El problema de Kepler en la relatividad general

El problema de Kepler en general es un problema de encontrar el movimiento de dos cuerpos esféricamente simétricos que interactúan gravitacionalmente. En la teoría clásica de la gravitación, el propio Isaac Newton encontró la solución a este problema: resultó que los cuerpos se moverán a lo largo de secciones cónicas, dependiendo de las condiciones iniciales, a lo largo de elipses, parábolas o hipérbolas. En el marco de la teoría general de la relatividad (RG), desde un punto de vista purista , esta tarea parece estar mal planteada, ya que el modelo de un cuerpo absolutamente rígido es imposible en la física relativista (ver paradoja de Bell , Dureza de Born ) , y los cuerpos no absolutamente rígidos no interactuarán esféricamente - simétricos. Otro enfoque involucra la transición a cuerpos puntuales, lo cual es legítimo en la física newtoniana pero causa problemas en la relatividad general. Además, además de las posiciones y velocidades de los cuerpos, también es necesario establecer el campo gravitatorio inicial (métrico) en todo el espacio: el problema de las condiciones iniciales en la relatividad general. Por estas razones, no existe una solución analítica exacta al problema de Kepler en la relatividad general (similar al problema de los tres cuerpos en la teoría newtoniana de la gravedad ), pero sí un conjunto de métodos que permiten calcular el comportamiento de los cuerpos dentro de este problema con la precisión requerida: aproximación del cuerpo de prueba , formalismo post-newtoniano , relatividad numérica .

Contexto histórico

En 1859, el astrónomo francés, director del Observatorio de París Urbain Jean Joseph Le Verrier , descubrió que la precesión de la órbita de Mercurio , determinada a partir de las observaciones, no coincide del todo con la predicha teóricamente: el perihelio de la órbita se mueve un poco más rápido que se sigue de la teoría de Newton después de tener en cuenta todas las perturbaciones interplanetarias [2] . El efecto fue pequeño - 38" por siglo, pero superó significativamente los errores de medición - alrededor de 1". La trascendencia del descubrimiento fue grande y muchos físicos, astrónomos y mecánicos celestes del siglo XIX se ocuparon de este tema. Se han propuesto muchas soluciones en el marco de la física clásica, siendo las más famosas: la presencia de una nube invisible de polvo interplanetario cerca del Sol, el achatamiento (momento cuadripolar) del Sol, el satélite no descubierto de Mercurio o el nuevo planeta Vulcano . más cerca del Sol [3] [4] . Dado que ninguna de estas explicaciones superó la prueba de la observación, algunos físicos comenzaron a presentar hipótesis más radicales de que es necesario cambiar la ley de la gravedad misma, por ejemplo, cambiar el exponente o agregar términos según la velocidad de los cuerpos para el potencial [5] .

Sin embargo, la mayoría de estos intentos han resultado contradictorios. En sus trabajos sobre mecánica celeste [6] , Laplace demostró que si la interacción gravitatoria entre dos cuerpos no actúa instantáneamente (lo que equivale a la introducción de un potencial dependiente de la velocidad), entonces el momento no se conservará en el sistema de movimiento. planetas: parte del impulso se transferirá al campo gravitatorio, de forma similar a como sucede en la interacción electromagnética de cargas en la electrodinámica. Desde el punto de vista newtoniano, si la influencia gravitatoria se transmite a una velocidad finita y no depende de las velocidades de los cuerpos, entonces todos los puntos del planeta deberían ser atraídos hacia el punto donde el Sol estuvo un poco antes, y no hacia su ubicación simultánea. Sobre esta base, Laplace demostró que la excentricidad y los semiejes mayores de las órbitas en el problema de Kepler con una velocidad gravitatoria finita deben aumentar con el tiempo, experimentar cambios seculares. A partir de los límites superiores de los cambios en estas cantidades, resultantes de la estabilidad del sistema solar y el movimiento de la luna, Laplace demostró que la velocidad de propagación de la interacción gravitatoria newtoniana no puede ser inferior a 50 millones de velocidades de la luz [3] [5] .

¿Se comunica la atracción de un cuerpo a otro instantáneamente? El tiempo de transmisión, si fuera perceptible para nosotros, se mostraría predominantemente como una aceleración secular en el movimiento de la luna. Propuse este medio de explicar la aceleración observada en dicho movimiento, y encontré que para satisfacer las observaciones se debe atribuir a la fuerza de atracción una velocidad siete millones de veces mayor que la velocidad del rayo de luz. Y dado que ahora la causa de la ecuación secular - la Luna es bien conocida, podemos decir que la atracción se transmite a una velocidad de al menos cincuenta millones de veces la velocidad de la luz. Por tanto, sin temor a ningún error apreciable, podemos tomar la transferencia de la gravedad como instantánea.

- P. S. Laplace Exposición del sistema del Mundo París, 1797. [7]

El método de Laplace es correcto para generalizaciones directas de la gravedad newtoniana, pero puede no ser aplicable a modelos más complejos. Entonces, por ejemplo, en electrodinámica, las cargas en movimiento son atraídas/repelidas no desde las posiciones visibles de otras cargas, sino desde las posiciones que ocuparían actualmente si se movieran de manera uniforme y rectilínea desde las posiciones visibles; esta es una propiedad de Lienard. Potenciales de Wiechert [8] . Una consideración similar en el marco de la teoría general de la relatividad conduce al mismo resultado hasta términos del orden [9] . $(v/c)^{3}$

En un intento por evitar estos problemas entre 1870 y 1900, muchos científicos intentaron utilizar las leyes de la interacción gravitacional basadas en los potenciales electrodinámicos de Weber , Gauss , Riemann y Maxwell [10] . En 1890, Levy logró obtener órbitas estables y la cantidad adecuada de desplazamiento del perihelio combinando las leyes de Weber y Riemann. P. Gerber hizo otro intento exitoso en 1898 . Sin embargo, dado que los potenciales electrodinámicos iniciales resultaron ser incorrectos (por ejemplo, la ley de Weber no se incluyó en la teoría final del electromagnetismo de Maxwell), estas hipótesis fueron rechazadas como arbitrarias [1] [11] . Algunos otros intentos, como la teoría de G. Lorentz ( 1900 ), que ya utilizaba la teoría de Maxwell, dieron muy poca precesión [3] [12] .

Alrededor de 1904-1905, el trabajo de H. Lorentz , A. Poincaré y A. Einstein sentó las bases de la teoría especial de la relatividad , excluyendo la posibilidad de propagación de cualquier interacción más rápido que la velocidad de la luz . Así, se planteó la tarea de sustituir la ley newtoniana de la gravitación por otra, compatible con el principio de la relatividad, pero que diera efectos casi newtonianos a bajas velocidades y campos gravitatorios. Estos intentos fueron realizados por A. Poincaré (1905 y 1906), G. Minkowski (1908) y A. Sommerfeld (1910). Sin embargo, todos los modelos considerados dieron un cambio de perihelio demasiado pequeño [12] [13] .

En 1907, Einstein llegó a la conclusión de que para describir el campo gravitatorio es necesario generalizar la entonces teoría de la relatividad, ahora llamada especial. De 1907 a 1915, Einstein avanzó constantemente hacia una nueva teoría, usando su principio de relatividad como guía . De acuerdo con este principio, un campo gravitatorio uniforme actúa de la misma manera sobre toda la materia y, por lo tanto, no puede ser encontrado por un observador en caída libre. En consecuencia, todos los efectos gravitacionales locales son reproducibles en un marco de referencia acelerado y viceversa. Por lo tanto, la gravedad actúa como una fuerza de inercia debido a la aceleración del marco de referencia, como la fuerza centrífuga o la fuerza de Coriolis ; como todas estas fuerzas, la fuerza gravitacional es proporcional a la masa inercial . Como consecuencia de esta circunstancia, resulta que en diferentes puntos del espacio-tiempo, los marcos de referencia inerciales tienen aceleraciones entre sí. Esto solo se puede describir si sacrificamos la suposición clásica de que nuestro espacio está descrito por la geometría euclidiana y pasamos al espacio curvo de la geometría de Riemann. Además, la conexión entre el espacio y el tiempo resulta ser curva, lo que se manifiesta como una fuerza gravitatoria en condiciones normales [14] . Después de ocho años de trabajo (1907-1915), Einstein encontró una ley que mostraba cómo el espacio-tiempo es curvado por la materia que contiene: las ecuaciones de Einstein . La gravedad se diferencia de las fuerzas de inercia en que es causada por la curvatura del espacio-tiempo, que puede medirse invariablemente. Las primeras soluciones de las ecuaciones obtenidas, obtenidas por Einstein (aproximadamente) y Schwarzschild (exactamente), explicaron la precesión anómala de Mercurio y predijeron el doble de desviación de luz en comparación con las estimaciones heurísticas anteriores. Esta predicción de la teoría fue confirmada en 1919 por astrónomos ingleses.

Aproximación de un cuerpo de prueba

En este enfoque, se considera que la masa de un cuerpo m es despreciable en comparación con la masa del segundo M ; esta es una buena aproximación incluso para planetas que giran alrededor del sol, y casi ideal para naves espaciales. En este caso, podemos suponer que el primer cuerpo es de prueba, es decir, no perturba el campo gravitatorio del segundo cuerpo, sino que solo sigue las líneas geodésicas del espacio-tiempo formado por el segundo cuerpo. Dado que el problema de los dos cuerpos generalmente se considera en una escala mucho más pequeña que las cosmológicas, la influencia del término lambda en la métrica puede despreciarse y el campo gravitatorio de cualquier cuerpo esféricamente simétrico vendrá dado por la solución de Schwarzschild. El movimiento de un cuerpo ligero, en lo sucesivo denominado partícula, ocurre así a lo largo de las líneas geodésicas del espacio de Schwarzschild, si despreciamos las fuerzas de marea y la reacción de la radiación gravitacional.

Fue en esta aproximación que Einstein calculó por primera vez la precesión anómala del perihelio de Mercurio, que sirvió como la primera confirmación de la teoría general de la relatividad y resolvió uno de los problemas más famosos de la mecánica celeste en ese momento. Esta misma aproximación describe con precisión la desviación de la luz, otro famoso fenómeno predicho por la relatividad general. Al mismo tiempo, no es suficiente describir el proceso de reducción relativista de órbitas debido a la radiación gravitacional.

Introducción geométrica

En la geometría euclidiana ordinaria , se cumple el teorema de Pitágoras , que establece que el cuadrado de la distancia ds² entre dos puntos infinitamente cercanos en el espacio es igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas diferenciales

ds^{{2}}=dx^{{2}}+dy^{{2}}+dz^{{2}},\,\!

donde dx , dy y dz son las diferencias infinitesimales entre las coordenadas x , y , yz de los puntos en el sistema de coordenadas cartesianas . Ahora imagine un mundo en el que esto ya no sea cierto, y las distancias están dadas por la relación

ds^{{2}}=F(x,y,z)dx^{{2}}+G(x,y,z)dy^{{2}}+H(x,y,z)dz^ {{2}},\,\!

donde F , G y H son algunas funciones de posición. Esto no es difícil de imaginar, ya que vivimos en un mundo así: la superficie de la Tierra es curva, por lo que no se puede representar sin distorsión en un mapa plano. Los sistemas de coordenadas no cartesianas también pueden ser un ejemplo: en coordenadas esféricas ( r , θ , φ ), la distancia euclidiana se escribe como

ds^{{2}}=dr^{{2}}+r^{{2}}d\theta ^{{2}}+r^{{2}}\sin ^{{2}}\theta d\varfi ^{{2}}.\,\!

Finalmente, en el caso general, debemos suponer que las reglas pueden cambiar su longitud de coordenadas no solo al cambiar de posición, sino también al girar. Esto conduce a la aparición de términos cruzados en la expresión de la longitud

ds^{{2}}=g_{{xx}}dx^{{2}}+g_{{xy}}dxdy+g_{{xz}}dxdz+g_{{yy}}dy^{{2} }+g_{{yz}}dydz+g_{{zz}}dz^{{2}}\,\!

donde 6 funciones g xx , g xy etc. se transforman al cambiar de coordenadas como componentes de un tensor llamado métrico (o simplemente métrico), que determina todas las características del espacio en esta geometría riemanniana generalizada . En coordenadas esféricas, por ejemplo, no hay términos cruzados en la métrica, y sus únicos componentes distintos de cero son g rr = 1, g θθ = r ² y g φφ = r ² sen² θ.

Observamos específicamente que después de establecer el tensor métrico en algún sistema de coordenadas, toda la geometría del espacio de Riemann resulta estar rígidamente especificada y no cambia bajo las transformaciones de coordenadas. En pocas palabras, las coordenadas son números arbitrarios que solo indican un punto en el espacio, y la distancia medida por una regla física entre dos puntos fijos no depende de las coordenadas que les asignemos; es invariable al cambiar las cuadrículas de coordenadas.

En relatividad especial , Albert Einstein demostró que la distancia ds entre dos puntos en el espacio no es invariante, sino que depende del movimiento del observador. Esta distancia resulta ser una proyección sobre el espacio simultáneo de una cantidad verdaderamente invariable - un intervalo , que no depende del movimiento del observador, pero incluye, además de las coordenadas espaciales, la coordenada temporal de los puntos espacio-temporales. , llamados eventos

ds^{2}=c^{{2}}dt^{{2}}-dx^{{2}}-dy^{{2}}-dz^{{2}}.\,\!

De manera similar, uno puede reescribir el intervalo en coordenadas esféricas

ds^{2}=c^{{2}}dt^{{2}}-dr^{{2}}-r^{{2}}d\theta ^{{2}}-r^{{ 2}}\sin ^{{2}}\theta d\varphi ^{{2}}.\,\!

Esta fórmula es una generalización natural del teorema de Pitágoras y es válida en ausencia de curvatura del espacio-tiempo. Sin embargo, en la relatividad general , el espacio-tiempo es curvo, de modo que la "distancia" se expresa mediante la fórmula general

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^({\mu }}dx^{{\nu }}),\,\!

donde se aplica la regla de la suma de Einstein: por el índice que aparece arriba y abajo, la suma está implícita sobre todos sus valores, en este caso, cuatro (tres coordenadas espaciales y una de tiempo). Los valores exactos de los componentes métricos están determinados por la distribución de la sustancia gravitante, su masa, energía y cantidad de movimiento, a través de las ecuaciones de Einstein . Einstein derivó estas ecuaciones de las conocidas leyes de conservación de la energía y el momento; sin embargo, las soluciones a estas ecuaciones predijeron fenómenos previamente no observados, como la desviación de la luz, que luego se confirmaron.

Métrica de Schwarzschild

La única solución de las ecuaciones de Einstein (sin la constante cosmológica) para el campo gravitacional externo de la materia distribuida simétricamente esféricamente (energía-momento) es la métrica de Schwarzschild.

{ds}^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}dt^{{2}}-{\ fracción {dr^{{2}}}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}-r^{{2}}d\theta ^{{2}}-r^ {{2}}\sin ^{{2}}\theta\,d\varphi ^{{2}}

dónde

c es la velocidad de la luz en metros por segundo, t - coordenada de tiempo en segundos (que coincide con el tiempo contado por un reloj estacionario infinitamente distante), r es la coordenada radial en metros (definida como la circunferencia del círculo, centrada en el punto de simetría, dividida por 2π), θ y φ son ángulos en coordenadas esféricas en radianes, r s es el radio de Schwarzschild (en metros), que caracteriza un cuerpo con masa M e igual a

r_{{s}}={\frac{2GM}{c^{{2}}}}

donde G es la constante gravitacional . [quince]

La teoría clásica de la gravedad de Newton es el caso límite para pequeñas r s / r . En la práctica, esta relación es casi siempre muy pequeña. Por ejemplo, para la Tierra, el radio de Schwarzschild es de aproximadamente 9 milímetros , mientras que un satélite en órbita geoestacionaria está en km . Para el sistema solar, esta proporción no supera las 2 millonésimas, y solo para las regiones cercanas a los agujeros negros y las estrellas de neutrones se vuelve significativamente mayor (hasta varias décimas). $r \ simeq 42164$

Ecuaciones geodésicas

De acuerdo con la teoría general de la relatividad, las partículas de masa despreciable se mueven a lo largo de las líneas geodésicas del espacio-tiempo [16] . En el espacio no curvo, lejos de cualquier cuerpo de atracción, estas geodésicas son líneas rectas. En presencia de fuentes de gravedad, este ya no es el caso, y las ecuaciones geodésicas se escriben de la siguiente manera [17] :

{\frac {d^{2}x^{{\mu }}}{dq^{2}}}+\Gamma _({\nu \lambda }}^{{\mu }}{\frac {dx ^{{\nu }}}{dq}}{\frac {dx^({\lambda }}}{dq}}=0

donde Γ son los símbolos de Christoffel , y la variable q parametriza el camino de la partícula a través del espacio-tiempo - su línea de mundo , y se llama el parámetro canónico de la línea geodésica. Los símbolos de Christoffel dependen únicamente del tensor métrico g μν , más precisamente de cómo cambia de un punto a otro. Para geodésicas temporales a lo largo de las cuales se mueven partículas masivas, el parámetro q coincide con el tiempo propio τ hasta un factor constante, que generalmente se toma igual a 1. Para líneas de mundo similares a la luz de partículas sin masa (como fotones ), el parámetro q no puede ser tomado igual al tiempo propio, ya que es igual a cero, pero la forma de las geodésicas aún se describe mediante esta ecuación. Además, las geodésicas similares a la luz se pueden obtener como el caso límite de las geodésicas similares al tiempo cuando la masa de la partícula tiende a 0 (si la energía de la partícula se mantiene constante).

Podemos simplificar el problema usando la simetría del problema; de esta manera, excluimos una variable de la consideración. En cualquier caso de simetría esférica, el movimiento ocurre en un plano que se puede elegir como el plano θ = π/2. La métrica en este plano tiene la forma

ds^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}dt^{{2}}-{\frac { dr^{{2}}}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}-r^{{2}}d\varphi ^{{2}}.

Como no depende de y , hay dos integrales de movimiento (ver la derivación a continuación ) $\varphi$ $t$

r^{{2}}{\frac{d\varphi}{d\tau}}={\frac{L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Sustituyendo estas integrales en la métrica da

c^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\frac {dt}{d\ tau }}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d \tau }}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{{2}},

por lo que las ecuaciones de movimiento de la partícula se convierten en las siguientes

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}={\frac {E^{{2}}}{m^{{2}}c^{{2 }}}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left(c^{{2}}+{\frac {L^{{2}} {m^{{2}}r^{{2}}}}\derecha).

La dependencia del tiempo propio se puede eliminar usando la integral L

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}\ izquierda({\frac {d\tau }{d\varphi }}\derecha)^{{2}}=\izquierda({\frac {dr}{d\tau }}\derecha)^{{2}} \left({\frac {señor^{{2}}}{L}}\right)^{{2}},

por lo que la ecuación de las órbitas se convierte en

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\derecho),

donde, por brevedad, se introducen dos longitudes características a y b

a={\frac{L}{mc}},

b={\frac{cL}{E}}.

La misma ecuación se puede derivar del enfoque lagrangiano [18] o usando la ecuación de Hamilton-Jacobi [19] (ver más abajo ). La solución de la ecuación de la órbita viene dada por la expresión

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{{2}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_ {{s}}}{r}}\derecha)\izquierda({\frac {1}{a^{{2}}}}+{\frac {1}{r^{{2}}}}\ Correcto)}}}}.

Fórmula aproximada para desviar la luz

En el límite de la masa de partículas m que tiende a cero (o, de manera equivalente, ), la ecuación de la órbita se convierte en $a\rightarrow\infty$

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{{2}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_ {{s}}}{r}}\right){\frac {1}{r^{{2}}}}}}}}.

Desarrollando esta expresión en potencias del cociente r s / r , en primera aproximación obtenemos la desviación δ φ de una partícula sin masa durante su vuelo más allá del centro de gravedad:

\delta \varphi \approx {\frac {2r_{{s}}}{b}}={\frac {4GM}{c^{{2}}b}}.

La constante b aquí se puede interpretar como un parámetro de impacto , la distancia de aproximación más cercana. La aproximación utilizada para derivar esta fórmula es lo suficientemente precisa para la mayoría de las aplicaciones prácticas, incluidas las mediciones de lentes gravitacionales . Para la luz que pasa cerca de la superficie solar, la desviación es de aproximadamente 1,75 segundos de arco .

Conexión con la mecánica clásica y la precesión de órbitas elípticas

Ecuaciones de movimiento de partículas en el campo de Schwarzschild

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}={\frac {E^{{2}}}{m^{{2}}c^{{2 }}}}-c^{{2}}+{\frac {r_{{s}}c^{{2}}}{r}}-{\frac {L^{{2}}}{m ^{{2}}r^{{2}}}}+{\frac {r_{{s}}L^{{2}}}{m^{{2}}r^{{3}}} }

se puede reescribir usando la definición del radio gravitacional r s :

{\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}=\left[{\frac {E^{{2}} {2mc^{{2))))-{\frac {1}{2}}mc^{{2}}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^ {{2}}}{2señor^{{2}}}}+{\frac {GML^{{2}}}{c^{{2}}señor^{{3}}}}

que es equivalente al movimiento de una partícula no relativista con energía en un potencial efectivo unidimensional ${\frac{E^{{2}}}{2mc^{{2}}}}-{\frac {1}{2}}mc^{{2}}$

V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{{2}}}{2mr^{{2}}}}-{\frac {GML^{{2} }}{c^{{2}}señor^{{3}}}}.

Los dos primeros términos corresponden a los clásicos conocidos: el potencial de atracción gravitatorio de Newton y el potencial centrífugo repulsivo, y sólo el tercer término no tiene análogo en el problema clásico de Kepler. Como se muestra a continuación y en otros lugares , dicho término hace que las órbitas elípticas tengan una precesión de un ángulo δφ por revolución.

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{{2}}A\left(1-e^{{2}}\right)))

donde A es el semieje mayor de la órbita y e es su excentricidad .

El tercer término tiene el carácter de atracción y cambia el comportamiento del potencial en r pequeño — en lugar de ir a , evitando que la partícula caiga al centro (como ocurría en el problema clásico de Kepler), el potencial va a , permitiendo que partícula a caer (para más detalles, ver caer en un agujero negro ). $+\infty$ $-\infty$

Órbitas circulares y su estabilidad

El potencial efectivo V se puede reescribir en términos de los parámetros de longitud a y b

V(r)={\frac {mc^{{2}}}{2}}\left[-{\frac {r_{{s}}}{r}}+{\frac {a^{{2 }}}{r^{{2}}}}-{\frac {r_{{s}}a^{{2}}}{r^{{3}}}}\right].

Las órbitas circulares son posibles con una fuerza efectiva igual a cero

F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{{2}}}{2r^{{4}}}}\left[r_{{s}}r^{{ 2}}-2a^{{2}}r+3r_{{s}}a^{{2}}\right]=0,

es decir, cuando dos fuerzas atractivas, la gravedad newtoniana (primer término) y su corrección relativista (tercer término), están exactamente equilibradas por una fuerza centrífuga repulsiva (segundo término). Hay dos radios en los que se logra esta compensación

r_{{{\mathrm {exterior}}}}={\frac {a^{{2}}}{r_{{s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_ {{s}}^{{2}}}{a^{{2}}}}}}\derecha),

r_{{{\mathrm {inner}}}}={\frac {a^{{2}}}{r_{{s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_ {{s}}^{{2}}}{a^{{{2}}}}}}\right)={\frac {3a^{{2}}}{r_{{{\mathrm {exterior } }}}}}},

que se derivan directamente de la ecuación cuadrática anterior. El radio interior rinterior resulta inestable para cualquier valor de a , ya que allí la fuerza de atracción crece más rápido que la fuerza de repulsión, por lo que cualquier perturbación hace que la partícula caiga sobre el centro. Las órbitas del radio exterior son estables: allí la atracción relativista es pequeña y su carácter casi coincide con las trayectorias del problema no relativista de Kepler.

Cuando a es mucho mayor que r s (el caso clásico), los tamaños de las órbitas tienden a

r_{{{\mathrm {exterior}}}}\approx {\frac {2a^{{2}}}{r_{{s}}}},

r_{{{\mathrm {inner}}}}\approx {\frac {3}{2}}r_{{s}}.

Sustituyendo las definiciones de a y r s en r exterior , obtenemos la fórmula clásica para una partícula en una órbita circular alrededor de un centro de gravedad de masa M

r_{{{\mathrm {exterior}}}}^{{3}}\approx {\frac {GM}{\omega_{{\varphi}}^{{2}}}},

donde ω φ es la velocidad angular orbital de la partícula.

Cuando un ² tiende a 3 r s ² (desde arriba), los radios exterior e interior convergen en

r_{{{\mathrm {exterior}}}}\rightarrow r_{{{\mathrm {interior}}}}\rightarrow 3r_{{s}}.

Resolver la ecuación cuadrática asegura que r exterior sea siempre mayor que 3 r s , y r interior esté entre 3 ⁄ 2 r s y 3 r s . Las órbitas circulares con un radio inferior a 3 ⁄ 2 r s no son posibles. La órbita misma r interior = 3 ⁄ 2 r s es el caso límite para partículas sin masa cuando , por lo que una esfera de este radio a veces se denomina esfera de fotones . $a\rightarrow\infty$

Precesión de órbitas elípticas

La tasa de precesión orbital se puede derivar del potencial efectivo V. Una pequeña desviación a lo largo del radio del círculo orbital r=r exterior oscilará con una frecuencia

\omega _{{r}}^{{2}}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{{2}}V}{dr^{{2}}} }\right]_{{r=r_{({\mathrm {exterior}}}}}}=\left({\frac {c^{{2}}r_{{s}}}{2r_{{{ \mathrm {exterior}}}}^{{4}}}}\right)\left(r_{({\mathrm {exterior}}}}-r_{{{\mathrm {interior}}}}\right) =\omega _{{\varphi }}^{{2}}{\sqrt {1-{\frac {3r_{{s}}^{{2}}}{a^{{2}}}}} }.

La expansión en serie da

\omega _{{r}}=\omega _{{\varphi}}\left(1-{\frac {3r_{{s}}^{{2}}}{4a^{{2}}}} +\cdots\derecha).

Multiplicando por el período de revolución T conduce a la precesión en una revolución

\delta \varphi =T\left(\omega_{{\varphi }}-\omega_{{r}}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{{s}}^{ {2}}}{4a^{{2}}}}\right)={\frac {3\pi m^{{2}}c^{{2}}}{2L^{{2}}} }r_{{s}}^{{2}},

donde ω φ T = 2 n y se utiliza la definición de a . Sustituyendo r s , obtenemos

\delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{{2}}c^{{2}}}{2L^{{2}}}}\left({\frac {4G^{{2 }}M^{{2}}}{c^{{4}}}}\right)={\frac {6\pi G^{{2}}M^{{2}}m^{{2 }}}{c^{{2}}L^{{2}}}}.

Utilizando el semieje mayor de la órbita A y la excentricidad e , relacionados por

{\frac{L^{{2}}}{GMm^{{2}}}}=A\izquierda(1-e^{{2}}\derecha),

llegamos a la fórmula de precesión más famosa

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{{2}}A\left(1-e^{{2}}\right))).

Solución exacta para una órbita en funciones elípticas

Introducción a la variable adimensional

\zeta ={\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}

ecuación de la órbita

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\derecho)

se puede simplificar

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }},

donde los coeficientes adimensionales constantes g 2 y g 3 se definen como

{\begin{alineado}g_{{2}}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{4a^{{2}} )),\\g_{{3}}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{24a^{{2}}} }-{\frac{r_{{s}}^{{2}}}{16b^{{2}}}}.\end{alineado}}

La solución de esta ecuación para la órbita se da como una integral indefinida

\varphi -\varphi _{{0}}=\int {\frac {d\zeta }{{\sqrt {4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}}}}}.

De ello se deduce que, hasta un cambio de fase, , donde es la función elíptica de Weierstrass con parámetros g 2 yg 3 , y φ 0 es la constante de integración (posiblemente compleja). $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{{0}})$ $\wp$

Carácter cualitativo de las posibles órbitas

Un análisis cualitativo completo de las posibles órbitas en el campo de Schwarzschild fue realizado por primera vez por Yu. Hagihara en 1931.

Las trayectorias en el campo de Schwarzschild se describen mediante la ecuación de movimiento

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}.

Si el discriminante es mayor que 0, entonces la ecuación cúbica $\Delta =g_{{2}}^{{3}}-27g_{{3}}^{{2}}$

G(\zeta)=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta-g_{{3}}=0\,

tiene tres raíces reales diferentes e 1 , e 2 y e 3 , que se pueden ordenar en orden descendente

e_{{1}}>e_{{2}}>e_{{3}}.

En tal caso, la solución es una función elíptica con dos semiperíodos, uno puramente real $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{{0}})$

\omega _{{1}}=\int _{{e_{{1}}}}^{{\infty}}{\frac {dz}{{\sqrt {4z^{{3}}-g_{ {2}}zg_{{3}}}}}},

y el segundo es puramente imaginario

\omega _{{3}}=i\int _{{-e_{{3}}}}^{{\infty}}{\frac {dz}{{\sqrt {4z^{{3}}- g_{{2}}z-g_{{3}}}}}}.

La raíz intermedia restante determina el semiperíodo complejo ω 2 \u003d -ω 1 - ω 3 . Estas cantidades se relacionan con las raíces correspondientes a través de las ecuaciones ( i = 1, 2, 3). Por lo tanto, cuando ( n es un número entero), la derivada de ζ se convierte en 0, es decir, la trayectoria alcanza el periastro o apoaster - el punto de máxima aproximación y alejamiento, respectivamente: $\wp (\omega _{{i}})=e_{{i}}$ $\varphi -\varphi _{0}=n\omega _{i}$

{\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ {\mathrm {cuando}}\ \zeta =\wp (-\omega _{{i}})=e_{{i}}

porque

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=G(\zeta )=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\ zeta -g_{{3}}=4\left(\zeta -e_{{1}}\right)\left(\zeta -e_{{2}}\right)\left(\zeta -e_{{3 }}\Correcto).

La naturaleza cualitativa de la órbita depende de la elección de φ 0 . Las soluciones con φ 0 = ω 2 corresponden a órbitas que oscilan de ζ= e 2 a ζ= e 3 oa trayectorias que van al infinito (ζ=-1/12). Por el contrario, las soluciones con φ 0 igual a ω 1 o cualquier otro número real describen órbitas convergentes hacia el centro, ya que el ζ real no puede ser menor que e 1 y por lo tanto inevitablemente crecerá hasta el infinito.

Órbitas cuasi elípticas

Las soluciones en las que φ 0 = ω 2 dan valores reales de ζ siempre que la energía E satisfaga la desigualdad E 2 < m 2 c 4 . En este caso, ζ toma valores en el intervalo e 3 ≤ ζ ≤ e 2 . Si ambas raíces son mayores que − 1 ⁄ 12 , entonces ζ no puede tomar este valor, que corresponde a que la partícula tiende al infinito, por lo que el cuerpo realizará un movimiento finito, que se puede representar como un movimiento a lo largo de una elipse de precesión. La coordenada radial del cuerpo fluctuará infinitamente entre $\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})$

r_{{min}}={\frac{3r_{{s}}}{1+12e_{{2}}}}

r_{{máx}}={\frac{3r_{{s}}}{1+12e_{{1}}}},

que corresponden a valores extremos de ζ . El periodo real de la función elíptica de Weierstrass es 2ω 1 ; así, la partícula vuelve al mismo radio cuando la coordenada angular aumenta en 2ω 1 , que, en términos generales, difiere de 2π. Por lo tanto, la órbita suele tener precesión, pero en , el ángulo de precesión por revolución (2ω 1 − 2π) es bastante pequeño. $r_{{min}}\ll r_{g}$

Órbitas circulares estables

El caso especial 2 e 2 = 2 e 3 = − e 3 corresponde a la solución con ζ = const = e 2 = e 3 . Resulta una órbita circular con r = r exterior no menos de 3 r s . Estas órbitas son estables, ya que pequeñas perturbaciones de los parámetros conducen a la división de las raíces, lo que da lugar a órbitas casi elípticas. Por ejemplo, si una partícula es ligeramente "empujada" en la dirección radial, comenzará a oscilar alrededor del radio no perturbado, describiendo una elipse de precesión.

Órbitas infinitas

Como r tiende a infinito, ζ tiende a − 1 ⁄ 12 . Por lo tanto, las órbitas que se alejan o se acercan indefinidamente desde el infinito al cuerpo central corresponden a soluciones periódicas en las que − 1 ⁄ 12 cae en el intervalo ζ accesible, es decir, para e 3 ≤ − 1 ⁄ 12 ≤ ζ ≤ e 2 .

Órbitas asintóticamente circulares

Otro caso especial corresponde a − e 3 = 2 e 2 = 2 e 1 , es decir, dos raíces de G ( ζ ) son positivas e iguales entre sí, y la tercera es negativa. Las órbitas en este caso son espirales, girando o enrollándose cuando φ tiende a infinito (no importa si es positivo o negativo) en un círculo de radio r , definido por la relación

{\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.

Denotando la raíz repetida e = n ²/3, obtenemos la ecuación de la órbita, que es fácil de verificar por sustitución directa:

\zeta ={\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{{2}}}{\cosh ^{{ 2}}n\varfi}}.

En tales casos, la coordenada radial de la partícula está entre 2 r s y 3 r s .

La ecuación de tales órbitas se puede obtener a partir de la expresión de la función elíptica de Weierstrass en términos de las funciones elípticas de Jacobi

\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})=e_{{1}}+\left(e_{{1}}-e_{{3}}\right){\frac {{ \mathrm {cn}}^{{2}}w}{{\mathrm {sn}}^{{2}}w}},

donde esta el modulo $w=(\phi -\phi _{{0}}){\sqrt {e_{{1}}-e_{{3}}}}$

k={\sqrt {{\frac {e_{{2}}-e_{{3}}}{e_{{1}}-e_{{3}}}}}}.

En el límite de coincidir e 2 y e 1 , el módulo tiende a la unidad, y w tiende a n (φ − φ 0 ). Eligiendo φ 0 imaginario, igual a (un cuarto del período), llegamos a la fórmula anterior. $iK^{{\principal))$

Caída al centro

En soluciones reales , en las que φ 0 es igual a ω 1 u otros números reales, ζ no puede ser menor que e 1 . Debido a las ecuaciones de movimiento $\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})$

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}=4\izquierda(\zeta -e_{{1}}\derecha)\izquierda(\zeta -e_{{2}}\derecha)\izquierda(\zeta -e_{{3}}\derecha)

ζ crece sin límite, lo que corresponde a caer sobre el centro r = 0 después de un número infinito de revoluciones a su alrededor.

Derivación de la ecuación de órbitas

De la ecuación de Hamilton-Jacobi

La ventaja de esta derivación es que se aplica tanto al movimiento de partículas como a la propagación de ondas, lo que conduce fácilmente a una expresión para la desviación de la luz en un campo gravitacional utilizando el principio de Fermat . La idea básica es que, debido a la dilatación del tiempo gravitacional, las partes del frente de onda que están más cerca de la masa gravitatoria se mueven más lentamente que las que están más alejadas, lo que conduce a una curvatura de la propagación del frente de onda.

Debido a la covarianza general , la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula en coordenadas arbitrarias se puede escribir como

g^{{\mu \nu }}{\frac {\parcial S}{\parcial x^({\mu }}}}{\frac {\parcial S}{\parcial x^{{\nu }} }}=m^{{2}}c^{{2}}.

En la métrica de Schwarzschild , esta ecuación toma la forma

{\frac {1}{c^{{2}}\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)))\left({\frac {\S parcial} {\t parcial}}\right)^{{2}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {\S parcial} {\parcial r}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{r^{{2}}}}\left({\frac {\parcial S}{\parcial \varphi }} \derecha)^{{2}}=m^{{2}}c^{{2}},

donde el plano de referencia del sistema de coordenadas esféricas se encuentra en el plano de la órbita. El tiempo t y la longitud φ son coordenadas cíclicas , por lo que la solución para la función de acción S se puede escribir como $\ theta$

S=-Et+L\varphi +S_{{r}}(r)\,,

donde E y L representan la energía de la partícula y su momento angular , respectivamente. La ecuación de Hamilton-Jacobi conduce a una solución integral para la parte radial S r (r)

S_{{r}}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b ^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{{2}}} }+{\frac{1}{r^{{2}}}}\derecha)}}.

Derivando la función S de la forma habitual

{\frac {\parcial S}{\parcial L))=\varphi +{\frac {\parcial S_{{r))}{\parcial L))={\mathrm {constante)),

llegamos a la ecuación de la órbita obtenida anteriormente

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\derecha).

Este enfoque se puede utilizar para derivar elegantemente la tasa de precesión orbital [20] .

En el límite de masa cero m (o, equivalentemente, infinito a ), la parte radial de la acción S se convierte en

S_{{r}}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{{2}}}{\left(r-r_{{s} }\derecha)^{{2}}}}-{\frac {b^{{2}}}{r\izquierda(r-r_{{s}}\derecha)}}}},

a partir de esta expresión, se deriva una ecuación para la desviación de un haz de luz [20] .

A partir de las ecuaciones de Lagrange

En relatividad general, las partículas libres con masa m despreciable , obedeciendo al principio de equivalencia , se mueven a lo largo de geodésicas en el espacio-tiempo creado por masas gravitantes. Las geodésicas del espacio-tiempo se definen como curvas cuyas pequeñas variaciones —para puntos fijos de inicio y fin— no modifican su longitud s . Esto se puede expresar matemáticamente usando el cálculo de variaciones.

0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_({\mu \nu }}{\frac {dx^({\mu }}}{d\tau }}{\ fracción {dx^{{\nu}}}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau ,

donde τ es el tiempo propio , s = cτ es la longitud en el espacio-tiempo, y la cantidad T se define como

2T=c^{{2}}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{{2}}=g_{{\mu \nu }}{\frac {dx^ {{\mu }}}{d\tau }}{\frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{ r}}\right)c^{{2}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({ \frac{d\varphi }{d\tau}}\right)^{{2}},

por analogía con la energía cinética . Si, por brevedad, la derivada con respecto al tiempo propio se denota con un punto

{\dot {x}}^{{\mu }}={\frac {dx^({\mu }}}{d\tau }},

entonces T se puede escribir como

2T=c^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\dot {t}} \right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^ {{2}}-r^{{2}}\left({\dot {\varphi }}\right)^{{2}}.

Los valores constantes, como c o la raíz cuadrada de dos, no afectan la respuesta al problema variacional y, por lo tanto, llevando la variación bajo la integral, llegamos al principio variacional de Hamilton.

0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}({\sqrt {2T}}}}d\tau ={\frac {1}{c} }\delta\int Td\tau.

La solución del problema variacional viene dada por las ecuaciones de Lagrange

{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\T parcial}{\parcial {\dot {x}}^({\sigma }}}}\right)={\frac { \parcial T}{\parcial x^{{\sigma )))).

Cuando se aplican a t y φ , estas ecuaciones conducen a la existencia de cantidades conservadas

{\frac {d}{d\tau}}\left[r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau}}\right]=0,

{\frac {d}{d\tau}}\left[\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau}} \derecho]=0,

que se puede reescribir como ecuaciones para L y E

r^{{2}}{\frac{d\varphi}{d\tau}}={\frac{L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Como se muestra arriba , la sustitución de estas ecuaciones en la definición de la métrica de Schwarzschild conduce a la ecuación de la órbita.

Desde el principio de Hamilton

La integral de acción de una partícula en un campo gravitatorio tiene la forma

S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{{\ mu \nu }}{\frac {dx^{{\mu}}}{dq}}{\frac {dx^({\nu }}}{dq}}}}dq},

donde τ es el tiempo propio y q es una parametrización suave de la línea de mundo de la partícula. Si aplicamos el cálculo de variaciones , entonces las ecuaciones para las geodésicas se derivan inmediatamente de esta expresión. Los cálculos se pueden simplificar tomando la variación del cuadrado del integrando. En el campo de Schwarzschild, este cuadrado es igual a

\left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_({\mu \nu }}{\frac {dx^{{\mu }}}{dq}} {\frac {dx^{{\nu}}}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left ({\frac {dt}{dq}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left( {\frac {dr}{dq}}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{{2} }.

Calculando la variación, obtenemos

\delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\ fracción {dt}{dq}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{{2}}\right ].

Tomando la variación solo en longitud φ

2c^{{2}}{\frac {d\tau}{dq}}\delta {\frac {d\tau}{dq}}=-2r^{{2}}{\frac {d\varphi} {dq}}\delta {\frac {d\varfi}{dq}}

dividir por para obtener una variación del integrando $2c{\frac{d\tau}{dq}}$

c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\ delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau}}{\frac {d \delta \varphi }{dq}}.

De este modo

0=\delta \int {c{\frac {d\tau}{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau}{dq}}dq}=\int {-{\ fracción {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau}}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq},

y la integración por partes conduce a

0=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq} }\left[-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}.

La variación de longitud se desvanece en los puntos límite y el primer término se desvanece. La integral puede hacerse igual a cero para una elección arbitraria de δφ solo si los otros factores bajo la integral son siempre iguales a cero. Así llegamos a la ecuación de movimiento

{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0.

Al variar en el tiempo t se obtiene

2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{{s}} {r}}\right)c^{{2}}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}},

que después de dividir por da una variación del integrando $2c{\frac{d\tau}{dq}}$

c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau } }{\frac{d\delta t}{dq}}.

De aquí

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right) {\frac {dt}{d\tau}}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}

y de nuevo la integración por partes conduce a la expresión

0=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d {dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq },

de donde se sigue la ecuación de movimiento

{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\ derecha]=0.

Si integramos estas ecuaciones de movimiento y determinamos las constantes de integración, llegamos nuevamente a las ecuaciones

r^{{2}}{\frac{d\varphi}{d\tau}}={\frac{L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Estas dos ecuaciones para las integrales de movimiento L y E se pueden combinar en una que funcionará incluso para el fotón y otras partículas sin masa para las cuales el tiempo propio a lo largo de la geodésica es cero:

{\frac {r^{{2}}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{{s}}}{r}}.

Enfoques post-newtonianos

Dado que en problemas reales la aproximación del cuerpo de prueba a veces tiene una precisión insuficiente, existen enfoques que la refinan, uno de los cuales es el uso del formalismo posnewtoniano (formalismo PN), desarrollado en los trabajos de Eddington, Fock, Damour y otros relativistas. científicos. Exagerando un poco, podemos decir que en este enfoque, las ecuaciones de movimiento de los cuerpos, obtenidas de las ecuaciones de Einstein, se expanden en series en términos de un pequeño parámetro PN , y los términos se tienen en cuenta solo hasta cierto grado de este parámetro. Incluso el uso del nivel 2.5PN conduce a la predicción de la radiación gravitacional y la correspondiente disminución en el período de revolución de un sistema ligado gravitacionalmente. Las correcciones de orden superior también aparecen en el movimiento de objetos, como púlsares binarios. El movimiento de los planetas y sus satélites, asteroides y naves espaciales en el sistema solar ahora se calcula en la primera aproximación PN. $1/c^{2}$ $(1/c^{5})$

Correcciones a la solución geodésica

Radiación de ondas gravitacionales y pérdida de energía y momento angular

Según la relatividad general , dos cuerpos que se orbitan entre sí emiten ondas gravitacionales , lo que hace que las órbitas difieran de las geodésicas calculadas anteriormente. Para los planetas del sistema solar, este efecto es extremadamente pequeño, pero puede desempeñar un papel importante en la evolución de estrellas binarias cercanas .

Los cambios orbitales se observan en varios sistemas, el más famoso de los cuales es el púlsar binario conocido como PSR B1913+16 , por el cual Alan Hulse y Joseph Taylor recibieron el Premio Nobel de Física en 1993 por su investigación . Las dos estrellas de neutrones de este sistema están muy cerca una de la otra y completan una órbita en 465 minutos . Su órbita es una elipse alargada con una excentricidad de 0,62. De acuerdo con la teoría general de la relatividad, el corto período de revolución y la alta excentricidad hacen del sistema una excelente fuente de ondas gravitacionales, lo que conduce a pérdidas de energía y disminución del período de revolución. Los cambios de período observados durante treinta años están en buen acuerdo con las predicciones de la relatividad general, con la mejor precisión que se puede lograr ahora (alrededor del 0,2% a partir de 2009 ).

La fórmula que describe la pérdida de energía y momento angular debido a la radiación gravitacional de dos cuerpos en el problema de Kepler se obtuvo en 1963 [21] . La tasa de pérdida de energía (promediada durante el período) se da como [22]

-\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{{4}}m_{{1}}^{{2}}m_{{2}}^ {{2}}\left(m_{{1}}+m_{{2}}\right)}{5c^{{5}}a^{{5}}\left(1-e^{{2 }}\right)^{{7/2}}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{{2}}+{\frac {37}{96}}e^ {{4}}\derecha),

donde e es la excentricidad ya es el semieje mayor de la órbita elíptica. Los paréntesis angulares en el lado izquierdo de la expresión denotan el promedio de una órbita. De manera similar, para la pérdida de momento angular, podemos escribir

-\left\langle {\frac {dL_{{z}}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{{7/2}}m_{{1}}^{{2}} m_{{2}}^{{2}}{\raíz cuadrada {m_{{1}}+m_{{2}}}}}{5c^{{5}}a^{{7/2}}\ izquierda(1-e^{{2}}\derecha)^{{2}}}}\izquierda(1+{\frac {7}{8}}e^{{2}}\derecha).

Las pérdidas de energía y momento angular aumentan significativamente si la excentricidad tiende a 1, es decir, si la elipse es muy alargada. La intensidad de la radiación también aumenta al disminuir el tamaño a de la órbita. La pérdida de momento angular durante la radiación es tal que, con el tiempo, la excentricidad de la órbita disminuye y tiende a ser circular con un radio constantemente decreciente.

El poder de la radiación gravitacional de los sistemas planetarios es insignificante, por ejemplo, para el sistema solar: 5 kW , de los cuales aproximadamente el 90% cae en el sistema Sol-Júpiter. Esto es insignificante en comparación con la energía cinética de los planetas (la vida útil esperada del sistema solar es 13 órdenes de magnitud mayor que la edad del universo). La radiación de estrellas binarias cercanas es mucho mayor, por ejemplo, el púlsar binario Hulse-Taylor ( PSR B1913+16 ) mencionado anteriormente, cuyas componentes están separadas por una distancia del orden del radio del Sol, emite ondas gravitacionales con una potencia de 7,35 × 10 24 W , que es el 2% de la potencia del Sol. Debido a la pérdida de energía, la distancia entre los componentes de este sistema binario disminuye 3,5 m por año y, después de 300 millones de años , las estrellas se fusionarán en una. A medida que los componentes de una estrella binaria se acercan, el poder de la radiación gravitacional crece en proporción inversa a la quinta potencia de la distancia entre ellos, e inmediatamente antes de la fusión, el poder alcanza valores enormes: se irradia energía equivalente a varias masas solares. en décimas de segundo, lo que corresponde a una potencia de 10 47 W. Esto es 21 órdenes de magnitud mayor que la luminosidad del Sol y miles de millones de veces mayor que la luminosidad de nuestra Galaxia (es esta alta potencia la que permite detectar ondas gravitacionales durante la fusión de estrellas de neutrones a una distancia de cientos de millones de años luz). El poder de las ondas gravitacionales durante la fusión de los agujeros negros es aún mayor: en los últimos milisegundos antes de la fusión, es decenas de veces mayor que la luminosidad de todas las estrellas en la parte observable del Universo.

Relatividad numérica

Si los cuerpos son tan compactos que pueden moverse por separado, incluso cuando la velocidad orbital alcanza una fracción significativa de la velocidad de la luz, la expansión posnewtoniana deja de funcionar de manera confiable. Esto es posible en las últimas etapas de la evolución de los sistemas binarios que consisten en estrellas de neutrones o agujeros negros : debido a la radiación gravitatoria, los componentes se acercan más y más entre sí y finalmente se fusionan. En este caso, los cuerpos ya no pueden representarse como puntuales o esféricamente simétricos, y se requiere aplicar métodos para la solución numérica tridimensional exacta de las ecuaciones de Einstein y, en el caso de las estrellas de neutrones, la magnetohidrodinámica relativista, que son llamada relatividad numérica . La primera prueba experimental, que confirmó las predicciones de la teoría general de la relatividad y los métodos numéricos de la relatividad con una precisión del 94 %, fue el descubrimiento de las ondas gravitacionales en septiembre de 2015.

Véase también

problema de kepler
Métrica de Schwarzschild
Pruebas de relatividad general
Vector de Laplace-Runge-Lentz
Derivación de la solución de Schwarzschild

Notas y enlaces

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