Distribución de probabilidad

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Una distribución de probabilidad  es una ley que describe el rango de valores de una variable aleatoria y las correspondientes probabilidades de ocurrencia de estos valores.

Definición

Supongamos que se da un espacio de probabilidad y se define en él una variable aleatoria . En particular, por definición, es un mapeo medible de un espacio medible en un espacio medible , donde denota el sigma-álgebra de Borel . Entonces la variable aleatoria induce una medida de probabilidad de la siguiente manera:

La medida se llama distribución de la variable aleatoria . En otras palabras, , establece así la probabilidad de que la variable aleatoria caiga en el conjunto .

Clasificación de distribuciones

La función se denomina función de distribución (acumulativa) de la variable aleatoria . El teorema se sigue de las propiedades de la probabilidad :

La función de distribución de cualquier variable aleatoria satisface las siguientes tres propiedades:

  1.  es una función no decreciente;
  2. ;
  3. continua por la derecha.

Del hecho de que el sigma-álgebra de Borel sobre la recta real es generado por una familia de intervalos de la forma , se sigue el siguiente teorema :

Cualquier función que satisfaga las tres propiedades enumeradas anteriormente es una función de distribución para alguna distribución .

Para las distribuciones de probabilidad que tienen ciertas propiedades, existen formas más convenientes de especificarlas. Al mismo tiempo, las distribuciones (y las variables aleatorias) suelen clasificarse según la naturaleza de las funciones de distribución [1] .

Distribuciones discretas

Una variable aleatoria se llama simple o discreta si no toma más de un número contable de valores. Es decir , donde  es una partición .

La distribución de una variable aleatoria simple está dada por definición por: . Al introducir la notación , puede definir la función . Debido a las propiedades de la probabilidad . Usando la aditividad contable , es fácil mostrar que esta función determina únicamente la distribución .

Un conjunto de probabilidades donde se denomina distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta . El conjunto de valores y probabilidades se denomina ley discreta de distribución de probabilidad [2] .

Para ilustrar lo anterior, considere el siguiente ejemplo.

Deje que la función se defina de tal manera que y . Esta función define la distribución de una variable aleatoria , para lo cual (ver la distribución de Bernoulli , donde la variable aleatoria toma los valores ). La variable aleatoria es un modelo de un lanzamiento de moneda balanceado.

Otros ejemplos de variables aleatorias discretas son la distribución de Poisson , la distribución binomial , la distribución geométrica .

Una distribución discreta tiene las siguientes propiedades:

  1. ,
  2. , si el conjunto de valores es finito - de las propiedades de probabilidad,
  3. La función de distribución tiene un conjunto finito o numerable de puntos de discontinuidad del primer tipo,
  4. Si es un punto de continuidad , entonces existe .

Distribuciones de celosía

Una distribución reticular es una distribución con una función de distribución discreta y los puntos de discontinuidad de la función de distribución forman un subconjunto de puntos de la forma , donde es real, , es un número entero [3] .

Teorema. Para que la función de distribución sea reticular con un escalón , es necesario y suficiente que su función característica satisfaga la relación [3] .

Distribuciones absolutamente continuas

Se dice que la distribución de una variable aleatoria es absolutamente continua si existe una función no negativa tal que . La función se denomina entonces distribución de densidad de probabilidad de la variable aleatoria . La función de tales distribuciones es absolutamente continua en el sentido de Lebesgue.

Ejemplos de distribuciones absolutamente continuas son la distribución normal , la distribución uniforme , la distribución exponencial , la distribución de Cauchy .

Ejemplo. Let , when , y en caso contrario. Entonces si .

Para cualquier densidad de distribución, las siguientes propiedades son verdaderas:

  1. ;
  2. .

Lo contrario también es cierto, si la función es tal que:

  1. ;
  2. ,

entonces existe una distribución tal que es su densidad.

Aplicando la fórmula de Newton-Leibniz se obtienen las siguientes relaciones entre la función y la densidad de una distribución absolutamente continua:

.

Teorema. Si  es una densidad de distribución continua y  es su función de distribución, entonces

  1. .

Al construir una distribución basada en datos empíricos (experimentales), se deben evitar los errores de redondeo .

Distribuciones singulares

Además de las variables aleatorias discretas y continuas, existen variables que no son ni discretas ni continuas en ningún intervalo. Tales variables aleatorias incluyen, por ejemplo, aquellas cuyas funciones de distribución son continuas, pero aumentan solo en un conjunto de medidas de Lebesgue cero [4] .

Las distribuciones singulares son aquellas concentradas en un conjunto de medida cero (generalmente medidas de Lebesgue ).

Tabla de distribuciones básicas

Distribuciones discretas
Nombre Designacion Parámetro Transportador Densidad (secuencia de probabilidades) Estera. expectativa Dispersión función característica
Uniforme discreto
Bernoulli
Binomio
veneno
Geométrico
Distribuciones absolutamente continuas
Nombre Designacion Parámetro Transportador Densidad de probabilidad Función de distribución F(x) función característica Valor esperado Mediana Moda Dispersión Coeficiente de asimetría Coeficiente de curtosis entropía diferencial Función generadora de momentos
uniforme continuo , — factor de desplazamiento , — factor de escala cualquier número del segmento
Normal (Gaussiano) — factor de cambio , — factor de escala
logaritmo normal
Distribución gamma a a
Exponencial
Laplace — factor de escala , — factor de desplazamiento
cauchy — factor de cambio , — factor de escala No No No No
Distribución beta por por
chi-cuadrado es el numero de grados de libertad sobre si , si
Alumno es el numero de grados de libertad por , si , si , si , si No
Pescador - número de grados de libertad , si , si si
si


Rayleigh
Weibulla - factor de escala , - factor de forma por
Logístico , por
por
Wigner - radio por
Pareto es el factor de escala , , si a a a No

donde es la función gamma , es la función gamma incompleta , es la función digamma , es la función beta , es la función beta incompleta regularizada , es la función hipergeométrica , es la función de Bessel , es la función de Bessel modificada del primer tipo es la función de Bessel modificada del género de segundo tipo , es la función Tricomi .


Distribuciones multivariadas
Nombre Designacion Parámetro Transportador Densidad (secuencia de probabilidades) Estera. expectativa Dispersión función característica
gaussiano - sim. y neón. definitivamente

Notas

  1. Matalytsky, Khatskevich. Teoría de la Probabilidad, Estadística Matemática y Procesos Estocásticos, 2012. - P.69
  2. Matalytsky, Khatskevich. Teoría de la probabilidad, estadística matemática y procesos aleatorios, 2012. - P.68
  3. 1 2 Ramachandran, 1975 , pág. 38.
  4. Matalytsky, Khatskevich. Teoría de la Probabilidad, Estadística Matemática y Procesos Estocásticos, 2012. — P.76

Literatura

Véase también