Clasificación Bianchi

La clasificación de Bianchi es una clasificación de álgebras y grupos de Lie tridimensionales reales . Nombrado en honor a Luigi Bianchi , quien lo demostró en 1898.

La clasificación contiene 11 clases; 9 de ellos contienen un álgebra cada uno, y dos contienen una familia continua de álgebras. (A veces se incluyen dos grupos en familias infinitas, dando 9 en lugar de 11 clases).

El término clasificación de Bianchi también se usa para clasificaciones similares en otras dimensiones, así como para clasificaciones de álgebras de Lie complejas.

Dimensiones 0, 1 y 2

Dimensión 0: la única álgebra de Lie es el álgebra trivial de dimensión cero.
Dimensión 1: La única álgebra de mentira es el álgebra de mentira abeliana . Su grupo de automorfismos exterior es el grupo multiplicativo de números reales distintos de cero. $\matemáticas {R}$
Dimensión 2: Hay dos álgebras de Lie:
1. Álgebra de mentira abeliana con grupo de automorfismos externos . $\matemáticas {R} ^{2}$ ${\displaystyleGL(2,\mathbb{R})}$
2. Álgebra de mentira resoluble de matrices triangulares superiores 2×2 con traza cero . Tiene un centro trivial y un grupo de automorfismo exterior trivial. El grupo de Lie simplemente conectado asociado es el grupo de transformaciones afines de la línea (a veces se le llama -group ). ${\ estilo de visualización (a \ cdot x + b)}$

Dimensión 3

Todas las álgebras de Lie tridimensionales, a excepción de los tipos VIII y IX, pueden construirse como un producto semidirecto de y , y actúan sobre una matriz de 2×2 . Diferentes tipos corresponden a diferentes tipos de matrices , como se describe a continuación. $\matemáticas {R} ^{2}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R} ^{2}$ $METRO$ $METRO$

Tipo I. Es un álgebra de Lie abeliana y unimodular . Su grupo simplemente conexo tiene un centro y un grupo de automorfismos exterior . Este es el caso cuando es 0. $\mathbb{R} ^{3}$ $\mathbb{R} ^{3}$ ${\displaystyleGL(3,\mathbb{R})}$ $METRO$
Tipo II : Álgebra de Heisenberg , que es nilpotente y unimodular. Un grupo simplemente conexo tiene un centro y un grupo de automorfismos exterior . Este es el caso cuando es nilpotente pero no 0 (todos los valores propios son 0). $\matemáticas {R}$ ${\displaystyleGL(2,\mathbb{R})}$ $METRO$
Tipo III : esta álgebra es el producto de una álgebra de mentira bidimensional no abeliana. (Este es el caso límite del tipo VI, cuando un valor propio desaparece). Es decidible y no unimodular. Un grupo simplemente conexo tiene un centro . Su grupo de automorfismos exterior es el grupo de números reales distintos de cero. La matriz tiene un valor propio cero y uno distinto de cero. $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$ $METRO$
Tipo IV : álgebra, definida por [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = y + z . Es decidible y no unimodular. Un grupo simplemente conectado tiene un centro trivial y un grupo exterior de automorfismo que es el producto de los números reales y un grupo de orden 2. La matriz tiene dos valores propios iguales distintos de cero, pero no es diagonalizable . $METRO$
Tipo V : [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = z . Solucionable y no unimodular. (El caso límite del tipo VI, cuando ambos autovalores son iguales). Un grupo simplemente conexo tiene un centro trivial y los automorfismos externos agrupan elementos del determinante +1 o −1. La matriz tiene dos valores propios iguales y es diagonalizable. ${\displaystyleGL(2,\mathbb{R})}$ $METRO$
Tipo VI : una familia infinita: productos semidirectos por , donde la matriz tiene valores propios reales distintos de cero con suma distinta de cero. Las álgebras son decidibles y no unimodulares. Un grupo simplemente conexo tiene un centro trivial y un grupo exterior de automorfismo que es el producto de números reales distintos de cero y un grupo de orden 2. $\matemáticas {R} ^{2}$ $\matemáticas {R}$ $METRO$
Tipo VI 0: Esta álgebra de Lie es un producto semidirecto de , donde la matriz M tiene valores propios distintos de cero reales de suma cero. Es decidible y unimodular. Esta es el álgebra de Lie del grupo bidimensional de Poincaré , el grupo de isometría del espacio bidimensional de Minkowski . Un grupo simplemente conexo tiene un centro trivial y un grupo de automorfismos exterior, producto de números reales positivos con un grupo diédrico de orden 8. $\matemáticas {R} ^{2}$ $\matemáticas {R}$
Tipo VII : una familia infinita: productos semidirectos por , donde la matriz tiene autovalores complejos, ni reales ni imaginarios. Solucionable y no unimodular. Un grupo simplemente conectado tiene un centro trivial y los automorfismos externos agrupan números reales distintos de cero. $\matemáticas {R} ^{2}$ $\matemáticas {R}$ $METRO$
Tipo VII 0 : producto semidirecto por , donde la matriz tiene valores propios imaginarios distintos de cero. Solucionable y unimodular. Esta es el álgebra de Lie del grupo de isometría plana. Un grupo simplemente conexo tiene un centro Z y un grupo de automorfismos exterior que es el producto de números reales distintos de cero y un grupo de orden 2. $\matemáticas {R} ^{2}$ $\matemáticas {R}$ $METRO$
Tipo VIII : Álgebra de mentira de matrices de 2×2 con traza cero asociada al grupo . Simple y unimodular. Un grupo simplemente conexo no es un grupo matriz; se denota , tiene un centro Z y un grupo de automorfismos exterior de orden 2. $sl(2,\mathbb {R} ^{2})$ $SL(2,\mathbb {R} ^{2})$ ${\widetilde {\mbox{SL}}}(2,\mathbf {R} )$
Tipo IX : Álgebra de mentira del grupo ortogonal . Se denota 𝖘𝖔(3) y es simple y unimodular. El correspondiente grupo simplemente conexo es SU(2) ; tiene un centro de orden 2 y un grupo de automorfismo externo trivial, y es un grupo de espín . $O(3,\mathbb {R} )$

La clasificación de las álgebras de Lie complejas tridimensionales es similar, excepto que los tipos VIII y IX se vuelven isomórficos, mientras que los tipos VI y VII se vuelven parte de una sola familia de álgebras de Lie.

Los grupos de Lie tridimensionales conectados se pueden clasificar de la siguiente manera: son el factor del grupo de Lie simplemente conectado correspondiente por el subgrupo discreto del centro, por lo que se pueden leer de la lista dada.

Los grupos están asociados con 8 tipos de geometrías en la conjetura de geometrización de Thurston . Más precisamente, siete de las 8 geometrías se pueden realizar como métricas invariantes a la izquierda en un grupo simplemente conectado (a veces en más de una forma). La geometría de tipo no se puede implementar de esta manera. $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {R}$

Enlaces

R. Borcherds (inglés) , Grupos de mentiras: clasificación de Bianchi en YouTube