Octamino

Octamino  : poliominós de ocho celdas , es decir, figuras planas que consisten en ocho cuadrados iguales conectados por lados. Con las figuras octamino, como con todos los poliominós, existen muchos problemas para entretener las matemáticas.

Si no contamos las diferentes figuras que coinciden durante las rotaciones y los reflejos del espejo, entonces hay 369 formas diferentes ("libres") de octamino (ver figura) [1] . Hay 704 tipos de octamino "de un solo lado" (si los reflejos de espejo se consideran figuras diferentes) y 2725 tipos de octamino "fijos" (los giros también se consideran diferentes) [2] .

Clasificación de figuras octamino según sus propiedades de simetría

369 octaminos libres según sus propiedades de simetría se pueden dividir en 8 categorías:

• 316 figuras octamino (mostradas en gris en la figura) son asimétricas;
• 23 octaminos (representados en rojo) tienen un eje de simetría paralelo a las líneas de la cuadrícula;
• 5 octamino (representado en verde) tienen un eje de simetría diagonal;
• Los 18 octaminos (representados en azul) tienen simetría central (rotacional) de segundo orden;
• 1 octamino (representado en amarillo) tiene una simetría central (rotacional) de cuarto orden;
• 4 octaminos (representados en violeta) tienen dos ejes de simetría paralelos a las líneas de la cuadrícula;
• 1 octamino (representado en naranja) tiene dos ejes diagonales de simetría.
• 1 octamino (representado en azul y verde) tiene cuatro ejes de simetría: dos paralelos a las líneas de la cuadrícula y dos diagonales.

Octamino es el orden poliomino más pequeño en el que se realizan los ocho tipos posibles de simetría. El siguiente orden de poliominós con esta propiedad es el dodecamino (poliominós de doce celdas).

Si las imágenes especulares de las figuras se consideran diferentes, entonces las categorías primera, cuarta y quinta se duplican en número, lo que da 335 octamino adicionales, es decir, un total de 704 octamino unilateral.

Si las rotaciones también se consideran como figuras diferentes, entonces

• las figuras de la primera categoría pueden orientarse de ocho maneras diferentes;
• figuras de categorías del segundo al cuarto - cuatro;
• figuras de las categorías cinco a siete - dos;
• la única figura de la última categoría puede orientarse de forma única.

Esto da octamino fijo.

Dibujar figuras de octamino

Entre los 369 octaminos libres hay 6 figuras con huecos ("no simplemente conectadas"). De esto se deduce que una cobertura completa de cualquier rectángulo con un área de cuadrados por un conjunto completo de octamino es imposible. Sin embargo, se pueden apilar en algunos rectángulos con un área de 2958 cuadrados con seis agujeros de una celda. Dado que el número 2958 es un producto de factores primos 2×3×17×29, podemos plantearnos la cuestión de trazar rectángulos de 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 y 51×58.

Para un rectángulo de 51×58, existe una solución con una disposición simétrica de agujeros, como se muestra en la figura. También hay un apilamiento de octamino en tres rectángulos de 29x34, cada uno con dos agujeros cerca del centro. Combinándolos de varias formas, puedes obtener un rectángulo de 34x87 o 29x102 con una disposición simétrica de tres pares de agujeros. Las soluciones para los rectángulos 6×493 y 17×174 aún no se conocen.

Octamino espacial

A partir de 369 octamino espacial, con forma de octamino "plano" regular,  se puede ensamblar un cuboide de 8  ×  9  × 41. Una solución utiliza todo menos el octamino recto para ensamblar ocho capas separadas de 1  ×  9  ×  41; octamino directo pasa a través de los centros de las ocho capas [3] .

Pseudooctamino

Pseudopolyomino es una generalización de polyomino, un conjunto de campos de un tablero de ajedrez infinito que el rey puede sortear [1] . Hay 18.770 libres (de dos caras) [4] , 37.196 de una cara [5] y 147.941 fijos [6] pseudo-octamino.

Notas

1. ↑ 12 Golomb , 1975 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Octomino  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
3. ↑ Ed Pegg Jr. material añadido el 11 de marzo de 2001 . ¡Patrick Hamlyn empaquetó los sólidos octóminos de una manera impresionante, con tres colores! . MathPuzzle.com . Consultado el 20 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 26 de enero de 2016. (indefinido)
4. ↑ Secuencia OEIS A030222 _
5. ↑ Secuencia OEIS A030233 _
6. ↑ Secuencia OEIS A006770 _

Literatura

• Golomb S.V. . Poliominó \u003d Poliominós / Per. De inglés. V. Firsova. Prefacio y ed. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 p.