Problema kepleriano
Para el problema de empaquetamiento más cercano de las bolas, consulte la conjetura de Kepler .En mecánica clásica, el problema de Kepler es un caso especial del problema de dos cuerpos, en el que dos cuerpos interactúan a través de una fuerza central que varía en magnitud inversamente con el cuadrado de la distancia entre ellos. La fuerza puede ser atractiva o repulsiva. La tarea es encontrar la dependencia de las coordenadas o velocidades de los cuerpos en el tiempo para masas dadas y valores iniciales de velocidades y coordenadas. Utilizando la mecánica clásica, la solución se puede expresar en términos de órbitas keplerianas utilizando los seis elementos orbitales .
El problema de Kepler lleva el nombre de Johannes Kepler , quien propuso las leyes del movimiento planetario de Kepler (que son parte de la mecánica clásica y resuelven el problema de Kepler para las órbitas planetarias) e investigó los tipos de fuerzas que deberían conducir a la existencia de órbitas que satisfagan las leyes de Kepler. (el llamado problema de Kepler inverso).
Aplicaciones
El problema de Kepler se manifiesta en muchos casos, y algunos no están relacionados con la física y fueron estudiados por el mismo Kepler.
El problema de Kepler es importante para la mecánica celeste, la teoría de la gravedad de la ley del inverso del cuadrado de Newton . Los ejemplos incluyen el movimiento de los satélites alrededor de los planetas, el movimiento de los planetas alrededor de sus soles, el movimiento de las estrellas binarias entre sí. El problema de Kepler también es importante para el caso del movimiento de dos partículas cargadas entre las que actúan las fuerzas de Coulomb , obedeciendo también a la ley del inverso del cuadrado. Los ejemplos incluyen el átomo de hidrógeno , el positronio y el muonio , todos los cuales juegan un papel importante en el modelado de sistemas para probar teorías físicas y medir constantes físicas.
El problema de Kepler y el problema del oscilador armónico simple son dos de los problemas más fundamentales de la mecánica clásica. Estos son los dos únicos casos que tienen órbitas cerradas, es decir, el objeto vuelve al mismo punto de partida con la misma velocidad ( problema de Bertrand ). A menudo, el problema de Kepler se usa para desarrollar nuevos métodos de mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana , la mecánica hamiltoniana , la ecuación de Hamilton-Jacobi , las variables de ángulo de acción . El problema de Kepler conserva el vector de Laplace-Runge-Lenz , que se ha generalizado a otras interacciones. La solución del problema kepleriano permite a los científicos demostrar que el movimiento de los planetas puede describirse exhaustivamente mediante las leyes de la mecánica clásica y la teoría clásica de la gravedad de Newton ; la explicación científica del movimiento de los planetas desempeñó un papel importante en la difusión de la iluminación.
Definición matemática
Fuerza central que actúa sobre dos cuerpos, que varía en magnitud según la ley del inverso del cuadrado en función de la distancia entre los cuerpos:
,
donde es una constante y es un vector unitario dirigido a lo largo de la línea recta que conecta los dos cuerpos. La fuerza puede ser atractiva ( ) o repulsiva ( ) .
El potencial escalar correspondiente es:
.