Compactificación

La compactación es una operación que transforma espacios topológicos en espacios compactos .

Definición

Formalmente, la compactación de un espacio se define como un par , donde es compacto, un empotramiento tal que es denso en . $X$ $(Y,\;f)$ $Y$ $f:X \a Y$ $f(X)$ $Y$

Ejemplos

El plano proyectivo real es una de las compactaciones del plano euclidiano . Su otra copatificación (de un solo punto) es homeomorfa a una esfera.

Compactación en un punto

La compactación de un punto (o compactación de Alexandrov ) se organiza de la siguiente manera. Los conjuntos abiertos e in son todos conjuntos abiertos , así como conjuntos de la forma , donde tiene un complemento cerrado y compacto (in ). se toma como una incrustación natural en . entonces la compactación es Hausdorff si y sólo si es Hausdorff y localmente compacta . $Y=X \cup \{\infty\}$ $Y$ $X$ $O \taza \{\infty\}$ $O\subconjunto X$ $X$ $F$ $X$ $Y$ $(Y,\;f)$ $Y$ $X$

Ejemplos

$\R \cup \{\infty\}$ con la topología construida como arriba es un espacio compacto. Es fácil probar que si dos espacios son homeomorfos, entonces las compactaciones correspondientes en un punto también son homeomorfas.
- En particular, dado que un círculo en el plano sin un punto es homeomorfo a c (un ejemplo de homeomorfismo es una proyección estereográfica ), todo el círculo es homeomorfo a c . $\matemáticas {R}$ $\R \cup \{\infty\}$
- Del mismo modo, la esfera homeomórfica - dimensional . $\mathbb R^n \cup \{\infty\}$ $norte$

Compactación Stone-Cech

En las compactaciones de algún espacio fijo , se puede introducir un orden parcial . Sea para dos compactaciones , , si existe un mapeo continuo tal que . El elemento máximo (hasta un homeomorfismo ) en este orden se denomina compactación de Stone-Cech [1] y se denota por . Para que un espacio tenga una compactación de Stone-Cech que satisfaga el axioma de separación de Hausdorff , es necesario y suficiente que satisfaga el axioma de separación , es decir, que sea completamente regular . $X$ $f_1 \leqslant f_2$ $f_1: X\a Y_1$ $f_2: X\a Y_2$ $g: Y_2 \a Y_1$ $g f_2 = f_1$ $\ beta X$ $X$ $X$ $T_{3\frac{1}{2}}$

Notas

↑ También "Compactificación de Stonechech" y "Compactificación de Chechstone".