Parquet cuadrado

mosaico cuadrado
Tipo de	Mosaico correcto
Configuración de la cara	4.4.4.4 (o 4 4 )|
Configuración de la cara	V4.4.4.4 (o V4 4 )
Símbolo Schläfli	{4,4}
símbolo de Wythoff	4 | 24
Diagramas de Coxeter-Dynkin
Simetría	p4m , [4,4], (*442)
simetría rotacional	], p4 , [4,4] + , (442)|
Azulejos dobles	auto-dual
Propiedades	vértice-transitivo cara-transitivo borde-transitivo

Parquet cuadrado , parquet cuadrado [1] , mosaico cuadrado o celosía cuadrada  es un mosaico de un plano con cuadrados iguales ubicados uno al lado del otro, mientras que los vértices de cuatro cuadrados adyacentes están en un punto. El símbolo de Schläfli para el mosaico es {4,4}, lo que significa que hay 4 cuadrados alrededor de cada vértice .

Conway llamó a este mosaico quadrille (cuadrilla).

El ángulo interior de un cuadrado es de 90 grados, por lo que los cuatro cuadrados en el vértice dan 360 grados completos. El mosaico es uno de los tres mosaicos regulares en el plano . Los otros dos son el mosaico triangular y el mosaico hexagonal .

Coloraciones uniformes

Hay 9 colores uniformes diferentes de un mosaico cuadrado. Colores de 4 cuadrados por índices de color alrededor del vértice: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Los casos con simetría de espejo simple y pasante ( ii) casos con simetría de espejo deslizante. Tres de estas variantes se pueden considerar en la misma área fundamental que los colorantes reducidos: 1112 i se obtiene de 1213, 1123 i de 1234 y 1112 ii de 1123 ii .

La coloración del ajedrez (colores 1212) es la base para muchos juegos y rompecabezas, por ejemplo, el campo de un tablero de ajedrez es un parquet cuadrado, también para muchos otros juegos en un campo de ajedrez , crucigramas , poliominós , el modelo Life y otros bidimensionales. autómatas celulares , etc . P.

Un tablero de un color (colores 1111) se usa, por ejemplo, en el juego de Go .

Poliedros y mosaicos relacionados

Este mosaico es topológicamente parte de una secuencia de poliedros regulares y mosaicos que continúa en el plano hiperbólico : {4,p}, p=3,4,5…

Opciones de simetría * n 42 mosaicos regulares: {4, n }
Esférico	euclidiana	Hiperbólico compacto				paracompacto
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4,∞}

Los mosaicos cuadrados son parte de una secuencia de poliedros regulares y mosaicos que tienen cuatro caras por vértice. La secuencia comienza con un octaedro , los símbolos de Schläfli de la secuencia son {n,4} y los diagramas de Coxeter son cuando n tiende a infinito.

Construcción de Wythoff a partir de un mosaico cuadrado

Al igual que los poliedros uniformes , hay ocho mosaicos uniformes basados ​​en un mosaico cuadrado regular.

Al pintar las caras originales en rojo, los vértices originales en amarillo y los bordes originales en azul, obtenemos 8 mosaicos diferentes. Sin embargo, solo hay tres mosaicos topológicamente distintos: el mosaico cuadrado , el mosaico cuadrado truncado y el mosaico cuadrado chato .

Mosaicos uniformes basados ​​en la simetría de un mosaico cuadrado
Simetría : [4,4], (*442)							[4,4] + , (442)	[4,4 + ], (4*2)
{4,4}	{4,4}	r{4,4}	{4,4}	{4,4}	{4,4}	{4,4}	señor{4,4}	{4,4}
duales uniformes
V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Teselaciones topológicamente equivalentes

Otros mosaicos cuádruples pueden ser topológicamente equivalentes a los mosaicos cuadrados (4 quads en cada vértice).

Los mosaicos isoédricos tienen las mismas caras ( transitividad de caras ) y son transitivos de vértice . Hay 18 opciones, 6 tienen caras triangulares que no se conectan de borde a borde y otras 6 consisten en cuadriláteros con dos bordes paralelos (trapezoides). La simetría dada supone que todas las caras están pintadas del mismo color [2] .

Círculos de embalaje

Se puede usar un mosaico cuadrado para empaquetar círculos colocando círculos del mismo diámetro centrados en los vértices de los cuadrados. Cada círculo está en contacto con otros cuatro círculos de embalaje ( número de contacto ) [3] . La densidad de empaque es Hay 4 colores uniformes de empaque circular.

Infinitos complejos regulares relacionados

Hay 3 apeirogons complejos regulares que tienen los mismos vértices que el mosaico cuadrado. Los apeirogons complejos regulares tienen vértices y aristas, mientras que las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirogons regulares p{q}r están acotados por la expresión 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Aquí se supone que los bordes contienen p vértices y la figura del vértice es r -gonal [4] .

Auto-dual	Doble
4{4}4 o	2{8}4 o	4{8}2 o

Véase también

• Celda (dibujo)
• Lista de poliedros y compuestos multidimensionales regulares
• Lista de mosaicos uniformes
• celosía cuadrada
• Mosaicos de polígonos regulares convexos en el plano euclidiano

Notas

1. ↑ Golomb, 1975 , pág. 147.
2. ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. 473-481.
3. ↑ Critchlow, 1987 , pág. 74-75.
4. ↑ Coxeter, 1973 , pág. 111-112, 136.

Literatura

• Golomb S. V. Poliomino = Poliominoes / Per. De inglés. V. Firsova. Prefacio y ed. I. Yagloma. — M .: Mir, 1975. — 207 p.
• Coxeter HCM Tabla II: Panales regulares //Politopos regulares (libro) . - Tercera edicion. - Edición Dover, 1973. - S.  296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Klitzing, Richard 2D Euclidean tilings o4o4x - squat - O1 Archivado el 9 de diciembre de 2017 en Wayback Machine .
• Williams, R. La base geométrica de la estructura natural: un libro de referencia del diseño . - Nueva York: Dover Publications , 1979. - Pág  . 36 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Branko Grünbaum , GC Shepard. Mosaicos y Patrones . - W.H. Freeman, 1987. - P. 58-65 (Capítulo 2.1: Teselaciones regulares y uniformes). - ISBN 0-7167-1193-1 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Las simetrías de las cosas . - Wellesley, MA: AK Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Archivadoel 19 de septiembre de 2010 enWayback Machine
• Keith Critchlow. Orden en el espacio: un libro fuente de diseño. - Nueva York: Thames & Hudson, 1987. - S. 77-76, patrón 8. - ISBN 0-500-34033-1 .

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Square Grid  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
• Weisstein , Eric W. Teselación regular  en Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Teselación uniforme  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Panales regulares y uniformes convexos fundamentales en espacios de dimensiones 2–10

Familia / / Mosaico homogéneo {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal Panales convexos homogéneos {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 panal de cinco dimensiones uniforme {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Panal de 24 celdas panal de seis dimensiones uniforme {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 panal uniforme de siete dimensiones {3 [7] } 7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ panal de ocho dimensiones uniforme {3 [8] } 8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 panal uniforme de nueve dimensiones {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Panales n -dimensionales uniformes {3 [n] } n _ hδn_ _ qδn_ _ 1 k2 • 2 k1 • k 21