Función L de Dirichlet

La función L de Dirichlet es una función compleja dada en(en el caso del carácter principal) por la fórmula $L_{{\chi}}(s)$ $\nombre del operador {Re}\,s>0$ $\nombre del operador {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

donde es algún carácter numérico (módulo k ). Las funciones de Dirichlet se introdujeron para probar el teorema de los números primos de Dirichlet en progresión aritmética , cuyo punto central es la prueba de la desigualdad para caracteres no principales. $\barbilla)$ $L$ $L_{\chi}(1)\neq 0$

Producto de Euler para funciones L de Dirichlet

Debido a la multiplicatividad del carácter numérico, la función de Dirichlet se puede representar en el dominio como un producto de Euler sobre números primos : $\ chi$ $L$ $\nombre del operador {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\prod_{{p}}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1 }}

Esta fórmula conduce a numerosas aplicaciones de las funciones en la teoría de los números primos. $L$

Relación con la función zeta

$L$ la función de Dirichlet correspondiente al carácter principal módulo k está relacionada con la función zeta de Riemann por la fórmula $\zeta (s)$

L_{{\chi _{0}}}(s)=\zeta (s)\prod_{{p|k}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\ Correcto)

Esta fórmula nos permite definir para una región con un polo simple en el punto . $L_{{\chi _{0}}}(s)$ $Re(s)>0$ $s = 1$

Ecuación funcional

Al igual que la función de Riemann , la función - satisface una ecuación funcional similar. $L$

Definimos de la siguiente manera: si es una función gamma , es un carácter par, entonces ${\ estilo de visualización \ Lambda (\ chi, s)}$ $\Gama$ ${\ estilo de visualización \ chi (-1) = 1}$

\Lambda (\chi,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi,s)

Si es un carácter impar, entonces ${\ estilo de visualización \ chi (-1) = -1}$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi ,s)

Sea también la suma de caracteres de Gauss , y para pares y para impares . Entonces la ecuación funcional toma la forma: $g(\chi )=\sum \limits _{k=1}^{q}\chi (k)\exp {\frac {2\pi ik}{q))$ $\ chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi )={\frac {g(\chi )}{\sqrt {q))))$ $\ chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi )=-i{\frac {g(\chi )}{\sqrt {q))))$ $\ chi$

\Lambda (\chi ,s)=\varepsilon (\chi )q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi )),1-s)

Véase también

Fila de Dirichlet

Literatura

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V. , Shidlovsky A. B. Introducción a la teoría de números. - M. : Editorial de la Universidad de Moscú, 1984.
Karatsuba A. A. Fundamentos de la teoría analítica de los números. - 3ra ed. — M .: URSS, 2004.

Funciones L en teoría de números
Ejemplos analíticos	Función zeta de Riemann L -Funciones de Dirichlet L -funciones de los caracteres Hecke Funciones L automórficas Clase Selberg
Ejemplos algebraicos	Funciones zeta de Dedekind Artin L -funciones Funciones L de Hasse-Weyl Motivo L -funciones
teoremas	Fórmula analítica para el número de clases Fórmula de Riemann-von Mangoldt Las hipótesis de Weil
Hipótesis analíticas	hipótesis de Riemann Hipótesis de Riemann generalizadas Hipótesis de Lindelöf hipótesis de Ramanujan la hipótesis de Artin
conjeturas algebraicas	Hipótesis de Birch-Swinnerton-Dyer La conjetura de Deligne Las hipótesis de Beilinson Conjetura de Bloch-Kato Hipótesis de Langlands
p - funciones L ádicas	La principal hipótesis de la teoría de Iwasawa Grupo Selmer sistema de Euler