El problema de Apolonio

La tarea de Apolonio  es construir un círculo tangente a tres círculos dados utilizando un compás y una regla.

El problema se resuelve aplicando dos operaciones: inversión y transición a círculos concéntricos.

Historia

Según la leyenda, el problema fue formulado por Apolonio de Perge alrededor del 220 a. mi. en el libro "Toque" bajo el seudónimo Epaphai (Ἐπαφαί=Epaphaí. "Tangencias"), que se perdió, pero fue restaurado en 1600 por François Vieta , "Apolonio galo", como lo llamaban sus contemporáneos. La obra fue mencionada por Pappus de Alejandría en el siglo IV.

En 1816,  J. Gergonne dio una elegante solución al problema de Apolonio.

Los sistemas modernos de matemáticas informáticas tienen operadores especiales para resolver este problema. En Maple , este es el operador Apollonius del paquete de geometría [1] .

Nota

En su ensayo "Toque" Apolonio tenía en mente los tres círculos de la geometría de contacto, es decir, círculos con un radio de 0 (punto) a infinito (línea recta). Así, hay 10 casos globales para el problema de Apolonio:

1. Usa un compás y una regla para dibujar un círculo tangente a tres puntos. Solución: conecta estos puntos. Dibujemos las medianas perpendiculares a los segmentos resultantes. Se cruzarán en un punto. Este punto es el centro del círculo deseado.
2. con compás y regla, construya una circunferencia tangente a dos puntos (en adelante Α y Β) y una recta (en adelante a). Primero dibujemos una línea recta ΑΒ. Solución:
   1. Si AB no es paralela a a, entonces encontramos su intersección C. Construyamos la media geométrica de los segmentos ΑС y ΒС. Dejemos a un lado los segmentos СΚ y CK' iguales a él en la línea a. Los círculos circunscritos alrededor de ΔΑΒΚ y ΔΑΒΚ' son los deseados.
   2. Si ΑΒ||a, entonces dibujamos la bisectriz perpendicular al segmento ΑΒ y marcamos el punto Κ de su intersección con la línea a. El círculo circunscrito alrededor de ΔΑΒΚ es el requerido.
3. Usa un compás y una regla para construir un círculo tangente a un punto y dos líneas. Solución:
   1. Si las líneas no son paralelas, toma el punto de su intersección. Llamemos al ángulo entre estas líneas α. Unamos el punto de intersección de las rectas con el punto Μ dado. Llamemos al segmento resultante a. Inscribamos en el ángulo α una circunferencia arbitraria que corta a a, y marquemos su centro Ο y el punto de intersección con a (cada uno dará su propia solución) Α. Dibujemos una línea ΑΟ. Dibujemos una línea recta paralela a él a través de Μ y la bisectriz del ángulo α. Su intersección será el centro del círculo deseado.
   2. Si las líneas son paralelas, construimos una línea ΑΒ (Α y Β son puntos de intersección con las líneas dadas) perpendicular a ellas. Dibujemos la mediatriz b al segmento ΑΒ. Dibujemos una circunferencia con centro en un punto dado y de radio igual a la mitad de ΑΒ. Su intersección con b será el centro del círculo deseado.
4. Construya un círculo tangente a tres líneas rectas usando una regla y un compás. Solución:
   1. Si no hay paralelos entre ellos, marcamos los puntos de su intersección Α, Β y C. El círculo inscrito en ΔΑΒС es el requerido.
   2. Si solo 2 líneas son paralelas, entonces el único punto de intersección de las bisectrices del ángulo formado por las líneas paralelas y la tercera línea será el centro del círculo deseado.
   3. Si las tres líneas son paralelas entre sí, entonces el círculo no existe.
5. con compás y regla, construya una circunferencia tangente a dos puntos (en adelante Α y Β) y la circunferencia (en adelante ω).
   1. Si A y B no están en ω, entonces dibujamos un círculo Ω que contiene los puntos A y B y tiene puntos comunes con ω. Dibuje el eje radical Ω y ω y córtelo con AB. Dibujemos una tangente a ω desde el punto de intersección y marquemos el punto tangente Κ. Describamos un círculo alrededor de ΔΑΒΚ. Ella es buscada. Cada tangente dará su propia solución.
   2. Si solo A se encuentra en ω, entonces dibujamos una tangente a ω en el punto A y construimos un punto B' simétrico a B con respecto a A. Luego, dibujamos un círculo a través de A, B y un punto simétrico a B' con respecto a A. a la tangente trazada. Ella será buscada. Si B se encuentra en una tangente, entonces dicho círculo no existe. Si BA es perpendicular a la tangente, entonces el círculo deseado es un círculo con diámetro AB.
   3. Si A y B están en ω, ω es el requerido.
6. Usa un compás y una regla para construir un círculo tangente a un punto y dos círculos.
7. Usa un compás y una regla para construir un círculo tangente a dos líneas y al círculo.
8. Usa un compás y una regla para construir un círculo tangente a una línea y dos círculos.
9. Usa un compás y una regla para construir un círculo tangente a un punto, una línea y un círculo.
10. Usa un compás y una regla para construir un círculo tangente a tres círculos.

Acerca de las decisiones

• La solución más conocida se basa en el uso de la inversión .

Notas

1. ↑ Kirsanov M. N. , Kuznetsova O. S.  Álgebra y geometría. Colección de tareas y soluciones utilizando el sistema Maple: un tutorial. — M. : Infra-M, 2016. — 272 p. — ISBN 978-5-16-012325-7 .

Literatura

• Argunov B. I., Balk M. B. . Construcciones geométricas sobre el plano . - M. : Uchpedgiz, 1957. - 268 p.
• Pappus de AlejandríaPappus d'Alexandrie: La colección matemática  (francés) . — París, 1933.
• Simon, M. Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert  (alemán) . - Berlín: Teubner, 1906. - S. 97-105.
• Camerer, JG Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscritois, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observacionibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia  (lat.) . - Gothae: Ettinger, 1795.

Enlaces

• Boyd, DWEl empaquetamiento osculatorio de una esfera tridimensional  // Canadian  Journal of Mathematics : diario. - 1973. - vol. 25 . - P. 303-322 . -doi : 10.4153 / CJM-1973-030-5 .
• Gisch D., Ribando JM El problema de Apolonio: un estudio de las soluciones y sus conexiones  //  Revista estadounidense de investigación de pregrado: revista. - 2004. - vol. 3 . - P. 15-25 .
• Pregúntale al Dr. solución matemática . foro matemático. Recuperado: 5 de mayo de 2008. (indefinido)
• Weisstein, el problema de Eric W. Apollonius  en Wolfram MathWorld .
• Austin, David. Cuando besar implica trigonometría . Columna destacada en el sitio web de la American Mathematical Society (marzo de 2006). Recuperado: 5 de mayo de 2008. (indefinido)

diccionarios y enciclopedias	Gran danés