Cono convexo

Un cono convexo en álgebra lineal es un subconjunto de un espacio vectorial sobre un campo ordenado que se cierra bajo combinaciones lineales con coeficientes positivos.

Definición

Un subconjunto de un espacio vectorial es un cono convexo si pertenece a cualquier escalar positivo y cualquiera de . $C$ $V$ ${\ estilo de visualización \ alfa x + \ beta y}$ $C$ $\Alfa Beta$ $x, y$ $C$

La definición se puede escribir de manera más concisa: para cualquier número positivo . $\alfa C+\beta C=C$ $\Alfa Beta$

El concepto es significativo para cualquier espacio vectorial en el que exista el concepto de un escalar "positivo", como el espacio sobre números racionales , algebraicos o (más a menudo) reales .

El conjunto vacío, el espacio y cualquier subespacio lineal del espacio (incluido el subespacio trivial { 0 }) son conos convexos según esta definición. Otros ejemplos son el conjunto de todos los productos por un número positivo de un vector arbitrario de , o la ortante positiva del espacio (el conjunto de todos los vectores que tienen coordenadas positivas). $V$ $V$ $v$ $V$ $\mathbb{R} ^{n}$

Un ejemplo más general es el conjunto de todos los vectores tales que a es un escalar positivo y es un elemento de algún subconjunto convexo del espacio . En particular, si es un espacio vectorial normado y es una bola abierta (resp. cerrada) en , que no contiene 0, esta construcción da un cono circular convexo abierto (resp. cerrado ) . $\lambda x$ $\lambda$ $X$ $X$ $V$ $V$ $X$ $V$

La intersección de dos conos convexos en el mismo espacio vectorial es nuevamente un cono convexo, pero la unión puede no serlo. [1] La clase de conos convexos está cerrada bajo cualquier mapeo lineal . En particular, si es un cono convexo, entonces cono convexo y su opuesto , y es el subespacio lineal más grande contenido en [2] . Tal subespacio se llama cuchilla . [3] $C$ ${\ estilo de visualización -C}$ $C\cap -C$ $C$

Conos convexos y conos lineales

Si es un cono convexo, entonces para cualquier escalar positivo y cualquier vector del vector se encuentra en . De ello se deduce que un cono convexo es un caso especial de un cono lineal . $C$ $\alfa$ $X$ $C$ ${\ estilo de visualización \ alfa x = (\ alfa / 2) x + (\ alfa / 2) x}$ $C$ $C$

Definiciones alternativas

De lo anterior se deduce que un cono convexo puede definirse como un cono lineal que se cierra bajo combinaciones convexas , o simplemente bajo suma . Más brevemente, un conjunto es un cono convexo si y sólo si y para cualquier escalar positivo . [cuatro] $C$ ${\ estilo de visualización \ alfa C = C}$ ${\ estilo de visualización C+C=C}$ $\alfa$

También se debe tener en cuenta que la frase "escalares positivos " en la definición de un cono convexo se puede reemplazar con "escalares no negativos que no son simultáneamente cero". $\Alfa Beta$ $\Alfa Beta$

Propiedades de un cono convexo

La intersección de cualquier número de conos convexos es nuevamente un cono convexo. Así, los conos convexos forman una familia cerrada (por la operación de intersección).
El casco cónico es el cono convexo más pequeño que contiene el conjunto dado. $\nombre del operador {pos}(X)$

Conos obtusos y afilados

De acuerdo con las definiciones anteriores, si es un cono convexo, entonces también es un cono convexo. Un cono convexo se dice agudo u obtuso , según le pertenezca o no el vector nulo 0 [5] . A veces utilizan los términos puntiagudo y, en consecuencia, contundente [4] [6] . $C$ ${\displaystyle C\taza \{0\))$

Los conos obtusos se pueden excluir de la definición de cono convexo reemplazando las palabras "no negativo" por "positivo" en las condiciones impuestas a . El término " agudo " a menudo se usa en un sentido diferente: para conos cerrados que no contienen líneas completas (es decir, un subespacio no trivial del espacio circundante), es decir, lo que se llama un cono "protuberante" a continuación. $\Alfa Beta$

Conos sobresalientes (afilados)

Se dice que un cono convexo es plano si contiene algún vector distinto de cero y su opuesto , y que sobresale en caso contrario [6] . Los conos que sobresalen a menudo también se llaman agudos . $X$ $-X$

Un cono obtuso convexo siempre es un cono que sobresale, pero lo contrario no siempre es cierto. Un cono convexo sobresale si y solo si . Es decir, si y solo si no contiene un subespacio lineal no trivial . $C$ $C\cap -C\subseteq \{0\}$ $C$ $V$

Conos poliédricos

En 1935, G. Weyl demostró la equivalencia de las siguientes dos definiciones de un cono poliédrico :

Un cono poliédrico es un conjunto de combinaciones lineales con coeficientes no negativos de un conjunto finito fijo de vectores . Estos vectores se llaman generadores de cono . $C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R}_{\geq 0},v_{i }\en \mathbb {R} ^{n}\}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots,v_{i))$
Un cono poliédrico es una intersección de un conjunto finito de semiespacios (cerrados) cuyo hiperplano de soporte pasa por el origen. De manera equivalente, se puede hablar de un conjunto de soluciones a un conjunto finito de desigualdades lineales homogéneas.

Conos poliédricos racionales

Un cono poliédrico se llama racional si todos sus generadores tienen coordenadas enteras.

Medios espacios

Un hiperplano (lineal) de un espacio es el subespacio lineal propio más grande posible de un espacio . Un semiespacio abierto ( resp. cerrado ) de un espacio es un subconjunto del espacio definido por la condición (resp. ), donde es cualquier función lineal de escalares en su campo. El hiperplano definido por la ecuación es el hiperplano límite para . $V$ $V$ $V$ $H$ $V$ ${\ estilo de visualización L (x)> 0}$ ${\ estilo de visualización L (x) \ geqslant 0}$ $L$ $V$ ${\ estilo de visualización L (v) = 0}$ $H$

Los medios espacios (abiertos o cerrados) son conos convexos. Sin embargo, cualquier cono convexo que no sea todo el espacio debe estar contenido en algún semiespacio cerrado del espacio . De hecho, un cono convexo topológicamente cerrado es la intersección de todos los semiespacios cerrados que lo contienen. Una declaración similar es cierta para un cono convexo topológicamente abierto. $C$ $V$ $H$ $V$

El semiespacio perfecto de un espacio se define recursivamente de la siguiente manera: si tiene dimensión cero, entonces es el conjunto , de lo contrario, es el semiespacio abierto del espacio junto con el semiespacio perfecto del hiperplano límite para [ 7] . En otras palabras, esto es análogo a la noción de una bandera para medios espacios. $V$ $V$ $\{0\}$ $H$ $V$ $H$

Todo semiespacio perfecto sobresale y, además, todo cono que sobresale está contenido en un semiespacio perfecto. En otras palabras, los semiespacios perfectos son conos que sobresalen al máximo (por inclusión). Se puede demostrar que cualquier cono sobresaliente agudo (independientemente de si es topológicamente cerrado o abierto) es la intersección de todos los semiespacios perfectos que lo contienen.

Sección y proyección de conjuntos convexos

Sección del plano

Un hiperplano afín de un espacio es cualquier subconjunto de un espacio de la forma , donde es un vector y es un hiperplano (lineal). $V$ $V$ ${\ estilo de visualización v + H}$ $v$ $V$ $H$

La siguiente afirmación se deriva de la propiedad de inclusión en semiespacios. Sea un semiespacio abierto en y , donde es un hiperplano límite y es cualquier vector en . Sea un cono lineal contenido en . Entonces es un cono convexo si y solo si el conjunto es un subconjunto convexo del hiperplano (es decir, un conjunto que es cerrado bajo combinaciones convexas ). $q$ $V$ ${\ estilo de visualización A = H + v}$ $H$ $q$ $v$ $q$ $C$ $q$ $C$ $C'=C\cap A$ $A$

Como consecuencia de este resultado, todas las propiedades de los conjuntos convexos en un espacio afín tienen un análogo para los conos convexos contenidos en un semiespacio abierto fijo.

Sección esférica

Si se da una norma | • | en el espacio , definimos la esfera unitaria en como el conjunto $V$ $V$

S=\{x\en V\;:\;|x|=1\}.

Si los valores | • | son escalares en , entonces un cono de línea en es un cono convexo si y solo si su sección esférica (el conjunto de sus vectores con norma unitaria ) es un subconjunto convexo en el siguiente sentido: para cualesquiera dos vectores con todos los vectores en el camino más corto de en en mentira en . $V$ $C$ $V$ $C\cap S$ $S$ ${\ estilo de visualización u, v \ en C}$ $u\neq-v$ $tu$ $v$ $S$ $C$

El doble cono

Sea un cono convexo en un espacio vectorial real con producto escalar . El doble cono k es el conjunto [8] [9] $C\subconjunto V$ $V$ $C$

\{v\in V\;:\;\forall w\in C,\langle w,v\rangle \geqslant 0\}.

También es un cono convexo. Si coincide con su dual, se llama auto-dual . $C$ $C$

Otra definición común del cono dual es un cono en espacio dual : $C\subconjunto V$ $C^{\ast}$ $V^{\ast}$

C^{*}:=\left\{v\in V^{*}\;:\;\forall w\in C,v(w)\geqslant 0\right\}.

En otras palabras, si es el espacio dual del espacio , entonces el cono dual es el conjunto de funciones lineales que no son negativas en el cono . Si aceptamos que es un espacio dual continuo , entonces este es el conjunto de funciones lineales continuas que son no negativas en . [10] Tal definición no requiere la presencia de un producto interior en el espacio . $V^{\ast}$ $V$ $C$ $V^{\ast}$ $C$ $V$

En espacios de dimensión finita, ambas definiciones del cono dual son esencialmente equivalentes, ya que cualquier producto interno está asociado con un isomorfismo lineal (asignación lineal no degenerada) de a , y este isomorfismo toma el cono dual (a ) de la segunda definición al cono dual de la primera definición. $V^{\ast}$ $V$ $V^{\ast}$

Orden parcial definido por un cono convexo

Un cono convexo saliente agudo genera un orden parcial " " en , definido de tal manera que si y sólo si . (Si el cono es plano, la misma definición solo da el preorden ). Las sumas y la multiplicación por un escalar positivo de la desigualdad correcta con respecto a ese orden nuevamente dan las desigualdades correctas. Un espacio vectorial con tal orden se llama espacio vectorial ordenado . Cono $C$ $\leqslant$ $V$ $x \leqslant y$ ${\ estilo de visualización yx \ en C}$

P=\left\{x:x\in V,x\geqslant 0\right\}.

se llama cono positivo [6] .

Los ejemplos incluyen el producto ordinal [11] sobre vectores reales ( ) y el orden de Löwner [12] $\mathbb{R} ^{n}$

Cono convexo propio

El término cono propio ( convexo ) se define de varias maneras según el contexto. A menudo significa un cono convexo sobresaliente que no contiene ningún hiperplano del espacio , tal vez con otras restricciones impuestas, como el cierre topológico (y por lo tanto el cono será nítido) o la apertura topológica (el cono será obtuso) [13] . Algunos autores usan el término "cuña" para lo que se denomina en este artículo un cono convexo, y el término "cono" se refiere a lo que en el artículo se denomina un cono afilado que sobresale, o lo que se acaba de llamar un cono propio. cono convexo. $V$

Ejemplos de conos convexos

Sea un subconjunto convexo cerrado del espacio de Hilbert , el cono normal para un conjunto desde un punto hasta está dado por una fórmula. [2] $k$ $V$ $k$ $X$ $k$

N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,xx^{*}\rangle \geqslant 0\ Correcto\}.

Sea dado un subconjunto convexo cerrado del espacio , el cono tangente al conjunto desde un punto viene dado por la fórmula [14] $k$ $V$ $k$ $X$

T_{K}(x)=\overline {\bigcup_{{h>0}}{\tfrac {1}{h}}(Kx)}.

Sea un subconjunto convexo cerrado del espacio de Hilbert , el cono normal exterior al conjunto desde el punto hasta está dado por la fórmula [15] $k$ $V$ $k$ $X$ $k$

N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,xx^{*}\rangle \leqslant 0\right\} .

Dado un subconjunto convexo cerrado de un espacio de Hilbert , el cono tangente al conjunto en un punto desde puede definirse como el cono polar al cono normal exterior : [16] [17] $k$ $V$ $k$ $X$ $k$ $N_{K}(x)$

Los conos normales y tangentes son cerrados y convexos. Son conceptos importantes en el campo de la programación convexa , las desigualdades variacionales .

Véase también

Combinaciones relacionadas

Notas

↑ Rockafellar, 1973 , p. treinta.
↑ 1 2 Rockafellar, 1973 , p. 32.
↑ Krasnoselsky, Lifshits, Sobolev, 1985 , p. 9.
↑ 1 2 Bourbaki, 1959 , p. treinta.
↑ Zorkaltsev, Kiseleva, 2007 .
↑ 1 2 3 Edwards, 1969 , pág. 194.
↑ Stolfi, 1991 , pág. 139.
↑ Paniña, 2009 .
↑ Boyd, Vandenberghe, 2004 .
↑ Kutateladze, 2009 , pág. 1127.
↑ Un producto ordinal es una orden generada sobre un producto directo de conjuntos parcialmente ordenados. Ver Stanley, 1990 para más detalles.
↑ Se puede encontrar una definición de orden de Löwner en Marshall, Olkin, 1983
↑ Schaefer, 1971 , pág. 258.
↑ Panaginotopoulos, 1989 , pág. 171.
↑ Panaginotopoulos, 1989 , pág. 62.
↑ Rockafellar, 1973 , p. 138.
↑ Leuchtweis, 1985 , pág. 54.

Enlaces

Nicolás Bourbaki. Espacios vectoriales topológicos. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1987. - (Elementos de las matemáticas). — ISBN 978-3-540-13627-9 .
Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Optimizacion convexa. - Cambridge, Nueva York, Melbourne, Madrid, Ciudad del Cabo, Singapur: Cambridge University Press, 2004. - P. 51. - ISBN 78-0-521-83378-3.

Traducción al ruso: N. Bourbaki. Espacios vectoriales topológicos. - Moscú: Editorial de literatura extranjera, 1959. - (Elementos de matemáticas).

RT Rockafellar. Análisis convexo . — Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, 1970.

Traducción al ruso: R. Rockafellar. Análisis convexo. - Moscú: Mir, 1973.

C. Zălinescu. Análisis convexo en espacios vectoriales generales. - River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc, 2002. - Pág. xx+367. - ISBN 981-238-067-1 .
V. I. Zorkaltsev, M. A. Kiseleva. Sistemas de desigualdades lineales (libro de texto). - Irkutsk: IGU, 2007. - P. 21 Capítulo 1.5 Conos.
MAMÁ. Krasnoselsky, E.A. Lifshitz, A. V. Sobolev. SISTEMAS LINEALES POSITIVOS – Método de operadores positivos. - "Nauka", Edición principal de literatura física y matemática, 1985. - (Teoría y métodos de análisis de sistemas).
Stolfi. Geometría proyectiva orientada: un marco para cálculos geométricos. - San Diego, Londres: Academic Press, Inc., 1991. - ISBN 0-12-672025-8 .
Moreau JJ Aspectos numéricos del proceso de barrido. computar MétodosAppl. mecánico Ing. 177 (1999) 329-349 https://web.archive.org/web/20150616073514/http://www.continuousphysics.com/ftp/pub/test/files/physics/papers/moreau.99.pdf
A. Marshall, I. Olkin. Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones. - M. : "Mir", 1983.
R. Stanley. Combinatoria enumerativa. - M. : "Mir", 1990. - ISBN 5-030001348 -2.
P. Panaginotopoulos. Desigualdades en mecánica y sus aplicaciones: funciones convexas y no convexas de la energía. - M. : "Mir", 1989. - ISBN 5-03-000498-X .
K. Leuchtweiss. Conjuntos convexos. - Moscú: "Nauka" Edición principal de literatura física y matemática, 1985. - ISBN 5-03-000498-X .
Panina G.Yu. Variedades tóricas. Introducción a la geometría algebraica. — Dubná, 2009.
R.Edwards. Análisis Funcional: Teoría y Aplicaciones. - M. : "Mir", 1969.
H. Schaefer. Espacios vectoriales topológicos. - M. : "Mir", 1971.
S. S. Kutateladze. Problemas polivalentes de geometría convexa // Siberian Mathematical Journal. - "Mir", 2009. - V. 50 , núm. 5 .