Desigualdad triangular

La desigualdad triangular en geometría , análisis funcional y disciplinas relacionadas es una de las propiedades intuitivas de la distancia. Establece que la longitud de cualquier lado de un triángulo siempre es menor que la suma de las longitudes de sus otros dos lados. La desigualdad triangular se incluye como axioma en la definición de un espacio métrico , una norma , etc.; además, a menudo es un teorema en varias teorías.

Geometría euclidiana

Desigualdad

AC\leqslant AB+BC,

corre en cualquier triángulo . Además , la igualdad se logra sólo cuando el triángulo es degenerado , y el punto se encuentra estrictamente entre y . $\triángulo ABC$ ${\ estilo de visualización AC = AB + BC}$ $B$ $A$ $C$

Los Elementos de Euclides demuestran la desigualdad del triángulo de la siguiente manera. Primero, se demuestra un teorema de que el ángulo externo de un triángulo es mayor que el ángulo interno que no es adyacente a él. De él se deduce un teorema de que un ángulo interior mayor se encuentra frente al lado mayor del triángulo. Además, por contradicción, se demuestra el teorema de que el lado mayor se encuentra frente al ángulo interno mayor de un triángulo. Y de este teorema se deriva la desigualdad triangular.

Espacio normado

Sea un espacio vectorial normado , donde es un conjunto arbitrario y es una norma definida en . Entonces, por definición de este último, es cierto: $(X,\|\cpunto\|)$ $X$ $\|\cdot \|$ $X$

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.

Espacio de Hilbert

En el espacio de Hilbert , la desigualdad del triángulo es una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky .

Espacio métrico

Sea un espacio métrico , donde es un conjunto arbitrario y es una métrica definida en . Luego, por definición de la última $(X,\rho)$ $X$ $\rho$ $X$

\rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.

Variaciones y generalizaciones

$d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$ Desigualdad triangular fuerte

Desigualdad del triángulo inverso

Una consecuencia de la desigualdad triangular en espacios normados y métricos son las siguientes desigualdades:

${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|xy\|,\quad x,y\in X;$
$|\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.$

La desigualdad triangular para un ángulo triédrico

Cada ángulo plano de un ángulo triédrico convexo es menor que la suma de sus otros dos ángulos planos.

Número arbitrario de puntos

Denotemos la distancia entre los puntos y . Entonces se cumple la siguiente desigualdad: . Se obtiene aplicando sucesivamente la desigualdad triangular para tres puntos: [1] ${\ estilo de visualización \ rho (x_ {i}, x_ {j})}$ $x_{yo}$ $x_{j}$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+ \rho (x_{m-1},x_{m})$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho ( x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...$

Véase también

Notas

↑ Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. — M.: Fizmatlit, 1961. — Pág. 28