Punto fijo hiperbólico

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Un punto fijo hiperbólico ( punto hiperbólico ) es un concepto fundamental utilizado en la teoría de sistemas dinámicos en relación con mapeos ( difeomorfismos ) y campos vectoriales . En el caso de una aplicación, un punto hiperbólico es un punto fijo en el que todos los multiplicadores ( los valores propios de la linealización de la aplicación en un punto dado) son módulos diferentes de uno. En el caso de campos vectoriales, un punto hiperbólico es un punto singular en el que todos los valores propios de la linealización del campo tienen partes reales distintas de cero. $\mu _{i}$ $\lambda _{i}$

Variedades estables e inestables

En un punto hiperbólico de un campo vectorial (o difeomorfismo), el espacio tangente se descompone en una suma directa de dos subespacios invariantes y , que son invariantes bajo el operador de la parte lineal del campo: . Los subespacios y están definidos respectivamente por las condiciones , en el caso de campos vectoriales, y por las condiciones , en el caso de difeomorfismos. Estos subespacios son las variedades invariantes de un campo vectorial linealizado (difeomorfismo) en un punto dado, se denominan inestable y estable , respectivamente. ${\ estilo de visualización T^{u}}$ $T^{s}$ $\mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}$ ${\ estilo de visualización T^{u}}$ $T^{s}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} \ lambda _ {i}> 0}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} \ lambda _ {i} <0}$ ${\ estilo de visualización | \ mu _ {i} |> 1}$ ${\ estilo de visualización | \ mu _ {i} | <1}$

Las variedades inestables y estables del campo vectorial no lineal original (difeomorfismo) son sus variedades invariantes y , tangentes respectivamente a los subespacios y en el punto en consideración y que tienen las mismas dimensiones que . Las variedades y están definidas de forma única [1] . Nótese que las variedades y existen no sólo en el caso de puntos singulares hiperbólicos, sino que en el caso de un punto hiperbólico, la suma de sus dimensiones es igual a la dimensión de todo el espacio, y no hay otras variedades invariantes que pasen por este punto singular [1] . ${\ estilo de visualización W ^ {u}}$ ${\ estilo de visualización W ^ {s}}$ ${\ estilo de visualización T^{u}}$ $T^{s}$ ${\ estilo de visualización T^{u}}$ $T^{s}$ ${\ estilo de visualización W ^ {u}}$ ${\ estilo de visualización W ^ {s}}$ ${\ estilo de visualización W ^ {u}}$ ${\ estilo de visualización W ^ {s}}$

Teoremas sobre puntos hiperbólicos

Teorema de Grobman-Hartman . En la vecindad de un punto hiperbólico de un difeomorfismo no lineal (campo vectorial), la dinámica difiere de la del mapeo lineal correspondiente (campo vectorial) por un cambio continuo de coordenadas .

Teorema de Hadamard-Perron. [2] [3] En una vecindad de un punto hiperbólico de un campo vectorial suave (o analítico ) o difeomorfismo, hay variedades inestables y estables y la misma clase de suavidad (analítica, respectivamente) que pasa por el punto dado. ${\ estilo de visualización W ^ {u}}$ ${\ estilo de visualización W ^ {s}}$

el teorema de Chen. [4] [5] Si, en una vecindad de un punto hiperbólico, dos campos vectoriales uniformes (difeomorfismos) son formalmente equivalentes (es decir, se traducen entre sí mediante un cambio formal de variables dado por series de potencias formales ), entonces son -suavemente equivalentes. $C^\infty$ $C^\infty$

Véase también

Literatura

I. G. Sinaí . Problemas modernos de la teoría ergódica, - M .: Fizmatlit, 1995 (p. 137).
V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Ecuaciones diferenciales ordinarias, Sistemas dinámicos - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderno problema estera. Fundam. direcciones, 1, VINITI, M., 1985, 7–140
Marsden J., McCracken M. Cycle bifurcación de nacimiento y sus aplicaciones. M.: Mir, 1980.
Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Bifurcaciones no locales. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 p. — ISBN 5-900916-34-0 .
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos con una revisión de los logros recientes / Per. De inglés. edición A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .

Notas

↑ 1 2 V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Ecuaciones diferenciales ordinarias, Sistemas dinámicos - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. direcciones, 1, VINITI, M., 1985, capítulo 3. . Consultado el 24 de marzo de 2018. Archivado desde el original el 24 de marzo de 2018. (indefinido)
↑ V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Ecuaciones diferenciales ordinarias, Sistemas dinámicos - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. direcciones, 1, VINITI, M., 1985, p.61 . Consultado el 24 de marzo de 2018. Archivado desde el original el 24 de marzo de 2018. (indefinido)
↑ Marsden J., McCracken M. Ciclo de bifurcación de nacimiento y sus aplicaciones. M.: Mir, 1980.
↑ V. I. Arnold, Yu. S. Ilyashenko . Ecuaciones diferenciales ordinarias, Sistemas dinámicos - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Fundam. direcciones, 1, VINITI, M., 1985, p.72 . Consultado el 24 de marzo de 2018. Archivado desde el original el 24 de marzo de 2018. (indefinido)
↑ Chen, Kuo-Tsai . Equivalencia y descomposición de campos vectoriales alrededor de un punto crítico elemental. amer Matemáticas J. 85 (1963), pág. 693-722.