SL(2,R)

SL(2,R) o SL 2 (R) es el grupo de matrices reales 2 × 2 con determinante identidad :

{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{\left({\begin{matriz}a&b\\c&d\end{matriz}}\right):a,b ,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ y }}ad-bc=1\right\}.

El grupo es un grupo de Lie real simple con aplicaciones en geometría , topología , teoría de la representación y física .

SL(2, R ) actúa sobre el semiplano superior complejo mediante transformaciones lineales-fraccionales. La acción de grupo factoriza sobre el grupo de factores PSL(2,R) ( grupo lineal especial proyectivo sobre R ). Más precisamente, ${\ estilo de visualización 2 \ veces 2}$

{\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} )=\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )/\{{\pm }E\))

donde E denota la matriz identidad . SL(2, R ) contiene el grupo modular PSL(2, Z ). ${\ estilo de visualización 2 \ veces 2}$

Además, el grupo SL(2, R ) está estrechamente relacionado con el grupo de doble cobertura Mp(2, R ), el grupo metapléctico (si consideramos SL(2, R ) como un grupo simpléctico ).

Otro grupo relacionado es el de las matrices reales con determinante . Sin embargo, este grupo se usa más comúnmente en el contexto del grupo modular . $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$ ${\ estilo de visualización 2 \ veces 2}$ $\pm 1$

Descripción

SL(2, R ) es el conjunto de todas las transformaciones lineales del espacio R 2 que conservan el área orientada . El grupo es isomorfo al grupo simpléctico Sp(2, R ) y al grupo unitario especial generalizado SU(1,1). El grupo también es isomorfo al grupo de cocuaterniones de unidad de longitud. El grupo conserva un área no orientada; puede conservar la orientación. $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$

El factor PSL(2, R ) tiene varias descripciones interesantes:

Este es el grupo de transformaciones proyectivas que preservan la orientación de la línea proyectiva real . ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$
Es el grupo de automorfismos conformes del círculo unitario .
Este es el grupo de movimientos que preservan la orientación del plano hiperbólico .
Este es el grupo de Lorentz restringido del espacio tridimensional de Minkowski . De manera equivalente, es isomorfo al grupo ortogonal indefinido SO + (1,2). Esto implica que SL(2, R ) es isomorfo al grupo spinor Spin(2,1) + .

Los elementos del grupo modular PSL(2, Z ) tienen interpretaciones adicionales como elementos del grupo SL(2, Z ) (como transformaciones lineales del toro), y estas representaciones también pueden ser consideradas a la luz de la teoría general de el grupo SL(2, R ).

Transformación lineal fraccionaria

Los elementos del grupo PSL(2, R ) actúan sobre la línea proyectiva real como transformaciones lineales fraccionarias : ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$

x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d)).

Esta acción es similar a la acción de PSL(2, C ) sobre la esfera de Riemann por transformaciones de Möbius . La acción es la restricción de la acción del grupo PSL(2, R ) sobre el plano hiperbólico en el límite del infinito.

Transformación de Möbius

Los elementos del grupo PSL(2, R ) actúan sobre el plano complejo por la transformación de Möbius:

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;(a,b,c,d\in \mathbf {R} )

Este es exactamente el conjunto de transformaciones de Möbius que conserva la mitad superior del plano . Esto implica que PSL(2, R ) es el grupo de automorfismos conformes de la mitad superior del plano. Por el teorema de mapeo de Riemann, este grupo es el grupo de automorfismos conformes del círculo unitario.

Estas transformaciones de Möbius actúan como isometrías del modelo de la mitad superior del plano del espacio hiperbólico, y las correspondientes transformaciones de Möbius del disco son isometrías hiperbólicas del modelo del disco de Poincaré .

La fórmula anterior también se puede utilizar para determinar la transformada de Möbius de duales y dobles . Las geometrías correspondientes están en una conexión no trivial [1] con la geometría de Lobachevsky .

Vista adjunta

El grupo SL(2, R ) actúa sobre sus álgebras de Lie sl(2, R ) por conjugación (recuerde que los elementos del álgebra de Lie también son matrices de 2 x 2), dando una representación lineal tridimensional estricta del grupo PSL (2, R ). Esto puede describirse alternativamente como la acción del grupo PSL(2, R ) sobre superficies de formas cuadráticas en R 2 . El resultado es la siguiente vista:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d ^{2}\end{bmatriz}}.

La forma Killing en sl(2, R ) tiene firma (2,1) y genera un isomorfismo entre PSL(2, R ) y el grupo de Lorentz SO + (2,1). Esta acción del grupo PSL(2, R ) en el espacio de Minkowski se limita a una acción isométrica del grupo PSL(2, R ) sobre el modelo hiperboloide del plano hiperbólico.

Clasificación de elementos

Los valores propios del elemento satisfacen la ecuación para el polinomio característico $A\en \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )$

\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0

Y por lo tanto

\lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4))}{2)).

Esto conduce a la siguiente clasificación de elementos con la acción correspondiente en el plano euclidiano:

Si |tr( A )|< 2, entonces el elemento (matriz) A se llama elíptica y es una rotación .
Si |tr( A )|= 2, entonces el elemento A se llama parabólico y es una extensión del espacio.
Si |tr( A )|> 2, entonces el elemento A se llama hiperbólico y es un mapa de contracción .

Los nombres corresponden a la clasificación de las secciones cónicas por excentricidad - si define la excentricidad como la mitad del valor de la traza ( . Dividir por 2 corrige el efecto de dimensionalidad, mientras que el valor absoluto corresponde a ignorar el signo (multiplicador ) cuando se trabaja con PSL (2, R )), lo que implica: para elemento elíptico, para elemento parabólico , para elemento hiperbólico. $\epsilon ={\tfrac{1}{2}}tr$ $\pm 1$ ${\ estilo de visualización \ épsilon <1}$ $\epsilon=1$ ${\ estilo de visualización \ épsilon > 1}$

El elemento identidad 1 y el elemento negativo −1 (son iguales en PSL(2, R )), tienen trace , y por tanto son elementos parabólicos según esta clasificación, aunque a menudo se tratan por separado. $\pm2$

La misma clasificación se utiliza para SL(2, C ) y PSL(2, C ) ( transformaciones de Möbius ) y PSL(2, R ) (transformaciones de Möbius reales), con la adición de transformaciones "loxodrómicas" correspondientes a trazas complejas. En muchos otros lugares se utilizan clasificaciones similares .

Un subgrupo que contiene elementos elípticos (respectivamente, parabólico e hiperbólico), más el elemento identidad y su negativo, se denomina subgrupo elíptico (respectivamente, subgrupo parabólico , subgrupo hiperbólico ).

Esta clasificación es por subconjuntos , no por subgrupos - estos conjuntos no se cierran por multiplicación (el producto de dos elementos parabólicos no será necesariamente parabólico, por ejemplo). Sin embargo, todos los elementos se combinan en 3 subgrupos estándar de un parámetro , como se describe a continuación.

Topológicamente, debido a que la traza es un mapa continuo, los elementos elípticos (sin ) están abiertos , al igual que los elementos hiperbólicos (sin ), mientras que los elementos parabólicos (incluidos ) están cerrados . $\pm 1$ $\pm 1$ $\pm 1$

Elementos elípticos

Los valores propios para un elemento elíptico son complejos y son valores conjugados en el círculo unitario . Dicho elemento es conjugado a una rotación del plano euclidiano; pueden interpretarse como rotaciones en una base (posiblemente) no ortogonal, y el elemento correspondiente del grupo PSL(2, R ) actúa como una rotación (conjugada) de el plano hiperbólico y el espacio de Minkowski .

Los elementos elípticos del grupo modular deben tener valores propios , donde es la raíz primitiva 3, 4 o 6 de la unidad . Son todos elementos de un grupo modular de orden finito , y actúan sobre el toro como difeomorfismos periódicos. ${\displaystyle \{\omega ,\omega ^{-1}\))$ $\omega$

Los elementos con traza 0 se pueden llamar "elementos circulares" (similar a la excentricidad), pero esto rara vez se usa. Estas trazas corresponden a elementos con autovalores y corresponden a rotaciones sobre , y el cuadrado corresponde a - E - son involuciones no idénticas en PSL(2). $\pm yo$ $90^{\círculo}$

Los elementos elípticos están conjugados dentro de un subgrupo de rotaciones del plano euclidiano ortogonal al grupo SO(2). El ángulo de rotación es arccos - la mitad de la traza con el signo de rotación (la rotación y su inversa son conjugadas en GL(2), pero no en SL(2).)

Elementos parabólicos

Un elemento parabólico tiene solo un valor propio, que es 1 o −1. Dicho elemento actúa como una extensión del espacio en el plano euclidiano, y el elemento correspondiente de PSL(2, R ) actúa como una restricción de rotación en el plano hiperbólico y como una rotación cero del espacio de Minkowski .

Los elementos parabólicos del grupo modular actúan como torus de Denat .

Los elementos parabólicos están conjugados en el grupo de 2 componentes de desplazamientos estándar : . De hecho, todas son conjugadas (en SL(2)) a una de las cuatro matrices , (en GL(2) o , se pueden omitir, pero no en SL(2). $\times {\pm}E$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $\left({\begin{pequeña matriz}1&\pm 1\\&1\end{pequeña matriz}}\right)$ $\left({\begin{pequeña matriz}-1&\pm 1\\&-1\end{pequeña matriz}}\right)$ $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\pm$

Elementos hiperbólicos

Los valores propios para un elemento hiperbólico son reales y opuestos. Dicho elemento actúa como un mapa de contracción plano euclidiano, y el elemento correspondiente de PSL(2, R ) actúa como una traslación paralela del plano hiperbólico y como un impulso de Lorentz en el espacio de Minkowski .

Los elementos hiperbólicos del grupo modular actúan como difeomorfismos del toro de Anosov .

Los elementos hiperbólicos caen en un grupo de 2 componentes de contracciones estándar : ; el ángulo hiperbólico de la rotación hiperbólica se da como el arco de la mitad de la traza, pero el signo puede ser positivo o negativo, en contraste con el caso elíptico. La compresión y su transformación inversa se conjugan en SL₂ (por rotación en ejes, para ejes estándar, la rotación se realiza en ). $\times {\pm}E$ $\left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $90^{\círculo}$

Clases de conjugación

De acuerdo con la forma normal de Jordan, las matrices se clasifican hasta la conjugación (en GL( n , C )) por valores propios y nilpotencia (específicamente, nilpotencia significa donde están los 1 en las celdas de Jordan). Dichos elementos de SL(2) se clasifican hasta la conjugación en GL(2) ( ) por traza (dado que el determinante es fijo, y traza y determinante están determinados por autovalores), excepto cuando los autovalores son iguales, por lo que los elementos son iguales y parabólicos, los elementos de la traza +2 y la traza −2 no son conjugados (el primero no tiene elementos fuera de la diagonal en forma de Jordan, mientras que el segundo sí). $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ ${\ estilo de visualización \ pm E}$

Hasta la conjugación en SL(2) (en lugar de GL(2)), hay información adicional correspondiente a la orientación: las rotaciones en sentido horario y antihorario (elípticas) no son conjugadas, ni corte positivo o negativo, como se describe anteriormente. Luego, para un valor de traza absoluto menor que 2, hay dos clases conjugadas para cada traza (rotaciones en sentido horario o antihorario). Para un valor de traza absoluto de 2, hay tres clases conjugadas para cada traza (desplazamiento positivo, desplazamiento cero, desplazamiento negativo). Para un valor de traza absoluta superior a 2, existe una clase de conjugación para una traza dada.

Cobertura topológica y universal

Como espacio topológico , PSL(2, R ) se puede describir como el haz unitario tangente plano hiperbólico. Es un haz sobre círculos y tiene una estructura de contacto natural generada por la estructura simpléctica en el plano hiperbólico. El grupo SL(2, R ) es una cubierta doble del grupo PSL(2, R ) y puede considerarse como un haz de espinores en el plano hiperbólico.

El grupo fundamental del grupo SL(2, R ) es un grupo cíclico finito Z . El grupo de cobertura universal , denotado , es un ejemplo de un grupo de Lie de dimensión finita que no es un grupo matriz . Es decir, no permite una representación exacta de dimensión finita de . ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Como espacio topológico es un haz de líneas sobre el plano hiperbólico. Si el espacio está dotado de una métrica invariante a la izquierda , la variedad 3 se convierte en una de las ocho geometrías de Thurston . Por ejemplo, es un cubrimiento universal del haz unitario tangente para cualquier superficie hiperbólica . Cualquier variedad modelada es orientable y es un paquete circular sobre un orbifold hiperbólico bidimensional ( paquete de Seifert ). ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Con tal cobertura, la imagen inversa del grupo modular PSL(2, Z ) es el grupo trenzado sobre 3 generadores, B 3 , que es la extensión central universal del grupo modular. Son redes dentro de los grupos algebraicos correspondientes, y esto corresponde al grupo de cobertura algebraicamente universal en topología.

Un grupo de doble cobertura puede llamarse Mp(2, R ), el grupo metapléctico , si se entiende que SL(2, R ) es el grupo simpléctico de Sp(2, R ).

Los grupos anteriores forman la secuencia:

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\a \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).

Sin embargo, hay otros grupos que cubren el grupo PSL(2, R ) correspondientes a todos los n tales que , de modo que forman una red de grupos que cubren por divisibilidad. Son una cobertura de SL(2, R ) si y solo si n es par. $n\mathbf {Z} <\mathbf {Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ))$

Estructura algebraica

El centro del grupo SL(2, R ) es un grupo de dos elementos y el factor PSL(2, R ) es un grupo simple . $\{\pm 1\}$

Los subgrupos discretos del grupo PSL(2, R ) se denominan grupos fucsianos . Son la contrapartida hiperbólica de los grupos de empapelado y los grupos de bordes euclidianos . El más conocido de ellos es el grupo modular PSL(2, Z ), que actúa sobre el mosaico del plano hiperbólico mediante triángulos ideales .

El grupo U(1) , que se puede considerar como SO(2) , es un subgrupo compacto maximal de SL(2, R ) y el círculo es un subgrupo compacto maximal de PSL(2, R ). ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)/\{\pm 1\))$

El multiplicador de Schur del grupo discreto PSL(2, R ) es mucho mayor que el grupo Z y la extensión central universal es mucho mayor que el grupo de cobertura universal. Sin embargo, estas grandes extensiones centrales no tienen en cuenta la topología y son algo patológicas.

Teoría de la representación

SL(2, R ) es un grupo de Lie simple real no compacto y es una forma real dividida del grupo de Lie complejo SL(2, C ). El álgebra de Lie del grupo SL(2, R ), denotado como sl(2, R ), es el álgebra de todas las matrices reales sin rastro [2] . Esta es un álgebra de Bianchi de tipo VIII. ${\ estilo de visualización 2 \ veces 2}$

La teoría de representación de dimensión finita del grupo SL(2, R ) es equivalente a la teoría de representación SU(2) , que es la forma real compacta del grupo SL(2, C ). En particular, SL(2, R ) no tiene representaciones unitarias de dimensión finita no triviales. Esta es una propiedad de cualquier grupo de Lie simple no compacto conectado. Para un esquema de la prueba, ver el artículo "No unitaridad de la representación" .

La teoría de la representación de dimensión infinita del grupo SL(2, R ) es muy interesante. El grupo tiene varias familias de representaciones unitarias, que fueron desarrolladas en detalle por Gelfand y Naimark (1946), V. Bargman (1947) y Harish-Chandra (1952).

Véase también

Notas

↑ Kisil, 2012 , pág. xv+192.
↑ Una matriz sin traza es una matriz cuya traza es 0.

Literatura

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Gelfand IM, Naimark MA Representaciones unitarias del grupo de Lorentz // Izv. Academia de Ciencias de la URSS. Ser. Matem.. - 1947. - T. 11 , núm. 5 . — Pág. 411–504 .
Harish Chandra. Fórmula de Plancherel para el grupo unimodular real // Proc. nacional Academia ciencia EE.UU. - 1952. - T. 38 . — S. 337–342 . -doi : 10.1073/ pnas.38.4.337 . — PMID 16589101 . ${\ estilo de visualización 2 \ veces 2}$
Sergio Lang. . - Nueva York: Springer-Verlag, 1985. - V. 105. - ISBN 0-387-96198-4 . -doi : 10.1007 / 978-1-4612-5142-2 . $\mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )$
- Leng S. / Traducido del inglés por V.I. Vasyunin y M. A. Semyonov-Tyan-Shansky; Editado por A.A. Kirillov. - Moscú: Mir, 1977. $SL_{2}(R)$
Guillermo Thurston. Geometría tridimensional y topología. vol. 1. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. - V. 35. - ISBN 0-691-08304-5 .
Vladímir V. Kisil. Geometría de las transformaciones de Möbius. Acciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas de SL(2,R). - Londres: Imperial College Press, 2012. - ISBN 978-1-84816-858-9 . -doi : 10.1142/ p835 .

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier