Teorema del binomio

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El binomio de Newton es una fórmula para descomponer en términos separados una potencia entera no negativa de la suma de dos variables, que tiene la forma

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{nk}b^{k}={\binom { n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+\puntos +{\binom {n}{k}}a^{nk}b^ {k}+\puntos +{\binom {n}{n}}b^{n},

donde son coeficientes binomiales , es un entero no negativo . ${\binom {n}{k}}\equiv C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}$ $norte$

De esta forma, esta fórmula era conocida por los matemáticos indios y persas ; Newton derivó la fórmula binomial para un caso más general cuando el exponente es un número real arbitrario (más tarde se extendió a números complejos ). En el caso general, el binomio es una serie infinita (ver más abajo).

Ejemplos:

{\begin{alineado}(x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\(x+y)^{3}&=x^{ 3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\(x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^ {2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\(x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{ 3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\end{alineado}}

Para una descomposición rápida, es conveniente utilizar el triángulo de Pascal .

Prueba

Para multiplicar paréntesis, debe tomar un término de cada uno y sumar todos los productos resultantes. Para obtener un título , debe seleccionar entre paréntesis , y de los restantes seleccionar . Hay tantas opciones para elegir por primera vez como corchetes, es decir . Luego, respectivamente, , y así sucesivamente hasta el -ésimo paso. Sin embargo, para cada variante, también se calculan todas sus permutaciones ordinales, cuyo número es . Normalizando, obtenemos exactamente . A continuación se muestra la demostración por inducción. $a^{k}b^{nk}$ $k$ $a$ $nk$ $b$ $a$ $norte$ $n-1$ ${\ estilo de visualización n-k + 1}$ $k$ $k!$ ${\displaystyle C_{n}^{k))$

Prueba

Demostremos la fórmula binomial de Newton por inducción en : $norte$

Base de inducción: $n=0$

(a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0

Paso de inducción: Dejemos que el enunciado for sea verdadero: $norte$

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \elegir k } a ^ {nk} b ^ {k}

Entonces necesitamos probar la afirmación para : $n+1$

(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \elegir k } a ^ {n+1-k} b ^ {k}

Empecemos la prueba:

(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n} {n \elegir k} a ^ { nk} segundo ^ {k} = \sum_{k=0}^n {n \elegir k} {a ^ {n - k + 1} segundo ^ {k}}\quad + \quad \sum_{k=0 }^n {n \elegir k} a ^ {nk} b ^ {k+1}

Extraiga de la primera suma el término en $k = 0$

\sum_{k=0}^n {n \elegir k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}} = a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n { n \elegir k} un ^ {n - k + 1} segundo ^ k

Extraigamos de la segunda suma el término en $k=n$

\sum_{k=0}^n {n \elegir k} a ^ {nk} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{ n \elegir k}a^{n - k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \elegir {k-1}} a^{ n - k + 1}b^{k}

Ahora vamos a sumar las sumas convertidas:

a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \elegir k} a ^ {n - k + 1} b ^ k \quad + \quad b^{n+1} + \sum_ {k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k} = a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} + \sum_ {k = 1}^n \left( {n \elegir k} + {n \elegir {k - 1} } \right) a ^ {n - k + 1} segundo ^ k =

=\sum_{k=0}^0 {n+1 \elegir k} un ^ {n + 1 - k} segundo ^ k \quad + \quad \sum_{k = n + 1}^{n+1} {n+1 \elegir k} a^{n + 1- k}b^k \quad + \quad \sum_{k = 1} ^ {n} {n+1 \elegir k} a ^ {n + 1 - k} segundo ^ k= \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \elegir k } a ^ {n+1-k} segundo ^ {k}

QED ■

Generalizaciones

La fórmula binomial de Newton es un caso especial de expandir una función en una serie de Taylor : ${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {r})$

(1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k},

donde puede ser un número complejo arbitrario (en particular, negativo o real). Los coeficientes de esta expansión se encuentran mediante la fórmula $r$

{\binom {r}{k}}={\frac {1}{k!}}\prod _{n=0}^{k-1}(rn)={\frac {r(r -1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}.

Al mismo tiempo, un número

(1+z)^{\alpha }=1+\alpha z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+\ldots +{\frac {\ alfa (\alfa -1)\cdots (\alfa -n+1)}{n!}}z^{n}+\ldots

converge en . ${\ estilo de visualización | z | \ leqslant 1}$

En particular, para y obtenemos la identidad $z={\frac{1}{m))$ ${\ estilo de visualización \ alfa = x \ c punto m}$

\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2m^{2}}}+\ ldots +{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\,m^{n))}+\ldots .

Pasando al límite en y usando el segundo límite notable , derivamos la identidad $m\a\infty$ $\lim _{m\to \infty}\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=e$

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!)}}+\ldots,

que fue obtenido por primera vez por Euler de esta manera .

Teorema multinomial

El binomio de Newton se puede generalizar al polinomio de Newton: exponenciación de la suma de un número arbitrario de términos:

(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{m})^{n}=\sum \limits _{k_{j}\geqslant 0 \atop k_{1}+k_{2 }+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}\ ldots x_{m}^{k_{m}},

dónde

{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots,k_{m))}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}! \ldots k_{m}!}}

esencia Coeficientes multinomiales . La suma se toma sobre todos los índices enteros no negativos cuya suma es igual (es decir, sobre todas las composiciones del número de longitud ). Al utilizar el polinomio de Newton, se considera que las expresiones , aunque . $k_j$ $norte$ $norte$ $metro$ ${\ estilo de visualización x_ {j}^{0} = 1}$ ${\ estilo de visualización x_ {j} = 0}$

El teorema multinomial se demuestra fácilmente por inducción sobre o a partir de consideraciones combinatorias y el significado combinatorio del coeficiente polinomial. $norte$

Para , expresando , obtenemos el binomio de Newton. ${\ estilo de visualización m = 2}$ ${\displaystyle k_{2}=n-k_{1))$

Polinomios completos de Bell

Sean y , entonces los polinomios de Bell completos tienen una expansión binomial: $B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},\puntos,a_{n})$ ${\ estilo de visualización B_ {0} = 1}$

B_{n}(a_{s}+b_{s})=\sum _{i+j=n}{\binom {n}{i,j))B_{i}(a_{s} )B_{j}(b_{s}).

Historia

Durante mucho tiempo se creyó que para exponentes naturales esta fórmula, como el triángulo , que te permite encontrar coeficientes, fue inventada por Blaise Pascal , quien la describió en el siglo XVII . Sin embargo, los historiadores de la ciencia han descubierto que la fórmula era conocida por el matemático chino Yang Hui , que vivió en el siglo XIII, así como por los matemáticos persas at-Tusi (siglo XIII) y al-Kashi (siglo XV). A mediados del siglo XVI, Michael Stiefel describió los coeficientes binomiales y también compiló su tabla hasta la potencia de 18.

Isaac Newton alrededor de 1665 generalizó la fórmula para un exponente arbitrario (fraccional, negativo, etc.). Basándose en la expansión binomial, Newton, y más tarde Euler , derivaron toda la teoría de las series infinitas.

En la ficción

En la ficción, el "binomio de Newton" suele aparecer como sinónimo de algo muy complejo (a menudo irónicamente) [1] . Por ejemplo, en la novela "El maestro y Margarita " de M. A. Bulgakov : "¡Piensa, el binomio de Newton! Morirá en nueve meses, en febrero del próximo año, de cáncer de hígado en la clínica de la Primera Universidad Estatal de Moscú , en el cuarto pabellón.

En el cuento " El último caso de Holmes " Sherlock Holmes cuenta sobre el profesor Moriarty , en particular, lo siguiente: "... cuando tenía 21 años, escribió un tratado sobre el binomio de Newton, que le valió fama europea... "

Véase también

Distribución binomial
Coeficiente binomial
triangulo de pascal
Fórmulas abreviadas de multiplicación de polinomios : los casos especiales más frecuentes del binomio de Newton

Notas

↑ Uspensky V. A. Preliminar para lectores de la "Nueva Revista Literaria" de los mensajes semióticos de Andrei Nikolaevich Kolmogorov // Nueva Revista Literaria . - 1997. - Nº 24 .

Literatura

Binomio de Newton // Diccionario Enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

Enlaces

Binomio de Newton // Gran Enciclopedia Soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.

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