^ {2}}}}$	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}$

Distribuciones absolutamente continuas

Nombre	Designacion	Parámetro	Transportador	Densidad de probabilidad $f(x)$	Función de distribución F(x)	función característica	Valor esperado	Mediana	Moda	Dispersión	Coeficiente de asimetría	Coeficiente de curtosis	entropía diferencial	Función generadora de momentos
uniforme continuo	${\ estilo de visualización U (a, b)}$	${\ estilo de visualización a, b \ en \ mathbb {R}, a <b}$ , — factor de desplazamiento , — factor de escala $a$ $licenciado en Letras$	${\ estilo de visualización [a, b]}$	${\dfrac {1}{ba}}yo\{x\en [a,b]\}$	${\dfrac {xa}{ba}}yo\{x\en [a,b]\}+yo\{x>b\}$	${\dfrac {e^{itb}-e^{ita}}{it(ba)))$	${\frac{a+b}{2))$	${\ fracción {a+b}{2}}$	cualquier número del segmento $[a,b]$	${\frac{(ba)^{2}}{12}}$	${\ estilo de visualización 0}$	$-{\frac {6}{5}}$	${\ estilo de visualización \ ln (ba)}$	${\frac{e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
Normal (Gaussiano)	${\ estilo de visualización N (\ mu, \ sigma ^ {2})}$	${\ estilo de visualización \ mu \ en \ mathbb {R}}$ — factor de cambio , — factor de escala ${\ estilo de visualización \ sigma> 0}$	${\matemáticas R}$	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2)){2 \sigma^{2}}}}}$	${\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2))))\ bien bien)$	$e^{i\,\mu \,t-{\frac {\sigma^{2}t^{2}}{2}}}$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	$\sigma^{2}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$	${\displaystyle e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2))))$
logaritmo normal	${\ estilo de visualización LN (\ mu, \ sigma ^ {2})}$	$\mu \in \mathbb {R},\sigma >0$	${\ estilo de visualización (0; + \ infinito)}$	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x) -\mu }{\sigma }}\derecha)^{2}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {Erf}}\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\derecho]$	$\sum _{{n=0}}^{{\infty}}{\frac {(it)^{n}}{n!)}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^ {2}/2}}$	$e^{{\mu +\sigma^{2}/2}}$	$e^{{\ mu ))$	$e^{{\mu-\sigma^{2}}}$	$(e^{{\sigma^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2))}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2))}\!\!-1))$	$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\ !\!-6$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$	$e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.$
Distribución gamma	${\ estilo de visualización \ gamma (\ alfa, \ beta)}$	${\ estilo de visualización \ alfa > 0, \ beta > 0}$	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {+)}$	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{\beta }x^{\beta -1)){\Gamma (\beta )))e^{-\alpha x))$	${\frac {1}{\Gamma (\beta)}}\gamma (\beta,\alpha x)$	$\left(1-{\frac {it}{\alpha }}\right)^{-\beta }$	${\frac {\beta}{\alfa}}$		${\frac {\beta -1}{\alpha }}$ a ${\ estilo de visualización \ beta \ geq 1}$	${\ estilo de visualización {\ frac {\ beta }{\ alfa ^ {2}}}}$	${\ estilo de visualización {\ frac {2} {\ sqrt {\ beta}}}}$	${\frac {6}{\beta}}$	${\begin{alineado}\beta &-\ln \alpha +\ln \Gamma (\beta)\\&+(1-\beta)\psi (\beta)\end{alineado))$	$\left(1-{\frac {t}{\alpha }}\right)^{-\beta }$ a ${\ estilo de visualización t <\ alfa}$
Exponencial	${\text{Exp}}(\lambda)$	${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {+)}$	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}I\{x>0\))$	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x))$	${\frac {\lambda }{\lambda -it))$	${\ estilo de visualización {\ frac {1} {\ lambda}}}$	${\ estilo de visualización \ ln (2) / \ lambda}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización \ lambda ^ {-2}}$	$2$	$6$	${\ estilo de visualización 1-\ ln (\ lambda)}$	$\left(1-{\frac {t}{\lambda}}\right)^{-1}$
Laplace	${\text{Laplace}}(\alfa,\beta)$	$\alfa >0$ — factor de escala , — factor de desplazamiento $\beta\in\mathbb{R}$	${\matemáticas R}$	$\frac{\alfa}{2}\,e^{-\alfa\|x-\beta\|}$	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2} }e^{-\alpha (x-\beta)},&x>\beta \end{casos}}$	${\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}e^{it\beta }$	$\beta$	$\beta$	$\beta$	${\ estilo de visualización {\ frac {2} {\ alfa ^ {2}}}}$	${\ estilo de visualización 0}$	$3$	${\ estilo de visualización \ ln {\ frac {2e} {\ alfa}}}$	${\frac {e^{\beta t}}{1-\alpha ^{2}t^{2}}}{\text{ para }}\|t\|<1/\alpha$
cauchy	${\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )$	$x_{0}$ — factor de cambio , — factor de escala $\gamma > 0$	${\matemáticas R}$	${1 \sobre \pi }\left({\gamma \sobre \gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}\right)$	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$	$e^{i\,x_{0}\,t-\gamma\,\|t\|}$	No	$x_{0}$	$x_{0}$	$+\infty$	No	No	${\ estilo de visualización \ ln (4 \, \ pi \, \ gamma)}$	No
Distribución beta	${\text{Beta}}(\alfa,\beta)$	${\ estilo de visualización \ alfa > 0, \ beta > 0}$	${\ estilo de visualización [0,1]}$	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}({\text{B}}(\alpha ,\beta )))$	$I_{x}(\alfa,\beta)$	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$	$I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\ alfa +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}$ por ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta> 1}$	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ por $\alfa >1, \beta >1$	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alfa \beta (\alfa +\beta +2)(\alfa +\beta +3)))$		$1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\prod_{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\right){\frac{t^{k}}{k!)}}$
chi-cuadrado	${\ estilo de visualización \ chi ^ {2} (k)}$	$k>0$ es el numero de grados de libertad	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {+)}$	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$	${\ estilo de visualización (1-2 \, i \, t) ^ {-k/2))$	$k$	sobre ${\ Displaystyle k-2/3}$	${\ estilo de visualización k-2}$ si $k\geq 2$	${\ estilo de visualización 2 \, k}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {8/k))}$	${\ estilo de visualización 12/k}$	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\derecha)\psi \left({\frac {k}{2}}\derecha)$	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , si ${\ estilo de visualización 2 \, t <1}$
Alumno	${\text{t}}(n)$	$n>0$ es el numero de grados de libertad	${\matemáticas R}$	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}(1+{\frac{x^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\frac {\,_{2}F_{1 }\left({\frac {1}{2)),{\frac {n+1}{2));{\frac {3}{2));-{\frac {x^{2)) {n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})))}}$	${\displaystyle {\frac {K_{n/2}\left({\sqrt {n}}\|t\|\right)\cdot \left({\sqrt {n}}\|t\|\right)^{n /2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1))))$ por $n>0$	${\ estilo de visualización 0}$ , si $n>1$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{n}{n-2))$ , si $n>2$	${\ estilo de visualización 0}$ , si $n>3$	${\ estilo de visualización {\ fracción {6} {n-4}}}$ , si $n>4$	${\begin{matriz}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2} })\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\ derecha]}\end{matriz}}$	No
Pescador	$F(d_{1},d_{2})$	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ - número de grados de libertad	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {+)}$	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1 }\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2))))}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2 )),{\frac{d_{2}}{2}}\right)}}$	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$	${\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}}))) } U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{ 1 }}}\imath s\derecha)$	${\frac{d_{2}}{d_{2}-2}}$ , si $d_{2}>2$		${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ , si $d_{1}>2$	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2 }(d_{2}-4)}},$ si $d_{2}>4$	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_ {1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ si $d_{2}>6$	$12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2) ^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right) -\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left (1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2} }\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$
Rayleigh	${\ estilo de visualización \ matemáticas {Rayleigh} (\ sigma)}$	${\ estilo de visualización \ sigma}$	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {+)}$	${\frac {x}{{\sigma }^{2}}}e^{-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}} }$	$1-e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma^{2}}}$	$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\!\left( {\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!-\!i\right)$	${\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\sigma$	${\ estilo de visualización \ sigma {\ sqrt {\ ln (4)))}$	$\sigma$	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma}^{{2}}}$	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{3/2))))$	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{{\sqrt {2))))\right)+{\frac {\gamma }{2))$	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2))}\left({\textrm {erf }}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
Weibulla	${\ estilo de visualización \ mathrm {W} (k, \ lambda)}$	${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$ - factor de escala , - factor de forma $k>0$	${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {+)}$	${\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x} {\lambda))\derecha)^{k))$	$1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$	$\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)$	${\ estilo de visualización \ lambda \ ln (2) ^ {1/k))$	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ por $k>1$	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k))\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+) {\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-3\ mu^{4}}{\sigma^{4}}}$	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\right)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\ k \ geq 1$
Logístico	${\ estilo de visualización L (\ mu, s)}$	$\mu$ , ${\ estilo de visualización s> 0}$	${\matemáticas R}$	${\frac {e^{-(x-\mu)/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s))))$	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ por $\|ista\|<1$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	${\frac {\pi^{2}}{3}}s^{2}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 6/5}$	${\ estilo de visualización \ ln (s) + 2}$	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ por ${\ estilo de visualización \| s \, t \| <1}$
Wigner	${\ estilo de visualización \ rho (R)}$	$R>0$ - radio	${\ estilo de visualización [-R;+R]}$	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\ fracción {\arcsen \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}$ por $-R\leq x\leq R$	$2\,{\frac{J_{1}(R\,t)}{R\,t))$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac {R^{2}}{4}}$	${\ estilo de visualización 0}$	$-una$	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2))$	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t))$
Pareto	${\text{Pareto))(k,x_{\text{m)))$	$x_{\text{m}}>0$ es el factor de escala , $k>0$	$[x_{\text{m));+\infty)$	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$	${\displaystyle k{\grande (}\Gamma (-k){\grande [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\grande ]}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\grande )))$	${\frac{kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , si $k>1$	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$	$x_{\text{m))$	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ a $k>2$	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ a ${\ Displaystyle k> 3}$	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ a ${\ Displaystyle k> 4}$	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$	No

donde es la función gamma , es la función gamma incompleta , es la función digamma , es la función beta , es la función beta incompleta regularizada , es la función hipergeométrica , es la función de Bessel , es la función de Bessel modificada del primer tipo es la función de Bessel modificada del género de segundo tipo , es la función Tricomi . $\Gama$ $\gama$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$ $B$ ${\ Displaystyle I_ {x}}$ ${\ estilo de visualización _ {1} F_ {1}}$ ${\ estilo de visualización _ {2} F_ {1}}$ $J_{\alfa}$ ${\ Displaystyle yo_ {\ nu}}$ ${\ Displaystyle K_ {\ nu}}$ ${\ estilo de visualización U (a, b, z)}$

Distribuciones multivariadas

Nombre	Designacion	Parámetro	Transportador	Densidad (secuencia de probabilidades)	Estera. expectativa	Dispersión	función característica
gaussiano	${\ estilo de visualización N (a, \ Sigma)}$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n))$ - sim. y neón. definitivamente	$\mathbb{R} ^{n}$	$p(x)={\dfrac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}e^{-{\frac {1}{2}}(xa )^{T}\Sigma^{-1}(xa)}$	$a$	$\Sigma$	$e^{ia^{T}t-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}$

Notas

↑ Matalytsky, Khatskevich. Teoría de la Probabilidad, Estadística Matemática y Procesos Estocásticos, 2012. - P.69
↑ Matalytsky, Khatskevich. Teoría de la probabilidad, estadística matemática y procesos aleatorios, 2012. - P.68
↑ 1 2 Ramachandran, 1975 , pág. 38.
↑ Matalytsky, Khatskevich. Teoría de la Probabilidad, Estadística Matemática y Procesos Estocásticos, 2012. — P.76

Literatura

Distribución de probabilidad // Gran enciclopedia rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.
Lagutín M.B. Estadísticas matemáticas visuales. - M. : Binom, 2009. - 472 p.
Zhukovsky M. E. , Rodionov I. V. Fundamentos de la teoría de la probabilidad. - M. : MIPT, 2015. - 82 p.
Zhukovsky M. E. , Rodionov I. V. , Shabanov D. A. Introducción a la estadística matemática. - M. : MIPT, 2017. - 109 p.
Ramachandran B. Teoría de las funciones características. - M. : Nauka, 1975. - 224 p.
Korolyuk vs. , Portenko N. I. , Skorokhod A.V. , Turbina A.F. Manual de Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.
Gubarev V. V. Modelos probabilísticos: un manual en 2 partes. - Novosibirsk.: Novosibirsk. Ingenieria Eléctrica en-t, 1992. - 422 p.

Véase también

distribución marginal

diccionarios y enciclopedias

gran noruego

En catálogos bibliográficos
BNF : 119780901 TIERRA : 4121894-2 J9U : 987007557953805171 LCCN : sh85038545 NDL : 00564751 NKC : ph125263

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula