Operador de Laplace-Beltrami

El operador de Laplace-Beltrami (a veces llamado operador de Beltrami-Laplace o simplemente operador de Beltrami ) es un operador diferencial de segundo orden que actúa en el espacio de funciones suaves (o analíticas) en una variedad de Riemann . $METRO$

En coordenadas donde el operador de Laplace-Beltrami se da de la siguiente manera. Sea la matriz del tensor métrico de la variedad de Riemann, sea la matriz inversa y , entonces el operador de Laplace-Beltrami tiene la forma $x_{1},\ldots,x_{n},$ $n=\dimM,$ $(g_{{ij}})$ $(g^{{ij}})$ $g=\det(g_{{ij}})$

-\sum _{{i,j}}{\frac {1}{{\sqrt {g}}}}{\frac {\parcial }{\parcial x_{i}}}{\biggl (}g^ {{ij}}{\sqrt {g}}{\frac {\parcial }{\parcial x_{j}}}{\biggr )}.\qquad (*)

Ejemplos

En el caso cuando - un dominio en el espacio euclidiano con una métrica estándar - una matriz identidad, el operador de Laplace-Beltrami (*) se convierte (hasta un signo) en el operador de Laplace . $METRO$ $(g_{{ij}})=(\delta _{{ij}})$

Deje que el tensor métrico también tenga la forma , entonces la fórmula (*) toma la forma $\dim M=2$ $ds^{2}=E(x,y)\,dx^{2}+2F(x,y)\,dxdy+G(x,y)\,dy^{2},$ ${\frac {\parcial }{\parcial x)){\biggl (}{\frac {F{\frac {\parcial }{\parcial y))-G{\frac {\parcial }{\parcial x} }}{{\sqrt {EG-F^{2}}}}}{\biggr )}+{\frac {\parcial }{\parcial y}}{\biggl (}{\frac {F{\frac {\parcial }{\parcial x}}-E{\frac {\parcial }{\parcial y}}}{{\sqrt {EG-F^{2}}}}}{\biggr )}.\qquad (**)$

Una ecuación diferencial parcial de segundo orden donde el operador está dado por la fórmula (**) es solucionable si las funciones son analíticas o lo suficientemente suaves. Este hecho se utiliza para probar la existencia de coordenadas locales isométricas (conformes) en la superficie , es decir, para probar que cada variedad bidimensional de Riemann es localmente equivalente al plano euclidiano. [una] $Lf=0,$ $L$ $E F G$ $METRO$

Literatura

Rozenblyum GV, Solomyak MZ, Shubin MA Teoría espectral de operadores diferenciales, — Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderno problema estera. Fundam. direcciones, 64, VINITI, M., 1989.
Trev F. Introducción a la teoría de operadores pseudodiferenciales y operadores integrales de Fourier, - M., Mir, 1984.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna (métodos y aplicaciones), - Cualquier edición.

Notas

↑ Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna (métodos y aplicaciones), cap. 2, párrafo 13.

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

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