Grupo de rotación

Grupo de rotación ( grupo de giro ) en mecánica y geometría : un conjunto de todas las rotaciones alrededor del origen en el espacio euclidiano tridimensional . Por definición, una rotación alrededor del origen es una transformación lineal que conserva la longitud de los vectores y también conserva la orientación (el trío de vectores derecho e izquierdo). El grupo de rotación es isomorfo al grupo de matrices ortogonales reales con determinante 1 (llamado grupo ortogonal especial de dimensión 3 - ). $\mathbb{R} ^{3}$ $3\veces 3$ ${\ matemáticas {SO}} (3)$

Propiedades

Todos los grupos de rotación , incluidos y , son grupos de Lie . ${\ matemáticas {SO}} (n)$ ${\ matemáticas {SO}} (3)$ $\mathrm {SO} (2)$
Los grupos de rotaciones y en general para son no conmutativos. ${\ matemáticas {SO}} (3)$ ${\ matemáticas {SO}} (n)$ $norte > 2$
El grupo es difeomorfo a un espacio proyectivo de dimensión 3. Por el teorema de rotación de Euler, cualquier rotación puede estar dada por una línea recta (el eje de rotación dado por el vector unitario ) que pasa por el centro de coordenadas y un ángulo . Se podría asociar cada rotación con un vector y así identificar los elementos del grupo de rotación con puntos de la bola de radio . Sin embargo, tal comparación no sería biyectiva, ya que la misma rotación corresponde a los ángulos y . Por lo tanto, identificando puntos diametralmente opuestos en el límite de la pelota, obtenemos un espacio proyectivo . ${\ matemáticas {SO}} (3)$ $v$ $\varphi\en [-\pi,\pi]$ $\varphiv$ $\Pi$ $\Pi$ $-\Pi$
El grupo cubriente universal es un grupo unitario especial , o lo que es lo mismo, un grupo de cuaterniones de módulo unitario (que actúan sobre el espacio tangente a la esfera unitaria por conjugaciones). En este caso, el revestimiento es de dos hojas. ${\ matemáticas {SO}} (3)$ ${\matemáticas {SU}}(2)$

Variaciones y generalizaciones

A veces, los grupos de rotación se denominan grupo ortogonal especial : el grupo de rotación del espacio euclidiano bidimensional. Un caso especial es el grupo de rotaciones planas o U(1) ; a diferencia del caso de la rotación del espacio tridimensional, es conmutativa . ${\ matemáticas {SO}} (n)$ $norte$ $\mathrm {SO} (2)$

Véase también

Literatura

Curso de Álgebra de Vinberg E. B. - 3ra ed. - M. : Prensa Factorial, 2002. - 544 p. - 3000 copias. — ISBN 5-88688-060-7 .
Bogopolsky OV Introducción a la teoría de grupos. - M. : Moscú-Izhevsk: IKI, 2002. - 148 p. — ISBN 5-93972-165-6 .