Axiomática de Tarski (geometría)

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La axiomática de Tarski es un sistema de axiomas de geometría euclidiana elemental propuesto por Alfred Tarski . Notable porque está formulado en lógica de primer orden con igualdad y no requiere teoría de conjuntos .

Historia

Alfred Tarski trabajó intermitentemente en su axiomatización desde 1926 hasta su muerte en 1983; publicado por primera vez en 1959. [1] En particular, Tarski probó que sus axiomas son completos y consistentes; Además, existe un algoritmo que le permite averiguar si cualquier afirmación es verdadera o falsa. (Este teorema no contradice el teorema de incompletitud de Gödel , ya que no hay forma de expresar la aritmética en la axiomática de Tarski para la geometría).

Los principales trabajos de Tarski y sus alumnos en esta dirección se presentan en una monografía de 1983. [2] La axiomática presentada en este libro consta de 10 axiomas y un esquema de axioma .

Axiomas

Conceptos indefinidos

Lie Between es una relación ternaria Bxyz , lo que significa que y "se encuentra entre" x y z . En otras palabras, que y es un punto en xz . (En este caso, los extremos están incluidos, es decir, como se deducirá de los axiomas, Bxxz es verdadera).

La congruencia es una relación de tétrada wx ≡ yz , lo que significa que el segmento wx es congruente con el segmento yz ; en otras palabras, que la longitud de wx es igual a la longitud de yz .

axiomas

Reflexividad de la congruencia: $xy\equiv yx\,.$

Identidad de congruencia: $xy\equiv zz\rightarrow x=y.$

Transitividad de la congruencia: $(xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\rightarrow zu\equiv vw.$

La relación de identidad se encuentra entre: $Bxyx\rightarrow x=y.$

Es decir, el único punto en el segmento de línea es el punto mismo .

{\ estilo de visualización xx}

X

Axioma Pasha : $(Bxuz\land Byvz)\rightarrow \existe un\,(Buay\land Bvax).$

Dos diagonales de un cuadrilátero convexo deben intersecarse en algún punto.

{\ Displaystyle xuvy}

Esquema de axiomas de continuidad. Sean y fórmulas de primer orden sin variables libres a o b . Que tampoco haya variables libres en o en . Entonces todas las expresiones del siguiente tipo son axiomas: $\fi(x)$ ${\ estilo de visualización \ psi (y)}$ $X$ ${\ estilo de visualización \ psi (y)}$ $y$ $\fi(x)$ $\existe a\,\para todo x\,\para todo y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Baxy]\rightarrow \existe b\,\para todo x\,\ para todo y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Bxby].$

Es decir, si y describen dos conjuntos de puntos de la viga con vértice a , el primero de los cuales está a la izquierda del segundo, entonces hay un punto b entre estos conjuntos.

\fi(x)

{\ estilo de visualización \ psi (y)}

Límite de dimensión inferior : $\existe a\,\existe b\,\existe c\,[\neg Babc\land \neg Bbca\land \neg Bcab].$

Es decir, hay tres puntos no colineales. Sin este axioma, las teorías se pueden modelar con una línea real unidimensional, un solo punto o incluso un conjunto vacío .

Límite de dimensión superior : $(xu\equiv xv\land yu\equiv yv\land zu\equiv zv\land u\neq v)\rightarrow (Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy).$

Es decir, cualquier tres puntos equidistantes de dos puntos diferentes se encuentran en una línea. Sin este axioma, la teoría se puede modelar en un espacio multidimensional (incluido el tridimensional ).

Axioma sobre el quinto segmento: ${(x\neq y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu \equiv y'u')}\rightarrow zu\equiv z'u'.$

Es decir, si los segmentos de 4 pares marcados en los dos dibujos de la derecha son iguales, entonces los segmentos del quinto par son iguales entre sí.

Construyendo un segmento: $\existe z\,[Bxyz\land yz\equiv ab].$

Es decir, desde cualquier punto en cualquier dirección, puede posponer un segmento de una longitud determinada.

Notas

↑ Tarski, Alfred (1959), ¿Qué es la geometría elemental?, en Leon Henkin, Patrick Suppes y Alfred Tarski, El método axiomático. Con especial referencia a la geometría y la física. Actas de un Simposio Internacional realizado en la Univ. de California, Berkeley, dic. 26, 1957-ene. 4, 1958 , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam: North-Holland, p. 16–29 .
↑ Schwabhäuser, W., Szmielew, W., Alfred Tarski, 1983. Metamathematische Methoden in der Geometrie . Springer-Verlag.

Enlaces

Beklemishev L. D. Geometría elemental desde el punto de vista de la lógica. conferencias de la Escuela de Verano "Matemáticas Modernas", del 20 al 23 de julio de 2014.