El problema de Bertrand es un problema inverso al problema de los dos cuerpos y consiste en determinar la fuerza de interacción a partir de las propiedades conocidas de las trayectorias de movimiento.
El primer problema de Bertrand . Encuentre la ley de las fuerzas que dependen únicamente de la posición del punto en movimiento y hágala describir secciones cónicas, cualesquiera que sean las condiciones iniciales.
Este problema fue resuelto con éxito por Darboux y Alfen [1] bajo el supuesto adicional de que la fuerza es central, y luego esta condición también fue rechazada [2] . Resultó que hay dos interacciones de este tipo: la ley de la gravitación universal y la ley de Hooke .
Sin embargo, la suposición sobre la centralidad de la fuerza también podría hacerse a partir de consideraciones generales de la simetría del problema.
El segundo problema de Bertrand . Sabiendo que la fuerza que hace que el planeta se desplace alrededor del Sol depende únicamente de la distancia y es tal que hace que su punto de aplicación describa una curva cerrada, cualesquiera que sean las condiciones iniciales, si la velocidad es inferior a un cierto límite, encuentre la ley de esta fuerza.
La respuesta es breve: la ley de la fuerza puede ser la ley de Hooke o la ley de la gravitación universal.
El problema fue resuelto por el mismo Bertrand [3] . La solución más completa se da en la nota de Darboux sobre la mecánica de Depeiro [4]
Koenigs G. propuso un problema aún más general:
Problema de Koenig . Sabiendo que la fuerza que hace que el planeta se mueva alrededor del Sol depende únicamente de la distancia y es tal que hace que su punto de aplicación describa una curva algebraica, sean cuales sean las condiciones iniciales, encuentre la ley de esta fuerza.
Por sorprendente que parezca, la respuesta es la misma: la ley de la fuerza puede ser la ley de Hooke o la ley de la gravitación universal.
Una solución exhaustiva al problema la dio el propio Koenigs [5] . La idea de la demostración se reduce a probar la clausura de una órbita finita analítica [6] , lo que reduce el problema al anterior.
Las tareas de determinar el tipo de fuerzas cuando un cuerpo se mueve a lo largo de órbitas en forma de secciones cónicas y el tipo de órbitas de acuerdo con una ley de fuerzas dada fueron establecidas y completamente resueltas [7] por Isaac Newton en el primer libro de " Principios de Matemáticas ” utilizando el método sintético desarrollado por él, que combina demostraciones geométricas de los principales teoremas del análisis matemático y la teoría de los límites [8] con la teoría de series analíticas creada por él [9] basada en el binomio de Newton [10] .
En la sección III ( Sobre el movimiento de cuerpos a lo largo de secciones cónicas excéntricas ) se demuestra que el movimiento a lo largo de secciones cónicas es posible solo para la ley del inverso del cuadrado ( Proposiciones XI-XIII ), o para la ley de primer grado (Hooke, Proposición X ). Además, el primer caso corresponde a la dirección de la fuerza hacia el foco de la sección cónica, y el segundo, al centro geométrico de la elipse. En la Sección II, se prueba preliminarmente que el movimiento de un cuerpo a lo largo de una parte de cualquier curva suave que se encuentra en un plano puede reducirse al movimiento en el campo de alguna fuerza central con un centro de atracción en este plano ( Proposición VII, Corolarios 2 y 3 ).
En el apartado IX ( Del movimiento de los cuerpos en órbitas móviles y del desplazamiento de los ábsides ), se demuestra mediante series analíticas y el paso al límite de una órbita próxima a un círculo a una circular que una órbita cerrada sólo puede ser con un exponente de +1 (ley de Hooke, Ejemplo 2 ) o −2 (ley de la gravedad, Ejemplo 3).
En el prefacio de Los comienzos, el autor de la traducción y editor de la primera edición de Los comienzos en ruso, el mecánico A. N. Krylov , señala que la primera traducción al inglés se hizo en 1727, al francés recién en 1759 por la marquesa de Chatelet , y la obra Newton en lenguas europeas modernas estuvieron disponibles solo muchas décadas después de su primera edición en 1686.