Número tetraédrico

Los números tetraédricos , también llamados números piramidales triangulares , son números figurativos que representan una pirámide , en cuya base se encuentra un triángulo regular . El enésimo número tetraédrico en orden se define como la suma de los primeros números triangulares : $norte$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {n}}$ $norte$

{\displaystyle \Delta _{n}=T_{1}+T_{2}+\puntos +T_{n))

Comienzo de una secuencia de números tetraédricos:

1, 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969,… ( secuencia OEIS A000292 ).

Fórmula

La fórmula general para el número tetraédrico th es: $norte$

\Delta _{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6)).

Además, la fórmula se puede expresar en términos de coeficientes binomiales :

\Delta _{n}=C_{n+2}^{3}={\binom {n+2}{3)).

Propiedades

Los números tetraédricos están en la cuarta posición de cada fila en el triángulo de Pascal .

Solo tres números tetraédricos son números cuadrados :

{\ estilo de visualización \ Delta _ {1} = 1 ^ {2} = 1}

{\ estilo de visualización \ Delta _ {2} = 2 ^ {2} = 4}

{\ estilo de visualización \ Delta _ {48} = 140 ^ {2} = 19600}

Cinco números tetraédricos son triangulares al mismo tiempo (secuencia A027568 en OEIS ):

{\ estilo de visualización \ Delta _ {1} = T_ {1} = 1}

{\ estilo de visualización \ Delta _ {3} = T_ {4} = 10}

{\ estilo de visualización \ Delta _ {6} = T_ {15} = 120}

{\ estilo de visualización \ Delta _ {20} = T_ {55} = 1540}

{\ estilo de visualización \ Delta _ {34} = T_ {119} = 7140}

El único número piramidal que es tanto cuadrado como cúbico es el número 1.

Se puede ver que:

{\displaystyle \Delta _{5}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4))

La serie de números tetraédricos recíprocos es telescópica y por lo tanto converge:

\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{\Delta _{n))}=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {6 {n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.

Una de las "conjeturas " de Pollock (1850): todo número natural puede representarse como la suma de cinco números tetraédricos como máximo. Todavía no se ha probado, aunque se ha probado para todos los números menores de 10 mil millones [1] [2] .

Generalización multidimensional

Los números tetraédricos tridimensionales se pueden generalizar a cuatro o más dimensiones, de forma similar a la transición de los números triangulares a los tetraédricos. Un análogo de los números tetraédricos en el espacio bidimensional son los " números simplex ", también llamados hipertetraédricos [3] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!))={\frac {\prod _{k= 0}^{d-1}(n+k)}{d!}}.

Sus casos especiales son:

$S_{n}^{[2]}$ son numeros triangulares
$S_{n}^{[3]}$ son números tetraédricos .
$S_{n}^{[4]}$ son números de pentátopo .

Notas

↑ Deza E., Deza M., 2016 , pág. 239.
↑ Federico Pollock. Sobre la extensión del principio del teorema de Fermat sobre los números poligonales últimos al orden superior de series cuyas diferencias son constantes. Con un nuevo teorema propuesto, aplicable a todos los pedidos // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. - 1850. - Vol. 5 . - Pág. 922-924 . . _
↑ Deza E., Deza M., 2016 , pág. 126-134.

Literatura

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Detrás de las páginas de un libro de texto de matemáticas: Aritmética. Álgebra. geometría _ - M. : Educación, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela . - M. : Educación, 1964. - 376 p.
Deza E., Deza M. Números rizados. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Enlaces

números rizados
Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Prueba geométrica de la fórmula del número tetraédrico por Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project .
Sobre la relación entre sumatorias dobles y números tetraédricos por Marco Ripà

números rizados

plano

Poligonal clásico	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal dodecagonal
Centrado	triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal heptagonal Octagonal Nueve ángulos Decagonal

Piramidal	tetraédrico piramidal cuadrada
multifacético	cúbico Octaédrico dodecaédrico icosaédrico octaédrico estrellado

multifacético	pentatópico Bicuadrado