Principios variacionales

Los principios de la mecánica son las posiciones iniciales que reflejan tales leyes generales de los fenómenos mecánicos que a partir de ellas, como consecuencia, se pueden obtener todas las ecuaciones que determinan el movimiento de un sistema mecánico (o las condiciones para su equilibrio). En el curso del desarrollo de la mecánica, se establecieron una serie de tales principios, cada uno de los cuales puede tomarse como base de la mecánica, lo que se explica por la variedad de propiedades y patrones de los fenómenos mecánicos. Estos principios se dividen en no variacionales y variacionales .

Principios no variacionales

Los principios no variacionales de la mecánica establecen directamente las leyes del movimiento realizado por un sistema bajo la acción de las fuerzas que se le aplican. Estos principios incluyen, por ejemplo, la segunda ley de Newton , según la cual, cuando cualquier punto del sistema se mueve, el producto de su masa por su aceleración es igual a la suma de todas las fuerzas aplicadas al punto , así como el d'Alembert principio _

Los principios no variacionales son válidos para cualquier sistema mecánico y tienen una expresión matemática relativamente simple. Sin embargo, su aplicación está limitada únicamente por el marco de la mecánica, ya que un concepto tan puramente mecánico como el de fuerza entra directamente en las expresiones de los principios . Lo siguiente también es significativo. En la mayoría de los problemas de mecánica se considera el movimiento de sistemas no libres, es decir, sistemas cuyos movimientos están limitados por restricciones . Ejemplos de este tipo de sistemas son todo tipo de máquinas y mecanismos, donde las conexiones son rodamientos, bisagras, cables, etc., y para el transporte terrestre, la calzada o los raíles. Para estudiar el movimiento de un sistema no libre, basado en principios no variacionales, es necesario reemplazar el efecto de la acción de los enlaces con unas fuerzas llamadas reacciones de los enlaces . Pero las magnitudes de estas reacciones no se conocen de antemano, ya que dependen de a qué son iguales y de dónde se aplican las fuerzas dadas ( activas ) que actúan sobre el sistema, como, por ejemplo, la gravedad , la elasticidad del resorte , el empuje, etc. ., y también de cómo se mueve el sistema. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento compiladas incluirán cantidades desconocidas adicionales en forma de reacciones de restricción, lo que generalmente complica significativamente todo el proceso de solución.

La ventaja de los principios variacionales es que producen de inmediato las ecuaciones de movimiento del sistema mecánico correspondiente que no contienen reacciones de restricción desconocidas. Esto se logra porque el efecto de la acción de las conexiones no se tiene en cuenta reemplazándolas con fuerzas desconocidas (reacciones), sino considerando aquellos desplazamientos o movimientos (o incrementos de velocidades y aceleraciones) que los puntos de este sistema puede tener en presencia de estas conexiones. Por ejemplo, si un punto M se mueve a lo largo de una superficie suave (ideal) dada, que es una conexión para él, entonces se puede tener en cuenta el efecto de esta conexión.

Principios variacionales

El contenido de los principios variacionales es que establecen propiedades (signos) que permiten distinguir el verdadero movimiento de un sistema mecánico, es decir, que realmente se produce bajo la acción de fuerzas dadas, de ciertos movimientos cinemáticamente posibles del mismo (o el estado de equilibrio del sistema de sus otros estados posibles). Por lo general, estas propiedades (signos) consisten en el hecho de que para el movimiento verdadero, alguna cantidad física, que depende de las características del sistema, tiene el valor más pequeño en comparación con sus valores en todos los movimientos cinemáticamente posibles considerados. En este caso, los principios variacionales pueden diferir entre sí en la forma de la cantidad física indicada y las características de los movimientos cinemáticamente posibles considerados, así como las características de los sistemas mecánicos mismos, para los cuales estos principios son válidos. El uso de principios variacionales requiere la aplicación de los métodos del cálculo de variaciones .

En la forma, los principios variacionales se dividen en los llamados diferenciales, en los que se establece en qué se diferencia el verdadero movimiento del sistema de los movimientos que son cinemáticamente posibles en cualquier momento dado, y los integrales, en los que se establece esta diferencia. para los movimientos realizados por el sistema durante un período finito de tiempo.

Los principios variacionales diferenciales dentro del marco de la mecánica son más generales y prácticamente válidos para cualquier sistema mecánico. Los principios variacionales integrales en su forma más común son válidos solo para los llamados sistemas conservativos, es decir, sistemas en los que se cumple la ley de conservación de la energía mecánica. Sin embargo, a diferencia de los principios variacionales diferenciales y los principios no variacionales, en lugar de fuerzas, incluyen una cantidad física como la energía , lo que hace posible extender estos principios a fenómenos no mecánicos, haciéndolos importantes para toda la física teórica .

Principios diferenciales

Los principales principios variacionales diferenciales incluyen:

  1. el principio de los desplazamientos posibles , que establece la condición de equilibrio para un sistema mecánico con conexiones ideales; De acuerdo con este principio, las posiciones de equilibrio de un sistema mecánico difieren de todas las demás posiciones posibles para él en que solo para las posiciones de equilibrio la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas (activas y reactivas) aplicadas al sistema en cualquier posible desplazamiento del sistema. es igual a cero.
  2. Principio de d'Alembert-Lagrange , según el cual el movimiento verdadero de un sistema mecánico con conexiones ideales difiere de todos los movimientos cinemáticamente posibles en que solo para el movimiento verdadero en cada momento de tiempo, la suma de los trabajos elementales de todos los activos, reactivos y Las fuerzas de inercia aplicadas al sistema en cualquier sistema de desplazamiento posible es cero. En estos principios variacionales, la cantidad física considerada es el trabajo de fuerzas.

Los principios variacionales diferenciales también incluyen el principio de Gauss ( principio de mínima restricción ), en el que la cantidad física en consideración es la llamada "coerción", expresada en términos de fuerzas y aceleraciones dadas de los puntos del sistema, así como el principio de Hertz estrechamente contiguo ( principio de mínima curvatura ).

Principios integrales

Los principios variacionales integrales incluyen los principios de la acción mínima (estacionaria) , según el cual el verdadero entre los movimientos cinemáticamente posibles del sistema entre sus dos posiciones es aquel para el cual la cantidad física, llamada acción, tiene un valor mínimo. . Las diferentes formas de estos principios difieren entre sí en la elección de la magnitud de la acción y en las características de los movimientos cinemáticamente posibles del sistema comparados entre sí.

Tanto los principios no variacionales como los variacionales se establecieron en el proceso de estudiar las propiedades de los sistemas mecánicos y las leyes de su movimiento. Dado que los fenómenos mecánicos, como otros fenómenos físicos, están sujetos a muchas regularidades, una serie de principios, incluido el variacional, resultan válidos para los sistemas mecánicos correspondientes. Si cualquiera de ellos se toma como el inicial, entonces, como consecuencia, se obtienen no solo las ecuaciones de movimiento de un sistema dado, sino también todos los demás principios que son válidos para este sistema.

Aplicación

Los principios variacionales se utilizan tanto para compilar las ecuaciones de movimiento de los sistemas mecánicos en la forma más simple como para estudiar las propiedades generales de estos movimientos. Con una adecuada generalización de conceptos, también se utilizan en mecánica continua , termodinámica , electrodinámica , mecánica cuántica , teoría de la relatividad , etc. Desde el punto de vista de la implementación de principios variacionales, en particular el principio de Lagrange, se distinguen diferentes métodos. En el caso general, el requisito de estacionariedad del Lagrangiano da un sistema de ecuaciones diferenciales parciales y un espectro correspondiente de problemas de valores en la frontera inicial ( las ecuaciones de Euler ). Si la formulación general es tridimensional, el método de Vlasov permite reducir la dimensión del problema, reduciéndolo a uno bidimensional (ejemplo - teoría de la cáscara ), a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ejemplo - teoría de barras ) o a un sistema algebraico finito/infinito de ecuaciones ( método de Rayleigh-Ritz , método de elementos finitos ).

Historia

Incluso los antiguos filósofos naturales (por ejemplo, Aristóteles ) asumieron que “la naturaleza no hace nada en vano y en todas sus manifestaciones elige el camino más corto o más fácil” [1] . Sin embargo, no se especificó el significado específico de los términos "más corto" o "más ligero" [2] . Claudio Ptolomeo demostró que cuando se refleja un rayo de luz, su recorrido total es más corto cuando el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, lo que se observa en la práctica. Sin embargo, advirtió que en el caso de la refracción de la luz, el camino (línea discontinua) ya no sería el más corto [3] .

El primer principio variacional en la historia de la ciencia fue formulado por Pierre de Fermat en 1662, y se refirió específicamente a la refracción de la luz. Fermat demostró que el criterio en este caso no es la trayectoria, sino el tiempo: el haz se refracta en un ángulo tal que el tiempo total de viaje es mínimo [4] . En notación moderna , el principio de Fermat se puede escribir de la siguiente manera:

Aquí  está el índice de refracción del medio [3] .

Christian Huygens [5] llevó a cabo la investigación matemática y el desarrollo del principio de Fermat , después de lo cual el tema fue discutido activamente por los científicos más importantes del siglo XVII. Leibniz introdujo el concepto fundamental de acción en la física en 1669 : “Las acciones formales del movimiento son proporcionales a... el producto de la cantidad de materia, las distancias que recorren y la velocidad”.

Paralelamente al análisis de los fundamentos de la mecánica, se desarrollaron métodos para resolver problemas variacionales. Isaac Newton en su " Principios matemáticos de la filosofía natural " (1687) planteó y resolvió el primer problema variacional: encontrar tal forma de un cuerpo de revolución moviéndose en un medio resistente a lo largo de su eje, para el cual la resistencia experimentada sería la menor. . Casi simultáneamente, aparecieron otros problemas variacionales: el problema de la braquistocrona (1696), la forma de la catenaria , etc.

Los hechos decisivos tuvieron lugar en 1744. Leonhard Euler publicó el primer trabajo general sobre el cálculo de variaciones ("Un método para encontrar curvas que tienen las propiedades de un máximo o un mínimo"), y Pierre-Louis de Maupertuis , en su tratado "Acuerdo de varias leyes de la naturaleza, que hasta ahora parecían incompatibles" dio la primera formulación del principio de mínima acción : "El camino seguido por la luz es el camino para el cual la cantidad de acción será la más pequeña". Demostró el cumplimiento de esta ley tanto para la reflexión como para la refracción de la luz. En respuesta a un artículo de Maupertuis, Euler publicó (en el mismo año 1744) el trabajo "Sobre la determinación del movimiento de cuerpos lanzados en un medio que no resiste por el método de máximos y mínimos", y en este trabajo dio El principio de Maupertu es un carácter mecánico general: "Dado que todos los fenómenos naturales siguen alguna ley de máximo o mínimo, entonces no hay duda de que para las líneas curvas que describen cuerpos lanzados, cuando alguna fuerza actúa sobre ellos, alguna propiedad de máximo o mínimo tiene lugar.Además, Euler formuló esta ley: la trayectoria de un cuerpo lleva a cabo luego la aplicó, derivando las leyes del movimiento en un campo gravitacional uniforme y en varios otros casos.

En 1746, Maupertuis, en una nueva obra, coincidió con la opinión de Euler y proclamó la versión más general de su principio: “Cuando se produce un cierto cambio en la naturaleza, la cantidad de acción necesaria para ese cambio es la menor posible. La cantidad de acción es el producto de la masa de los cuerpos, su velocidad y la distancia que recorren. En la amplia discusión que siguió, Euler apoyó la prioridad de Maupertuis y abogó por el carácter universal de la nueva ley: "toda la dinámica y la hidrodinámica pueden revelarse con sorprendente facilidad mediante el método de máximos y mínimos solo" [3] .

Una nueva etapa comienza en 1760-1761, cuando Joseph Louis Lagrange introduce el concepto estricto de variación de una función, moderniza el cálculo de variaciones y extiende el principio de mínima acción a un sistema mecánico arbitrario (es decir, no sólo a puntos de material gratis). Esto marcó el comienzo de la mecánica analítica. Carl Gustav Jacob Jacobi llevó a cabo una mayor generalización del principio en 1837: consideró el problema geométricamente, como encontrar los extremos de un problema variacional en un espacio de configuración con una métrica no euclidiana. En particular, Jacobi señaló que en ausencia de fuerzas externas, la trayectoria del sistema es una línea geodésica en el espacio de configuración [3] .

En 1834-1835, William Rowan Hamilton publicó un principio variacional aún más general, del cual se derivaron todos los anteriores como casos especiales:

Aquí  , es el Lagrangiano del sistema dinámico, y  son las coordenadas generalizadas . Hamilton puso este principio en la base de su " mecánica hamiltoniana " y dio la solución del problema variacional en forma de " ecuaciones canónicas ".

El enfoque de Hamilton demostró ser versátil y altamente efectivo en los modelos matemáticos de la física, especialmente para la mecánica cuántica . Su fuerza heurística se confirmó en la creación de la Teoría General de la Relatividad , cuando David Hilbert aplicó el principio hamiltoniano para derivar las ecuaciones finales del campo gravitatorio (1915).

Véase también

Literatura

Notas

  1. ↑ Euler L. Disertación sobre el principio de mínima acción, con un análisis de las objeciones del más famoso prof. Koenig, presentado contra este principio // Principios variacionales de la mecánica. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96 - 108.
  2. ↑ Rumyantsev VV, 1935 , p. 181..
  3. ↑ 1 2 3 4 Spassky B. I. Historia de la física, en dos volúmenes . - Ed. 2do. - M. : Escuela Superior, 1977. - T. I. - S. 198-205.
  4. ↑ Fermat P. Síntesis para refracción // Principios variacionales de la mecánica. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96 - 108.
  5. ↑ Huygens X. Tratado sobre la luz. M.-L.: Gostekhnzdat, 1935. 172 p.