Colector G2

$G_{2}$ -variedad es una variedad riemanniana de siete dimensiones con un grupo de holonomía o su subgrupo. Son importantes en la teoría de cuerdas , en particular en la teoría M. $G_{2}$

$G_{2}$ -Las variedades tienen curvatura de Ricci cero , son orientables y tienen una estructura de espinor.

Geometría

La geometría de las variedades está estrechamente relacionada con el producto vectorial de siete dimensiones : es decir, estas son variedades riemannianas de siete dimensiones, en cada espacio tangente al que hay un producto vectorial, y como un campo tensorial se conserva por el Levi- Conexión Civita (por lo tanto, el espacio euclidiano de siete dimensiones con un producto vectorial es el ejemplo más simple : variedades). Esta condición significa que la holonomía de tal métrica se encuentra en el grupo : las traslaciones paralelas conservan el producto vectorial, y el grupo de automorfismos de tal producto es exactamente . Por otro lado, si hay una métrica con tal holonomía, entonces la teoría de representación de grupos ayuda a ver que hay un subhaz unidimensional paralelo distinguido en el espacio de tensores de tipo simétrico sesgado. Su sección de longitud constante es el campo de los productos vectoriales de siete dimensiones. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $(2.1)$

Al omitir los índices con respecto a la métrica, del producto vectorial, se puede obtener una forma de 3, generalmente denotada o . Dado que es paralelo bajo una conexión sin torsión (es decir, la conexión Levi-Civita), está cerrado. Su forma dual de 4 Hodge también es paralela y cerrada, por lo que también es armónica. Una forma tridimensional general en un espacio de siete dimensiones tiene un estabilizador , por lo que las variedades pueden definirse en términos de una forma tridimensional cerrada degenerada en ninguna parte. Esto los acerca a las variedades simplécticas (variedades con una forma bidimensional cerrada degenerada en ninguna parte), pero es importante comprender que una forma tridimensional en un espacio de siete dimensiones define una métrica, y una forma bidimensional nunca define una métrica. $\fi$ $\rho$ $G_{2}$ $G_{2}$

Sin embargo, una noción importante de la geometría simpléctica, el concepto de una subvariedad lagrangiana , es decir, una subvariedad de media dimensión tal que la forma 2 está restringida a ella por el cero idéntico, se traslada en parte a la variedad. Es decir, una subvariedad tridimensional se llama asociativa si la forma de 4 se desvanece cuando se sustituyen en ella tres campos tangentes cualesquiera a esta subvariedad (o, lo que es lo mismo, la forma de 3 está restringida a ella como una forma de un tres ). -volumen riemanniano dimensional). Una subvariedad tetradimensional se llama coasociativa si la forma tridimensional está restringida a ella por el cero idéntico (de manera equivalente, la forma tetradimensional está restringida a ella como una forma de un volumen riemanniano tetradimensional). Estos nombres se explican por sus definiciones alternativas a través del producto vectorial: un subespacio asociativo es un subespacio tridimensional cerrado bajo el producto vectorial (o, si tenemos en cuenta que el producto vectorial de siete dimensiones se obtiene de la multiplicación de octavas , como cuaterniones imaginarios en octavas imaginarias para algunas incrustaciones de álgebras ). Los subespacios coasociativos son exactamente los complementos ortogonales de los asociativos, o subespacios en los que el producto vectorial de dos vectores cualquiera es perpendicular a este subespacio. $G_{2}$ ${\ estilo de visualización \ estrella \ rho}$ $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\mathbb{R} ^{7}$ $\mathbb {H} \hookrightarrow \mathbb {O}$

Otra analogía, más común entre los físicos, compara las variedades asociativas con las curvas complejas en las 3 variedades de Calabi-Yau y las variedades coasociativas con las subvariedades lagrangianas especiales. De hecho, el producto cartesiano de una variedad tridimensional de Calabi-Yau con una métrica plana de Ricci en un círculo es una variedad de siete dimensiones con holonomía . Además, los productos de las curvas complejas que se encuentran en esta variedad y el círculo son asociativos, y los productos de las subvariedades lagrangianas especiales son coasociativos. ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\subconjunto G_{2))$

Una propiedad notable del producto vectorial de siete dimensiones, que lo acerca al tridimensional, es que si es un vector unitario, entonces para cualquier vector perpendicular tenemos . En otras palabras, la multiplicación de vectores por la unidad normal es un endomorfismo hiperplano que eleva al cuadrado como multiplicación por , es decir, simplemente una estructura compleja. Así, en una variedad, cada hipersuperficie orientable tiene una estructura casi compleja natural , que es análoga a la estructura de una superficie de Riemann en una superficie orientable en . Este fenómeno, aplicado al espacio euclidiano de siete dimensiones, fue descubierto por Calabi (incluso antes de la introducción de las variedades generales ). Al mismo tiempo, en contraste con el caso tridimensional, tal estructura es extremadamente raramente integrable (es decir, permite un atlas analítico de dominios del espacio complejo ): por ejemplo, en el caso del espacio euclidiano , el criterio de Calabi establece que esta estructura casi compleja es integrable si y sólo si el operador La hipersuperficie de Weingarten tiene valores propios . En particular, esta hipersuperficie debe ser mínima . Por ejemplo, la estructura casi compleja estándar en la esfera se obtiene como la estructura casi compleja de Calabi para la esfera unitaria . La presencia de una estructura casi compleja integrable en una esfera de seis dimensiones es un problema extremadamente difícil (conocido como la conjetura de Chern ), sobre cuyo estado las opiniones de los geómetras más destacados están lejos de ser unánimes. Al mismo tiempo, variedades casi complejas como la esfera unitaria también son de interés para la geometría diferencial: constituyen la clase de los así llamados. “variedades aproximadamente de Kähler” ( eng. casi variedad de Kähler ; la traducción exacta al ruso aún no se ha establecido), es decir, variedades casi hermitianas, la derivada covariante de la forma 2 estándar con respecto a la conexión Levi-Civita en la que es completamente asimétrico. Un cono métrico sobre una variedad aproximadamente kähleriana de seis dimensiones real es una variedad - y, a la inversa, el cociente de una variedad - cónicamente simétrica (es decir, que admite la acción de un grupo multiplicativo por homotecias) es naturalmente aproximadamente kähleriano. $tu$ $X$ $(x\times u)\times u=-x$ $-una$ $G_{2}$ $\mathbb{R} ^{3}$ $G_{2}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$ $\lambda ,\mu ,\nu ,-\lambda ,-\mu ,-\nu$ $S^{6}\subconjunto \mathbb {R} ^{7}$ $G_{2}$ $G_{2}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {\ geqslant 0}}$

Historia

El teorema de Berger-Simons, probado en 1955, establece que el grupo de holonomía de una variedad riemanniana compacta que no es localmente simétrica actúa transitivamente sobre vectores unitarios tangentes. La lista de tales grupos dada por Berger incluía tanto los grupos que en ese momento se conocían como los grupos de holonomía de las geometrías clásicas (por ejemplo , el grupo de holonomía de una variedad general de Riemann, o el grupo de holonomía de las variedades de Kähler ), y aquellos que , como resultó más tarde, solo pueden ser grupos de holonomía en variedades localmente simétricas (como el grupo espinor , que fue excluido de la lista por Berger Alekseevsky ). Durante mucho tiempo se creyó que el grupo que actúa sobre el espacio de siete dimensiones de las octavas imaginarias no puede ser también el grupo holonómico de una variedad no localmente simétrica, y los esfuerzos de los geómetras en las décadas de 1960 y 1980 se dirigieron a probar esto. ${\ matemáticas {SO}} (n)$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (n)}$ $\mathrm {Girar} (16)$ $G_{2}$

Bonan demostró en 1966 que una variedad admite una forma tridimensional paralela y una forma dual dual entre sí utilizando la estrella de Hodge . En su época, sin embargo, no hay ejemplos de variedades cuyo grupo de holonomía sea igual a . El primer ejemplo de una métrica de este tipo en el dominio fue construido por Bryant en 1987. En 1989, Bryant y Salamon construyeron métricas sobre variedades completas pero no compactas: un haz de spinor sobre una variedad tridimensional de curvatura seccional constante, y sobre un haz de formas anti-autodual sobre una variedad de Einstein de cuatro dimensiones con un tensor de Weyl autodual (por ejemplo, una esfera de cuatro dimensiones con una métrica redonda o un plano proyectivo complejo con la métrica de Fubini-Study). Son en parte análogas a la estructura simpléctica en el espacio total del paquete cotangente (más precisamente, la métrica hiperkähler canónica del paquete holomorfo tangente a la variedad de Kähler, que aún no se conocía en ese momento y será descubierta en la década de 1990 por Faix y Kaledin ). Estos resultados parciales se tomaron como prueba de que dichas métricas son imposibles en una variedad compacta. $G_{2}$ $G_{2}$ $\mathbb{R} ^{7}$ $G_{2}$

En 1994, sin embargo, este punto de vista fue refutado: Joyce construyó varios ejemplos de variedades compactas con un grupo de holonomía , encontrando una forma de resolver analíticamente las singularidades de un factor de un toro de siete dimensiones sobre un grupo finito. En 1998, MacLean estudió las deformaciones de subvariedades coasociativas y asociativas en variedades cerradas , en particular, encontró que las deformaciones de variedades coasociativas se describen en términos de su geometría intrínseca, mientras que las variedades asociativas tienen una teoría de deformaciones descrita por algún operador de Dirac dependiendo de la incrustándose en el espacio cerrado, y por lo general son rígidos. En la década de 2000, se inventó la construcción de suma de Kovalev conectada torcida , que permite construir variedades a partir de un par de pliegues de Fano 3 con algunas condiciones de compatibilidad. Los paquetes en colectores cuyas fibras son coasociativas (en particular, tienen, como predijo MacLean, muchas deformaciones), se construyeron por primera vez utilizando esta construcción y, a veces, se denominan "poleas de Kovalev-Lefschetz" (por ejemplo, por Donaldson ) por analogía con haces a curvas elípticas en superficies K3, históricamente llamadas "poleas de Lefschetz". Una generalización de la construcción de Kovalev hizo posible obtener estructuras en decenas de miles de variedades compactas no difeomorfas por pares. Además, en estas generalizaciones se obtuvieron variedades con subvariedades asociativas. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$

Una interesante nueva conexión entre la geometría de las variedades -y la geometría compleja fue establecida en 2011 por Verbitsky : el espacio de nudos en una variedad es una variedad (de dimensión infinita) formalmente kähleriana (es decir, aunque no admite mapas locales con valores en el espacio de Fréchet complejo con funciones analíticas de regulación complejas, pero la obstrucción lineal-algebraica a la presencia de tales aplicaciones, el tensor de Nijenhuis, se desvanece en ellas; en el caso de dimensión finita, notamos, esto es suficiente para la presencia de un complejo atlas analítico). $G_{2}$ $G_{2}$

Véase también

Espacio Calabi-Yau