Desigualdad de Jensen

La desigualdad de Jensen es una desigualdad introducida por Johann Jensen y estrechamente relacionada con la definición de una función convexa .

Formulaciones

Caso final

Sea la función convexa en algún intervalo y sean los números tales que $f\izquierda(x\derecha)$ ${\ matemática X}$ $\ q_{1},q_{2},\ldots,q_{n}$

\ q_{1},q_{2},\ldots,q_{n}>0

y .

\ q_{{1}}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1

Entonces, cualesquiera que sean los números del intervalo , la siguiente desigualdad es verdadera: $\ x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ ${\ matemática X}$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2} f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})

f\left(\sum_{{i=1}}^{{n}}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum_{{i=1}}^{{n}}q_ {i}f(x_{i})

Notas:

Si la función es cóncava (convexa hacia arriba), entonces se invierte el signo de la desigualdad. $\f(x)$
El mismo Johann Jensen procedía de una relación más particular, a saber

f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2} }

, corresponde al caso .

q_{1}=q_{2}={\frac{1}{2))

Prueba

La demostración se realiza por el método de inducción matemática .

Porque la desigualdad se sigue de la definición de una función convexa . $\n=2$
Supongamos que es cierto para algún número natural , probaremos que es cierto para , es decir $\norte$ $\n+1$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}})\ leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{{n+1}}f( x_{{n+1}})

Con este fin, reemplazamos la suma de los dos últimos términos de la izquierda con un término $\ q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}}$

(q_{n}+q_{{n+1)))\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{n}+{\ fracción {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{{n+1}}\derecha)

;

esto permitirá usar la desigualdad para y establecer que la expresión anterior no excede la suma $\norte$

q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{{n+1)))f\left({\frac { q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{n}+{\frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+ 1 }}}}x_{{n+1}}\derecha)

Solo queda aplicar al valor de la función en el último término la desigualdad para . Así, por el método de inducción matemática, la desigualdad de Jensen queda completamente demostrada. $\n=2$

Interpretación geométrica

Un punto es la correspondiente combinación convexa de puntos . Es obvio a partir de la definición de una función convexa que la envolvente convexa de este conjunto de puntos coincidirá con el propio conjunto. Esto significa que de las propiedades de una combinación convexa se deduce que el punto formado estará dentro del polígono construido sobre los puntos enumerados en el orden indicado (si conectamos el último con el primero). $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), \puntos, (x_n, f(x_n))$

Es geométricamente obvio que en este caso el punto estará encima de una de las líneas de la forma . Pero para una función convexa, por definición, dicha línea recta se encuentra por encima de la gráfica de la función. Esto significa que el punto se encuentra por encima de este gráfico, lo que significa que . $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_i;f(x_i))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))$ $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $f(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i}) \le \sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)}$

Formulación integral

Para una función convexa y una función integrable , la desigualdad $\varphi \izquierda(x\derecha)$ $f\izquierda(x\derecha)$

\varphi \left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{ba}} \int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.

Formulación probabilística

Sea un espacio de probabilidad , y sea una variable aleatoria definida en él . Sea también una función de Borel convexa (hacia abajo) . entonces si entonces $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon\Omega\to\mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\en L^{1}(\Omega,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi ({\mathbb {E}}[X])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)]

donde significa expectativa matemática . ${\mathbb{E}}[\cdot]$

Desigualdad de Jensen para expectativa condicional

Sea, además de las suposiciones enumeradas anteriormente, una sub-σ-álgebra de eventos . Después ${\mathcal {G}}\subconjunto {\mathcal {F}}$

\varphi ({\mathbb {E}}[X|{\mathcal {G}}])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)|{\mathcal {G}}]

donde denota la expectativa condicional con respecto al σ-álgebra . ${\mathbb {E}}[\cdot |{\mathcal {G}}]$ ${\ matemáticas {G}}$

Casos especiales

Desigualdad de Hölder

Sea , donde (una función convexa). Tenemos $\f(x)=x^{k}$ $\x>0,$ $\k>1$

\left(\sum_{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum_{{i=1}}^{ {n}}{q_{i}x_{i}^{k}}

, y

\ q_{1},\ldots,q_{n}>0

\ q_{1}+\ldots +q_{n}=1

Denotemos , donde son números positivos arbitrarios, entonces la desigualdad se escribirá en la forma $\ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}$ $\p_{1},\ldots,p_{n}$

\left(\sum_{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\sum_{{i=1} }^{{n}}{p_{i}}\right)^{{k-1}}\sum_{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}^ {k}}

Reemplazando aquí con y con , obtenemos la conocida desigualdad de Hölder : $\Pi}$ $\ b_{i}^{{{\frac{k}{k-1))))$ $\x_{yo}$ ${\frac{a_{i}}{b_{i}^{{{\frac{1}{k-1}}}}}}$

\sum_{{i=1}}^{{n}}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum_{{i=1}}^{{n}}{a_{ i}}^{k}\right)^{{\frac {1}{k}}}\left(\sum_{{i=1}}^{{n}}{b_{i}}^{ {{\frac {k}{k-1}}}}\right)^{{\frac {k-1}{k}}}

Desigualdad de Cauchy

Let (función cóncava). Tenemos $\f(x)=\lnx$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{{i=1}}^{{n} {q_{i}x_{i}}\derecho)

, o , potenciando obtenemos .

\ln \prod_{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \ln \sum_{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}

\prod_{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \sum_{{i=1}}^{{n}}{ q_{i}x_{i}}

En particular, cuando obtenemos la desigualdad de Cauchy ( la media geométrica no supera a la media aritmética ) $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\sqrt[ {n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}

Desigualdad entre media armónica y media geométrica

Let (una función convexa). Tenemos $\ f(x)=x\lnx$

\left(\sum_{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum_{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum_{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}

. Poniendo y potenciando, obtenemos

q_{i}={\frac {{\frac {1}{x_{i)))){\sum_{{i=1}}^{{n}}{{\frac {1}{x_{ i}}}}}}

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}

( la media armónica no supera la media geométrica )

Desigualdad entre media armónica y media aritmética

Let (una función convexa). Tenemos $\ f(x)={\frac{1}{x}}$ ${\frac {1}{\sum_{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum_{{i=1}}^{{ n}}{{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}$

En particular, porque obtenemos que la media armónica no excede la media aritmética : $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq {\frac {x_{1}+ \ldots +x_{n}}{n}}

Véase también

Literatura

Zorich V. A. Ch. V. Cálculo diferencial // Análisis matemático. Parte I. - 6ª ed. - M. : MTSNMO , 2012. - S. 289-290. - 2000 copias. - ISBN 978-5-94057-892-5 .
Fikhtengolts G. M. Ch. IV. Investigación de funciones con ayuda de derivadas // Curso de cálculo diferencial e integral. - 8ª edición. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 1. - S. 336-337. - 5000 copias. — ISBN 5-9221-0156-0 .