4 vectores

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Un 4-vector ( four-vector , four -vector ) es un vector en el espacio de Minkowski de cuatro dimensiones y, en un caso más general, un vector en un espacio-tiempo curvo de cuatro dimensiones. Los componentes de cualquier vector de 4 que describe un sistema físico, al mover o rotar el sistema de referencia , así como al moverse de un sistema de referencia a otro, se transforman de acuerdo con la misma ley especificada por la transformación del sistema de referencia. El 4-vector tiene un componente temporal y tres espaciales. Los componentes espaciales constituyen el vector tridimensional espacial habitual, cuyas componentes pueden expresarse en coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas y cualquier otra espacial.

En notación moderna, el componente de tiempo generalmente corresponde al índice 0 (es decir, se considera el componente cero), el componente espacial - 1, 2, 3 (que coincide con x, y, z ; generalmente, por defecto, y si posible, estas son coordenadas cartesianas rectangulares ordinarias ). En la literatura antigua, a menudo se usa una convención (que se remonta a Minkowski ) , según la cual el componente de tiempo no se consideraba cero, sino el cuarto.
A veces es conveniente atribuir un carácter puramente imaginario a la componente temporal de un cuadrivector (siempre multiplicar la componente temporal real por la unidad imaginaria ). Esta representación de 4 vectores fue históricamente la primera que se introdujo y, a veces, también se usa en la literatura moderna.
Los 4-vectores (su representación componente) se pueden escribir en formas contravariantes y (o) covariantes (ver más abajo), que no siempre coinciden, y en el caso de una representación real (sin una unidad imaginaria) siempre difieren entre sí , aunque en la mayoría de los casos esta distinción está sujeta a una regla muy simple.

Ejemplos de 4-vectores

Aquí y más abajo se utiliza la firma . $(+,~-,~-,~-)$

4-movimiento: $dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),$
4 velocidades: $u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {dx^{i}}{d\tau }} ,$ donde es el “ tiempo propio ”, igual al intervalo , dividido por la velocidad de la luz , medido a lo largo de la línea del mundo . Geométricamente, la 4-velocidad es el vector unitario tangente a la línea universal de la partícula. $\tau$ $\tau ={\frac {1}{c}}\int {ds}$
4-aceleración : $a^{i}={\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {du^{i}}{d\tau }} ,$ donde - ver arriba. Geométricamente, la aceleración 4 es el vector de curvatura de la línea de mundo de la partícula. $\tau$
Vector de 4-energía-momento ( cuatro-momento ): $p^{i}=\left({\frac {\varepsilon}{c)),~p_{x},~p_{y},~p_{z}\right)$ . Para una partícula con masa distinta de cero en ausencia de campos externos . $p^{i}=c\,mu^{i}$
Densidad de corriente de cuatro dimensiones ( 4 corrientes ): $j^{i}=(c\rho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});$
onda 4-vector: $k_{i}=\left({\frac {\omega }{c)),-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right);$
Potencial electromagnético : $A_{i}=(\varphi ,~{-A}_{x},~{-A}_{y},~{-A}_{z}).$

Propiedades

Ley de transformación de cuatro vectores:

{\tilde {A}}^{i}=\sum_{j}S_{j}^{i}\ A^{j},

donde - una matriz del grupo de Lorentz - una matriz de transición a nuevas coordenadas (a un nuevo marco de referencia). $S_{j}^{yo}$

Los productos de punto (en particular, cuadrados) de 4 vectores se calculan utilizando la métrica de Lorentz (ver también a continuación).
- Son invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Se llaman escalares (en el sentido de cuatro dimensiones - espacio-tiempo).
- Por ejemplo, este es un intervalo (el cuadrado del intervalo es el cuadrado del vector de desplazamiento en la métrica de Lorentz), la masa (masa en reposo) - su cuadrado es, hasta un factor constante, el cuadrado del 4-momentum : etc $m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}$

Notación

Tradicionalmente, un vector de 4 se denota como un conjunto de sus componentes. Por lo tanto, un vector de 4 se denota como (¡no confunda esta notación con exponenciación!) o $a$ $un^{i}$ $ai}.$

Las coordenadas, 3 espaciales y temporales, generalmente se denotan como $x^{yo}.$

Se especifica específicamente qué significa el uso del índice superior ( ) o inferior ( ) en este caso, pero por defecto, si se usan ambas opciones (o al menos la primera), es decir, si se usan superíndices, el coordenadas contravariantes 4- vector, y las inferiores son las coordenadas covariantes . Por lo tanto, en este caso, el mismo vector puede tener dos representaciones diferentes : contravariante y covariante . $un^{i}$ $ai}$

En el caso del espacio plano y los marcos de referencia inerciales , como en la electrodinámica , la relatividad especial y, en general, en los casos en que se puede despreciar la gravedad, las representaciones covariante y contravariante difieren solo en el signo del tiempo (o viceversa, dependiendo de la firma convencionalmente aceptada - componentes espaciales). En este caso, el producto escalar se puede representar como una simple suma de los productos de los componentes correspondientes solo para el producto de un vector covariante con uno contravariante, por ejemplo:

(a,b)=a^{i}b_{i}\equiv\sum_{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{ 2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}

y en particular

(a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}\equiv \sum_{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1} +a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{ 2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}

(Aquí y más abajo, se usa la regla de suma sobre el índice de Einstein repetido , y el cuadrado se denota como (…)²).

Si quieren escribir un producto escalar usando solo componentes covariantes o solo contravariantes, generalmente usan la notación con la métrica de Lorentz (o ): $\eta _{{ij}}$ $\eta ^{{ij}}$

(a,b)=\eta _{{ij}}a^{i}b^{j}\equiv \sum_{{i,j}}\eta_{{ij}}a^{i}b ^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}

(a,b)=\eta ^{{ij}}a_{i}b_{j}\equiv \sum_{{i,j}}\eta ^{{ij}}a_{i}b_{i} =a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}

(ambos métodos son equivalentes entre sí y al método descrito anteriormente con ambos tipos de coordenadas).

Sin embargo, en un caso más general de sistemas de referencia no lorentzianos, incluso cuando se tiene en cuenta la gravedad de acuerdo con la relatividad general , en lugar de una métrica lorentziana muy simple y constante , se debe considerar una métrica arbitraria , incluida una que depende de coordenadas espaciales y tiempo (En todas las fórmulas escritas en este párrafo anterior, en el caso general es necesario reemplazar por , y por ). Al mismo tiempo, deja de aplicarse la regla simple de que las representaciones covariante y contravariante de un vector de 4 difieren solo en el signo de los componentes espaciales, comienzan a expresarse entre sí utilizando también una métrica general (ver Tensor métrico # Isomorfismo entre espacio tangente y cotangente ): $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}.$ $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}$ $\eta ^{{ij}}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

a^{i}=g^{{ij}}a_{j}\equiv \sum_{j}g^{{ij}}a_{j},

a_{i}=g_{{ij}}a^{j}\equiv \sum _{j}g_{{ij}}a^{j}.

(Como vemos, estas fórmulas también eran ciertas para pero en ese caso se reducían a una simple regla para cambiar el signo de algunos componentes, pero aquí, en el caso general, ya no se reducen). $\eta_{{ij}},$

Tenga en cuenta también que en un espacio-tiempo con curvatura (que ya se considera correctamente solo una variedad y no un espacio vectorial), el conjunto de coordenadas ya no es un vector. Sin embargo, los cambios infinitesimales en las coordenadas representan un vector (el vector del espacio tangente a la variedad en el punto ). $x^yo$ $dx^{i}$ $x^yo$

Y finalmente, en el caso de la métrica lorentziana considerada anteriormente, se suelen utilizar únicamente subíndices , ya que las componentes covariante y contravariante difieren únicamente en el signo, pudiendo limitarse a mencionar sólo una de ellas (normalmente las contravariantes, aunque utilizando un subíndice ). Este método para este caso es relativamente conveniente, ya que la ausencia de superíndices es algo más familiar para los no especialistas y, además, no puede crear confusión con la notación de exponenciación. Sin embargo, también tiene inconvenientes, ya que, por ejemplo, el vector de 4 gradientes, escrito en forma contravariante, inesperadamente tiene un signo menos para los componentes espaciales: dado que el diferencial total debe ser invariable, y en la fórmula del producto escalar, si ambos vectores están representados en la misma forma contravariante, entra, como sabemos, un cambio de signo debido a $(\parcial _ {0},-\parcial _ {1},-\parcial _ {2},-\parcial _ {3}),$ $df=\parcial_{0}fdx^{0}+\parcial_{1}fdx^{1}+\parcial_{2}fdx^{2}+\parcial_{3}fdx^{3}$ $\eta _{{ij}}.$

Curiosamente, el método que usa solo subíndices y un componente de tiempo imaginario no tiene estas desventajas (principalmente en el área de aplicabilidad limitada al caso de espacio plano, pero no solo). El hecho es que al utilizar este método, los signos necesarios se obtienen automáticamente (atención: teniendo en cuenta la firma ; sin embargo, la elección de la firma sigue siendo una cuestión de acuerdo). Es decir, no necesita pensar en signos en absoluto, no necesita usar explícitamente la matriz del tensor métrico, incluso eso es, la métrica está representada formalmente por una sola matriz ("formalmente euclidiana", que , por supuesto, no cambia su carácter pseudo-euclidiano real, sino que simplifica la escritura), y la representación de los 4 vectores de manera simple y uniforme: $\eta_{{ij}},$

4-movimiento $dx_{\mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),$
4 impulsos $p_{\mu }=(es decir/c,p_{x},p_{y},p_{z}),$
densidad de corriente de cuatro dimensiones $j_{\mu }=(ic\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}),$
onda 4-vector $k_{\mu }=(i\omega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),$
potencial electromagnético $A_{\mu }=(i\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}),$

y así sucesivamente, donde i es la unidad imaginaria .

4-vector en matemáticas

Un punto en el espacio de Minkowski se llama evento y viene dado por cuatro coordenadas:

{\mathbf {x}}:=\izquierda(ct,x,y,z\derecha),

donde es la velocidad de la luz , es el tiempo del evento, y son sus coordenadas espaciales. Tal vector de 4 se llama vector de 4 radios. $C$ $t$ $x, y, z$

Muchos otros 4-vectores se pueden construir a partir de él y más lejos unos de otros sumando, restando, multiplicando o dividiendo por un escalar, así como diferenciando con respecto a un escalar, etc. Así, a partir de un vector de 4 radios, por diferenciación con respecto al tiempo propio , se obtiene una velocidad 4, etc.

Los productos escalares de 4 vectores son cantidades invariantes de Lorentz (invariantes del grupo de Lorentz), escalares del espacio de Minkowski.

Historia

Los 4 vectores fueron considerados por primera vez por Poincaré ( 1905 ) y luego por Minkowski . Consideraron que el componente de tiempo del 4-vector era puramente imaginario, lo que generó automáticamente la regla necesaria para calcular el producto escalar en la suma habitual de los productos de los componentes. El término "4-vectores" fue propuesto por Arnold Sommerfeld en 1910 .

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. § 2. Intervalo. § 3. Tiempo propio. § 6. Vectores tetradimensionales. § 7. Velocidad en cuatro dimensiones. // Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Conferencias sobre física. Tomo 6: Electrodinámica. Traducción del inglés (Vol. 3). — Editorial URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . - cap. 25. "Electrodinámica en notación relativista". (Esta es una introducción simple para estudiantes universitarios; para evitar confusiones, tenga en cuenta que en este libro solo se usan subíndices, pero se refieren a los componentes contravariantes de los 4 vectores).