Número octaédrico

Un número octaédrico es un tipo de números rizados poliédricos . Dado que un octaedro puede verse como dos pirámides cuadradas pegadas en sus bases (ver figura), el número octaédrico se define como la suma de dos números piramidales cuadrados consecutivos [1] :

{\displaystyle O_{n}=\Pi _{n-1}^{(4)}+\Pi _{n}^{(4)))

La fórmula general [2] para el número octaédrico es: $norte$ $En}$

{\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3))

El primero de los números octaédricos (secuencia A005900 en OEIS ):

1,6,19,44,85,146,231,344,489,670\puntos

Fórmula recurrente [1] :

O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n;\quad O(1)=1

Función generadora de secuencias [1] :

{\frac {x(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}x^ {n}=x+6x^{2}+19x^{3}+\cdots;\quad |x|<1

Relación con números figurativos de otros tipos

La definición dada arriba relacionaba los números octaédricos con los números piramidales cuadrados . Conexión con números tetraédricos : ${\ estilo de visualización \ mathbb {T} _ {n}}$

{\displaystyle O_{n}+4\mathbb {T} _{n-1}=\mathbb {T} _{2n-1))

Geométricamente, esta fórmula significa que si pegas un tetraedro en cuatro caras no adyacentes de un octaedro , obtienes un tetraedro del doble de tamaño.

Otro tipo de conexión [1] :

{\displaystyle O_{n}=\mathbb {T} _{n}+2\mathbb {T} _{n-1}+\mathbb {T} _{n-2))

Esta fórmula se deriva de la definición y del hecho de que un número piramidal cuadrado es la suma de dos tetraédricos. Otra interpretación: el octaedro se puede dividir en cuatro tetraedros, cada uno de los cuales tiene dos caras inicialmente adyacentes.

Conexión con números tetraédricos y cúbicos :

O_{n}+2\mathbb {T} _{n-1}=n^{3}

La diferencia de dos números octaédricos consecutivos es un número cuadrado centrado [1] :

{\displaystyle O_{n+1}-O_{n}=C_{n+1}^{4}=(n+1)^{2}+n^{2))

La hipótesis de Pollock

En 1850, el matemático aficionado británico, miembro de la Royal Society , Sir Jonathan Frederick Pollock . sugirió [3] que todo número natural es la suma de como máximo siete números octaédricos. La hipótesis de Pollock aún no ha sido probada ni refutada. La verificación por computadora mostró que, muy probablemente:

309 es el número más grande que requiere exactamente siete términos;
11.579 es el último número que requiere seis términos;
65 285 683 es el último número que requiere cinco términos.

Si la conjetura de Pollock es correcta, entonces se prueba que debe haber números arbitrariamente grandes que necesitan cuatro términos [4] [5] .

Aplicación

En química, los números octaédricos se pueden utilizar para describir el número de átomos en grupos octaédricos (ver " grupos mágicos ") [6] [7] .

Notas

↑ 1 2 3 4 5 Deza E., Deza M., 2016 , pág. 82-85.
↑ Conway, John Horton & Guy, Richard K. (1996), El libro de los números , Springer-Verlag, p. 50, ISBN 978-0-387-97993-9 .
↑ Federico Pollock. Sobre la extensión del principio del teorema de Fermat sobre los números poligonales últimos al orden superior de series cuyas diferencias son constantes. Con un nuevo teorema propuesto, aplicable a todos los pedidos // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. - 1850. - Vol. 5 . - Pág. 922-924 . . _
↑ Deza E., Deza M., 2016 , pág. 239.
↑ Dickson, LE (2005), Análisis diofántico , vol. 2, Historia de la teoría de los números , Nueva York: Dover, p. 22–23 , < https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22 > Archivado el 21 de noviembre de 2021 en Wayback Machine .
↑ Teo, Boon K. & Sloane, NJA (1985), Números mágicos en agrupaciones poligonales y poliédricas , Química inorgánica Vol. 24 (26): 4545–4558, doi : 10.1021/ ic00220a025 , > Archivado el 13 de marzo de 2012 en Wayback Machine .
↑ Feldheim, Daniel L. & Foss, Colby A. (2002), Nanopartículas metálicas: síntesis, caracterización y aplicaciones , CRC Press, p. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3 , < https://books.google.com/books?id=-u9tVYWfRcMC&pg=PA76 > Archivado el 27 de junio de 2014 en Wayback Machine .

Literatura

Deza E., Deza M. Números rizados. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Octahedral Number (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

números rizados

plano

Poligonal clásico	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal dodecagonal
Centrado	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal Nueve ángulos Decagonal

Piramidal	tetraédrico piramidal cuadrada
multifacético	cúbico Octaédrico dodecaédrico icosaédrico octaédrico estrellado

multifacético	pentatópico Bicuadrado