Cuerda (geometría)

Cuerda (del griego χορδή - cuerda) en planimetría - un segmento que conecta dos puntos de una curva dada (por ejemplo, un círculo , elipse , parábola , hipérbola ).

La cuerda está en una línea secante , una línea recta que se cruza con la curva en dos o más puntos. La figura plana encerrada entre una curva y su cuerda se llama segmento , y la parte de la curva situada entre los dos extremos de la cuerda se llama arco . En el caso de curvas cerradas (por ejemplo , círculo , elipse ), la cuerda forma un par de arcos con los mismos puntos extremos en lados opuestos de la cuerda. La cuerda que pasa por el centro del círculo es su diámetro . El diámetro es la cuerda más larga de un círculo.

Propiedades de las cuerdas de una circunferencia

Cuerda y distancia al centro del círculo

Si las distancias desde el centro del círculo hasta las cuerdas son iguales, entonces estas cuerdas son iguales.
Si las cuerdas son iguales, entonces las distancias desde el centro del círculo hasta estas cuerdas son iguales.
Si la cuerda es más grande, entonces la distancia desde el centro del círculo a esta cuerda es más pequeña. Si la cuerda es más pequeña, entonces la distancia desde el centro del círculo a esta cuerda es mayor.
Si la distancia desde el centro del círculo hasta la cuerda es menor, entonces esta cuerda es mayor. Si la distancia desde el centro del círculo hasta la cuerda es mayor, entonces esta cuerda es más pequeña.
La cuerda más grande posible es el diámetro.
La cuerda más pequeña posible es un punto.
Si una cuerda pasa por el centro de un círculo, entonces esa cuerda es el diámetro.
Si la distancia desde el centro del círculo hasta una cuerda es igual al radio, entonces esa cuerda es un punto.
La mediatriz de la cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Cuerda y diámetro

Si un diámetro biseca una cuerda que no es de diámetro, entonces ese diámetro es perpendicular a esa cuerda.
Si un diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces ese diámetro biseca esa cuerda.
Si un diámetro biseca una cuerda que no es un diámetro, entonces ese diámetro biseca los arcos restados por esa cuerda.
Si un diámetro biseca un arco, entonces este diámetro biseca la cuerda que subtiende este arco.
Si el diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces este diámetro biseca los arcos subtendidos por esta cuerda.

Cuerda y radio

Si un radio biseca una cuerda que no es un diámetro, entonces ese radio es perpendicular a esa cuerda.
Si un radio es perpendicular a una cuerda, entonces ese radio biseca esa cuerda.
Si un radio biseca una cuerda que no es un diámetro, entonces ese radio biseca el arco subtendido por esa cuerda.
Si un radio biseca un arco, entonces este radio biseca la cuerda que subtiende este arco.
Si el radio es perpendicular a una cuerda, entonces este radio biseca el arco subtendido por esta cuerda.
Si un radio biseca un arco, entonces este radio es perpendicular a la cuerda que subtiende este arco.

Cuerda y ángulo inscrito

Si los ángulos inscritos se basan en la misma cuerda y los vértices de estos ángulos se encuentran en el mismo lado de esta cuerda, entonces estos ángulos son iguales.
Si un par de ángulos inscritos descansan sobre la misma cuerda y los vértices de estos ángulos se encuentran en lados opuestos de esta cuerda, entonces la suma de estos ángulos es 180°.
Si los ángulos inscrito y central se encuentran en la misma cuerda y los vértices de estos ángulos se encuentran en el mismo lado de esta cuerda, entonces el ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central.
Si un ángulo inscrito corta un diámetro, entonces ese ángulo es un ángulo recto.

Cuerda y ángulo central

Si las cuerdas subtienden ángulos centrales iguales , entonces estas cuerdas son iguales.
Si las cuerdas son iguales, entonces estas cuerdas subtienden ángulos centrales iguales.
Una cuerda grande resta un ángulo central más grande, una cuerda más pequeña resta un ángulo central más pequeño.
A un ángulo central más grande se le resta una cuerda más grande, a un ángulo central más pequeño se le resta una cuerda más pequeña.

Cuerda y arco

Si las cuerdas subtienden arcos iguales, entonces estas cuerdas son iguales.
Si las cuerdas son iguales, entonces estas cuerdas subtienden arcos iguales.
De los arcos más pequeños que el semicírculo, el arco más grande se resta por la cuerda más grande, el arco más pequeño se resta por la cuerda más pequeña.
De los arcos más pequeños que el semicírculo, la cuerda más grande resta el arco más grande, la cuerda más pequeña resta el arco más pequeño.
De los arcos más grandes que el semicírculo, el arco más pequeño se resta por la cuerda más grande, el arco más grande se resta por la cuerda más pequeña.
De arcos más grandes que un semicírculo, una cuerda más grande subtiende un arco más pequeño, una cuerda más pequeña resta un arco más grande.
La cuerda que subtiende el semicírculo es el diámetro.
Si las cuerdas son paralelas, entonces los arcos encerrados entre estas cuerdas (que no deben confundirse con los arcos sustraídos por las cuerdas) son iguales.

Otras propiedades

Cuando dos cuerdas AB y CD se cortan en el punto E, se obtienen segmentos cuyo producto de longitud para una cuerda es igual al producto correspondiente para la otra (ver Fig. 1 ) : $AE\cdot EB=CE\cdot ED$
Si una cuerda se divide por la mitad por cualquier punto, entonces su longitud es la más pequeña en comparación con las longitudes de las cuerdas trazadas a través de este punto.

Propiedades de las cuerdas de una elipse

Fórmulas básicas

La longitud de la cuerda es , donde es el radio del círculo, es el ángulo central basado en la cuerda dada ( Fig. 2 ). $l=2r\sin {\frac {\alpha }{2}}$ $r$ $\alfa$
La fórmula directamente derivada del teorema de Pitágoras ( Fig. 3 ): donde es la longitud de la cuerda, es el radio del círculo, es la distancia desde el centro del círculo hasta la cuerda. $\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+d^{2}=r^{2}$ $yo$ $r$ $d$
Si se conocen las cuatro longitudes de los segmentos de dos cuerdas que se cruzan, por ejemplo (ver Fig. 1), entonces el radio del círculo se determina mediante la fórmula: ${\overline {a}}=AE\,;\,{\overline {A}}=EB\,;\,{\overline {b}}=CE\,;\,{\overline {B }}=ED$