Parqué triangular

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mosaico triangular
Tipo de Mosaico correcto
figura de vértice 3.3.3.3.3.3 (3 6 )
Símbolo Schläfli {3,6}
Símbolo de Wythoff 6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
Gráfico de Coxeter CDel nodo.pngCDel 6.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo 1.png
CDel nodo.pngCDel 6.pngCDel nodo h.pngCDel 3.pngCDel nodo h.png
CDel nodo 1.pngCDelsplit1.pngCDel-sucursal.png=CDel nodo h1.pngCDel 6.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png
CDel nodo h.pngCDelsplit1.pngCDel sucursal hh.png
grupo de simetría p6m , [6,3], (*632)
Simetría rotacional p6 , [6,3] + , (632)
p3 , [3 [3] ] + , (333)

Azulejos dobles		 mosaico hexagonal
Propiedades Vertex-transitive ,
Edge-transitive ,
face-transitive

El parquet triangular ( parquet triangular [1] ) o mosaico triangular es un mosaico de un plano con triángulos regulares iguales ubicados uno al lado del otro.

Un mosaico triangular es el dual de un mosaico hexagonal : si conecta los centros de triángulos adyacentes, los segmentos dibujados darán un mosaico hexagonal [1] [2] . El símbolo de Schläfli de un parquet triangular es {3,6}, lo que significa que 6 triángulos convergen en cada vértice del parquet.

El ángulo interior de un triángulo regular es de 60 grados, por lo que seis triángulos en un vértice suman 360 grados. Este es uno de los tres mosaicos planos regulares . Los otros dos mosaicos son parquet hexagonal y parquet cuadrado .

El matemático inglés Conway llamó al mosaico deltille (delta mosaico) porque tiene la forma de la letra griega delta (Δ). Un mosaico triangular también se puede llamar mosaico kis-hexagonal aplicando la operación kis , que agrega un vértice central y triángulos, rompiendo las caras del mosaico hexagonal .

Coloraciones uniformes

Hay 9 colores uniformes diferentes del mosaico triangular (según los colores de 6 triángulos alrededor del vértice - 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314). Tres de ellos se pueden obtener de los demás cambiando de color: 111212 y 111112 de 121213 combinando 1 y 3, mientras que 111213 se obtiene de 121314 [3] .

Hay una clase de coloración de Arquímedes , 111112, (marcada con *), en la que la coloración no es 1-homogénea y contiene filas alternas de triángulos, en las que cada tercio está coloreado. La coloración dada es 2-homogénea, y hay infinitas coloraciones de este tipo, ya que dichas coloraciones están determinadas por cambios de fila arbitrarios.

111111 121212 111222 112122 111112(*)
p6m (*632) p3m1 (*333) mmm (2*22) p2 (2222) p2 (2222)
121213 111212 111112 121314 111213
p31m (3*3) p3 (333)

Celosía A2 y empaque de círculos

La ubicación de los vértices del mosaico triangular se denomina red A 2 [4] . Es una versión bidimensional del panal simpléctico .

Rejilla A*
2(que también se llama A3
2) puede construirse como la unión de tres celosías A 2 y es equivalente a la celosía A 2 .

CDel nodo 1.pngCDelsplit1.pngCDel-sucursal.png+CDel nodo.pngCDelsplit1.pngCDel sucursal 10lu.png+CDel nodo.pngCDelsplit1.pngCDel sucursal 01ld.png= doble deCDel nodo 1.pngCDelsplit1.pngCDel sucursal 11.png=CDel nodo 1.pngCDelsplit1.pngCDel-sucursal.png

Los vértices del mosaico triangular son los centros del empaque más denso de círculos [5] . Cualquier círculo toca otros 6 círculos ( número de contacto ). La densidad de empaquetamiento es , que es aproximadamente 90.69%. Dado que la unión de los tres retículos A 2 es de nuevo el retículo A 2 , los círculos pueden colorearse con tres colores.

La celda del diagrama de Voronoi de un mosaico triangular es un hexágono , por lo que el mosaico de Voronoi , un mosaico hexagonal, está directamente relacionado con el empaquetamiento de círculos.

Cuadrícula A 2 paquetes de círculos Rejilla A*
2embalaje circular

Variantes geométricas

Los mosaicos triangulares pueden ser idénticos a la topología de mosaico regular {3,6} (6 triángulos en cada vértice). Hay 5 variantes transitivas de vértice con las mismas caras ( face-transitive ). Desde el punto de vista de la simetría, todas las caras tienen el mismo color, mientras que el color de las figuras representa la posición en la cuadrícula [6] .

Poliedros y mosaicos relacionados

Las teselaciones planas están relacionadas con los poliedros . Al colocar menos triángulos en cada vértice, obtenemos un espacio vacío, lo que nos permite doblarnos en forma de pirámide . Se pueden obtener poliedros regulares a partir de esto : cinco, cuatro y tres triángulos en un vértice dan un icosaedro , un octaedro y un tetraedro , respectivamente.

Este mosaico está relacionado topológicamente (como parte de una secuencia) con politopos regulares con símbolos de Schläfli {3, n}.

* n 32 simetrías regulares de mosaico: 3 n o {3, n }
esférico euclidiana Hipérbola compacta. Para
-compacto 		Hiperbólico no compacto
3.3 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3∞ _ 3 12i 39i _ 36i _ 3 3i

Este mosaico está relacionado topológicamente (como parte de una secuencia) con politopos semirregulares con configuración de caras Vn.6.6.


V3.6.6
V4.6.6
V5.6.6
V6.6.6
V7.6.6

Construcción de mosaicos hexagonales y triangulares de Wythoff

Al igual que los poliedros uniformes , hay ocho mosaicos uniformes basados ​​en mosaicos hexagonales regulares (o mosaicos triangulares duales).

Si dibuja los mosaicos de cara originales en rojo, los vértices originales (los polígonos resultantes) en amarillo y los bordes originales (los polígonos resultantes) en azul, hay 8 formas, 7 de las cuales son topológicamente distintas. ( El mosaico triangular truncado es topológicamente idéntico al mosaico hexagonal).

Infinitos complejos regulares relacionados

Hay 4 apeirogons complejos regulares que tienen los mismos vértices hexagonales de mosaico. Las aristas de los apeirogons complejos regulares pueden contener 2 o más vértices. Los apeirogons regulares p { q } r tienen la restricción: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices y las figuras de los vértices son r -gons [7] .

El primer apeirogon consta de 2 aristas, los dos siguientes tienen aristas triangulares y el último tiene aristas hexagonales superpuestas.

2{6}6 oCDel nodo 1.pngCDel 6.pngCDel6nodo.png 3{4}6 oCDel 3nodo 1.pngCDel 4.pngCDel6nodo.png 3{6}3 oCDel 3nodo 1.pngCDel 6.pngCDel3nodo.png 6{3}6 oCDel 6nodo 1.pngCDel 3.pngCDel6nodo.png

Otros mosaicos triangulares

También hay tres mosaicos de Laves que consisten en triángulos del mismo tipo:


Rómbico dividido
30°-60°-90° triángulos rectángulos
Cuadrado dividido
45°-45°-90° triángulos rectángulos
triangular triangular mosaico
30°-30°-120° triángulos isósceles

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 , pág. 147.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. Dual Tessellation  en el sitio web de Wolfram MathWorld .
  3. ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. 102-107.
  4. ↑ El entramado A2 . Consultado el 26 de marzo de 2017. Archivado desde el original el 25 de febrero de 2021.
  5. ↑ Critchlow, 1987 , pág. 74–75, patrón 1.
  6. ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. 473-481.
  7. ↑ Coxeter, 1991 , pág. 111-112, 136.

Literatura

Enlaces

 Panales regulares y uniformes convexos fundamentales en espacios de dimensiones 2–10
Familia / /
Mosaico homogéneo {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal
Panales convexos homogéneos {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4
panal de cinco dimensiones uniforme {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Panal de 24 celdas
panal de seis dimensiones uniforme {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6
panal uniforme de siete dimensiones {3 [7] } 7 _ hδ 7 qδ 7 222 _
panal de ocho dimensiones uniforme {3 [8] } 8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31
panal uniforme de nueve dimensiones {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21
Panales n -dimensionales uniformes {3 [n] } n _ hδn_ _ qδn_ _ 1 k2 • 2 k1 • k 21
 mosaicos geometricos
Periódico
aperiódico
Otro
Por configuración de vértice
Esférico
correcto
semi-
correcto
Hiperbólico
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3.14 2
  • 3.16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4.14 2
  • 4.16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5.8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6.8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6.16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7.6 2
  • 7.8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8.6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2