Variación de giro de curva

La variación de la rotación de la curva es la integral de la curvatura de la curva a lo largo de su longitud.

Definición

La variación de la rotación de una curva en un plano o en el espacio se define como la mínima cota superior de la suma de los ángulos exteriores inscritos en una polilínea . $\gama$ $\gama$

Si la curva es cerrada, la polilínea inscrita también se supone cerrada. $\gama$

Notas

Si una curva suave, parametrizada por longitud, es su curvatura , entonces la variación de rotación es igual a la integral del módulo de curvatura: ${\displaystyle \gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d))$ ${\ estilo de visualización \ kappa (s)}$ $\int \limits _{a}^{b}|\kappa (s)|\cdot ds.$

La variación de rotación de una curva regular suave también se puede definir como la longitud de su indicatriz tangente ; es decir, la curva formada por los vectores unitarios tangentes . ${\displaystyle \gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d))$ ${\displaystyle \tau (s)\colon [a;\,b]\to \mathbb {S} ^{d-1))$ $\tau (s)={\tfrac {{\dot {\gamma }}(s)}{|{\dot {\gamma }}(s)|}}$

Propiedades

Teorema de rotación de la curva de Fenchel : La variación de rotación de cualquier curva cerrada es al menos . Además, en el caso de la igualdad, la curva es plana y convexa. $2{\cdot}\pi$
Teorema de rotación del nudo de Fari-Milnor : La variación de rotación de cualquier nudo es mayor . ${\ estilo de visualización 4 {\ cdot} \ pi}$
Desigualdad del ADN . Si una curva plana cerrada se encuentra en una figura convexa con perímetro, entonces su longitud no excede su variación de rotación. [una] $2{\cdot}\pi$
Teorema geodésico de Usov : La variación de la rotación de una geodésica sobre la gráfica de una función convexa no supera el doble de su constante de Lipschitz . [2] $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$
La longitud angular de una curva cerrada con respecto a un punto arbitrario no excede su variación de rotación. [3]
La variación de rotación de una curva más corta en una superficie convexa cerrada está limitada por una constante universal. [cuatro]

Variaciones y generalizaciones

Para curvas planas, la curvatura puede tener un signo y la rotación de la curva puede definirse como una integral con signo de la curvatura. El teorema de la rotación de la curva es la contrapartida geométrica diferencial del teorema de la suma de los ángulos del polígono .

Notas

↑ Nazarov, Alexander Ilich, Fedor Vladimirovich Petrov. Sobre la conjetura de S. L. Tabachnikov // Álgebra y análisis . - 2007. - T. 19 , N º 1 . - S. 177-193. . (Ruso)
↑ V. V. Usov. "Sobre la longitud de una imagen esférica de una geodésica en una superficie convexa". Siberian Mathematical Journal 17.1 (1976), p. 233-236
↑ A. Petrunin, S. Stadler. Seis demostraciones del teorema de Fáry-Milnor // arXiv:2203.15137 [math.HO].
↑ N. Lebedeva, A. Petrunin. Sobre la curvatura total de geodésicas minimizantes sobre superficies convexas // Algebra i Analiz. - 2017. - T. 29 , N º 1 . - S. 189-208 . (Ruso)

Literatura

Toponogov, V. A. Geometría diferencial de curvas y superficies . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .