Seno cardinal

Seno cardinal , sinc (del lat. sinus cardinalis ) - función matemática . Denotado por sinc( x ) . Tiene dos definiciones - para la función sinc normalizada y no normalizada , respectivamente:

En el procesamiento de señales digitales y la teoría de la comunicación, la función sinc normalizada generalmente se define como $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{matriz} \right.$
En matemáticas , la función sinc no normalizada se define como $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{matriz} \right.$

La normalización de la función se realiza a partir de la condición:

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax))\,dx=1

dónde ${\ estilo de visualización a = \ pi.}$

para función no normalizada ( ): $un=1$

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .

En ambos casos, el valor de la función en el punto singular x = 0 se establece explícitamente en uno ( ver Límites notables ). Por lo tanto, la función sinc es analítica para cualquier valor del argumento.

Propiedades

La función sinc normalizada tiene las siguientes propiedades:

$\operatorname{sinc}\left(0\right) = 1$ y para todos y ( enteros ); es decir, es un interpolante . $\operatorname{sinc}\left(k\right) = 0$ $k\neq 0$ $k\in\mathbb{Z}$

las funciones forman una base ortonormal para las funciones en el espacio de funciones , con la frecuencia circular más alta . $x_k\left(t\right)=\nombre del operador{sinc}\left(tk\right)$ $L^2\izquierda(\R\derecha)$ $\omega_H = \pi$

Los máximos y mínimos locales de la función no normalizada sinc coinciden con los valores del coseno, es decir, donde la derivada es igual a cero ( extremo local en el punto ), se cumple la condición . $\frac{\sen x}{x}$ $x=a$ $\frac{\sin a}{a} = \cos a$

La función sinc no normalizada desaparece cuando el argumento es un múltiplo de π , mientras que la función sinc normalizada desaparece cuando el argumento es un número entero.

El seno integral se define a través de la integral de la función sinc( x ) .

La transformada continua de Fourier de una función normalizada (para un intervalo de frecuencia unitario) es igual a una función rectangular . $\operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}$ $\nombre del operador{rect}\left(f\right)$

\int\limits_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}\left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt = \operatorname{rect}\left(f\right)

, donde una función rectangular es una función que toma el valor 1 para cualquier argumento entre −1 y 1/2, y es igual a cero para cualquier otro valor del argumento.

Descomposición en un producto infinito :

\operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2} {n^2}\derecho)

Expresión en términos de la función gamma :

\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma\left(1+x\right)\Gamma\left(1-x\ Correcto)}

donde está la función gamma.

\gamma\izquierda(x\derecha)

Uso y aplicaciones

Como la transformada de Fourier de una función rectangular, la función sinc surge en el problema de la propagación de ondas desde el campo cercano al campo lejano ( difracción de Fraunhofer , difracción de rendija ). la función sinc se encuentra en teoría de antenas , radar , acústica , etc.
E. T. Whittaker demostró que la función sinc juega un papel central en la teoría de la interpolación en una cuadrícula de puntos equidistantes.
En la teoría de la comunicación, la función sinc a menudo le permite restaurar una señal analógica a partir de sus muestras de forma única y sin pérdida ( teorema de Kotelnikov ).
La misma idea subyace en el filtro Lanczos , que se utiliza, en particular, para el remuestreo de señales.
A menudo se busca reducir el efecto de los máximos secundarios del módulo que dan como resultado lóbulos laterales no deseados en el patrón de radiación .
El cuadrado de la función sinc se usa a menudo, dando la intensidad o potencia de la señal cuya amplitud es descrita por la función sinc.
Dado que los valores disminuyen rápidamente a medida que aumenta el argumento, el cuadrado de la función sinc a menudo se representa en una escala logarítmica .

Procesamiento de señales

Un filtro sinc es un filtro electrónico ideal que suprime todas las frecuencias en el espectro de la señal por encima de una cierta frecuencia de corte , dejando sin cambios todas las frecuencias por debajo de esa frecuencia. En el dominio de la frecuencia ( AFC ) es una función rectangular , y en el dominio del tiempo (respuesta de impulso) es una función sinc.

Seno cardinal

Propiedades

Uso y aplicaciones

Procesamiento de señales

Véase también